双曲函数

贡献者： addis

预备知识　指数函数

　　¹这里介绍三种双曲函数（hyperbolic function）：双曲正弦函数，双曲余弦函数和双曲正切函数。本文只讨论实数自变量的情况。他们的定义分别为

\begin{aligned} (1) & \sinh x & = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}, \\ (2) & \cosh x & = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}, \\ (3) & \tanh x & = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} . \end{aligned}

其中

e

是一个高等数学中常见的常数，叫做自然对数底。这三个函数的图像如图 1 。

图 1：三种双曲函数的图像

　　注意 $\sinh x$ 和 $\tanh x$ 是奇函数， $\cosh x$ 是偶函数。

1. 恒等式

　　以下恒等式中， $x, y$ 可以取任意复数

\begin{matrix} (4) & \cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1, \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & \sinh (x + y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y, \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & \cosh (x + y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y . \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & \tanh^{- 1} x = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x}) (| x | < 1) . \end{matrix}

　　要求 $\sinh x$ 的反函数，我们令

\begin{matrix} (8) & x = \sinh y = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2} . \end{matrix}

整理成关于

e^{y}

的二次方程，得

\begin{matrix} (9) & (e^{y})^{2} - 2 x e^{y} - 1 = 0 . \end{matrix}

解出

e^{y}

为

\begin{matrix} (10) & e^{y} = x \pm \sqrt{x^{2} + 1} . \end{matrix}

由于

e^{y} > 0

，上式取正号。两边取自然对数，得

\begin{matrix} (11) & y = \sinh^{- 1} x = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) . \end{matrix}

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。