双曲函数
贡献者： addis
预备知识 指数函数
1这里介绍三种双曲函数（hyperbolic function）：双曲正弦函数，双曲余弦函数和双曲正切函数。本文只讨论实数自变量的情况。他们的定义分别为
\begin{align}
\sinh x &= \frac{ \mathrm{e} ^x - \mathrm{e} ^{-x}}{2}~,\\
\cosh x &= \frac{ \mathrm{e} ^x + \mathrm{e} ^{-x}}{2}~,\\
\tanh x &= \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{ \mathrm{e} ^x - \mathrm{e} ^{-x}}{ \mathrm{e} ^x + \mathrm{e} ^{-x}}~.
\end{align}
图 1：三种双曲函数的图像
注意 $\sinh x$ 和 $\tanh x$ 是奇函数，$\cosh x$ 是偶函数。
1. 恒等式
以下恒等式中，$x,y$ 可以取任意复数
\begin{equation}
\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1~,
\end{equation}
\begin{equation}
\sinh\left(x+y\right) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y~,
\end{equation}
\begin{equation}
\cosh\left(x+y\right) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y~.
\end{equation}
2. 反函数
\begin{equation}
\tanh^{-1} x = \frac12 \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \qquad ( \left\lvert x \right\rvert < 1)~.
\end{equation}