三角函数（高中）
贡献者： 叶燊Leafshen; jingyuan
- 本文处于草稿阶段。
1. 定义
我们取单位圆上一点 $P(u,v)$，令 $OP$ 与 $x$ 轴夹角为 $\alpha$，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
\cos\alpha &= u,\\
\sin\alpha &= v,\\
\tan\alpha &= \frac{v}{u}~.
\end{aligned}
\end{equation}
图 1：如图所示
易得，正弦函数和余弦函数的定义域为全体实数，正切函数的定义域为 $\begin{Bmatrix}\alpha|\alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\end{Bmatrix}~.$
2. 性质
我们把随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数，正周期中最小的一个称为最小正周期。
对于函数 $f(x)$ 为，如果存在非零实数 $T$，对定义域内的任意一个 $x$ 值，都有
\begin{equation}
f(x+T) = f(x)~.
\end{equation}
正弦函数、余弦函数、正切函数的都是周期函数，根据定义易得，正弦函数和余弦函数，周期为 $2k\pi(k\in Z,k\neq0)$，正切函数的周期为 $k\pi(k\in Z,k\neq0)$.
3. 图像
我们可以通过计算机绘制出函数图像
图 2：正弦函数
图 3：余弦函数
可以看出正弦函数和余弦函数是定义域为 $R$ 值域为 $[-1,1]$ 最小正周期 $T = 2\pi$ 的周期函数。
4. 同角三角函数的基本关系
三角函数除以上介绍的三种，还有三种：
- 正割函数 sec α
（这里的 “r” 指上文 OP 的距离）\begin{equation} \sec \alpha = \frac{r}{u}~. \end{equation}
- 余割函数 csc α
\begin{equation} \csc \alpha = \frac{r}{v}~. \end{equation}
- 余切函数 cot α
\begin{equation} \cot \alpha = \frac{u}{v}~. \end{equation}
了解三种函数后，同角三角函数的基本关系符合以下图示：
图 4：同角三角函数的基本关系
- 三角函数倒数关系：
\begin{equation} \tan \alpha \cot \alpha = 1~, \end{equation}\begin{equation} \sin \alpha \csc \alpha = 1~, \end{equation}聪明的你可以发现这个关系是六边形的对角线。\begin{equation} \sec \alpha \cos \alpha = 1~. \end{equation}
- 三角函数商数关系：
\begin{equation} \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}~, \end{equation}剩下的不做列举 聪明的你可以发现这个关系是：顶点函数值等于相邻两顶点乘积\begin{equation} \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}~. \end{equation}
- 三角函数平方关系：
\begin{equation} \sin ^{2} \alpha + \cos ^{2}\alpha =1~, \end{equation}\begin{equation} \tan ^{2} \alpha + 1 =\sec ^{2}\alpha~, \end{equation}聪明的你可以发现这个关系按照图示颜色三角形进行。\begin{equation} 1 + \cot ^{2}\alpha =\csc ^{2}\alpha~. \end{equation}