贡献者: addis; ACertainUser
我们已经知道用焦点和准线如何定义抛物线和其他圆锥曲线(式 1 ),抛物线的离心率 $e = 1$,所以极坐标方程为
这就是 “圆锥曲线的极坐标方程” 中对抛物线的定义。
在 $x$ 轴正半轴作一条与准线平行的直线 $L$,则抛物线上一点 $P$ 到其焦点的距离 $r$ 与 $P$ 到 $L$ 的距离之和不变。
如图 1 ,要证明由焦点和准线定义的抛物线满足该性质,只需过点 $P$ 作从准线到直线 $L$ 的垂直线段 $AB$,由于 $r$ 等于线段 $PA$ 的长度,所以 $r$ 加上 $PB$ 的长度等于 $AB$ 的长度,与 $P$ 的位置无关。证毕。
抛物线之所以叫做圆锥曲线,是因为它们可以由平面截取双圆锥面得到,详见 “圆锥曲线和圆锥”。
抛物线顶点处的曲率半径为 $p$.
我们使用极坐标曲率半径公式 $$ \rho = \frac{(r^2 + \dot r^2)^{3/2}}{r^2 + 2\dot r^2 - r\ddot r}~. $$ 与抛物线的极坐标方程: $$ r = \frac{p}{1 - \cos \theta }~. $$
在抛物线顶点处,我们有 $$ r|_{\theta = \pi} = \frac{p}{1 - \cos \theta} = \frac{p}{2}~, $$ $$ r' |_{\theta = \pi} = -\frac{p}{(1 - \cos \theta)^2} \sin\left(\theta\right) = 0~. $$ $r'' |_{\theta = \pi}$ 使用导数的定义会更好做,这也是高数中求解复杂导数的一个技巧: $$ \begin{aligned} r''|_{\theta = \pi} &= \lim_{\theta \to \pi} \frac{r'(\theta) - r'(\pi)}{\theta - \pi}\\ &=\lim_{\theta \to \pi} \frac{-\frac{p}{(1 - \cos \theta)^2} \sin\left(\theta\right) }{\theta - \pi}\\ &=-\frac{p}{4} \lim_{\theta \to \pi} \frac{ \sin\left(\theta\right) }{\theta - \pi}\\ &=\frac{p}{4}~.\\ \end{aligned} $$
那么 $$ \begin{aligned} \rho &= \frac{(r^2 + \dot r^2)^{3/2}}{r^2 + 2\dot r^2 - r\ddot r}\\ &=\frac{p^3/8}{p^2/4 - p/2*p/4}\\ &=\frac{p^3/8}{p^2/8}\\ &=p~.\\ \end{aligned} $$