解析几何

                     

贡献者： 雪名残Remake.Ver

\begin{aligned} 解析几何初步 \end{aligned}

　　 本章我将会在高中教材的基础上，探究在平面直角坐标系上,直线、圆、和圆锥曲线的一些性质，并解决部分中、高考问题

\begin{aligned} 1.一次函数与直线方程 \end{aligned}

　　 初中课本曾用描点法刻画了一次函数的图像，在这里我将用另外的方法刻画一次函数图像（此时我们不知道一次函数图像是一条直线）

　　 解：（1）令 $y=0$ 得 $x=-\frac{1}{3}$，因此图像过点 A:（$-\frac{1}{3}$，0) 设一点 P:（$x_0$，$y_0$)是图像上异于（$-\frac{1}{3}$，0)的点，所以 $y_0=3x_0+1\Rightarrow \frac{y_0}{x_0-\frac{1}{3}}=3$，当 $y_0>0$ 时，$tan\angle PAO=3$，当 $y_0<0$ 时，$tan\angle PAO=-3$ 由此可知，无论 $x_0$ 取任何实数值，P 都在一条固定的直线上，于是作过点（$-\frac{1}{3}$，0）、（0，1）的直线即为 y＝3x+1 的图像

　　 （2）设点 Q：（$x_0$，$y_0$）在该直线上.点 M:（1，1）、N:(3，2).由向量三点共线公式：$\overrightarrow{OQ}=\lambda \overrightarrow{OM}+(1-\lambda)\overrightarrow{ON}$
$\left\{\begin{aligned} & x_0=\lambda+3(1-\lambda)\\ & y_0=\lambda+2(1-\lambda) \end{aligned}\right.$
$\therefore \left\{\begin{aligned} &x_0=3-2\lambda\\ &y_0=2-\lambda \end{aligned}\right.$
$\therefore y_0=\frac{1}{2}x_0+\frac{1}{2}$
由于 Q 可以是直线上任意一点，所以所有该直线上的点，都应满足方程：$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$
$\star$（图一、图二暂定）$\star$

　　 上面我用了两种方法实现了平面直角坐标系中直线和方程的转化，除此之外，我们还可以用 “变化率”（其实就是导数，这里只作简单论述）来解释，如（1）中 y＝3x+1，每当 x 增加 $\Delta x$ 时，y 都会同时增加 $\Delta y=3\Delta x$，在我对于（1）的论证中则表现为 “$y_0>0$ 时 $tan\angle PAO=3$”,即倾斜角正切值（或斜率）为 3.

　　 下面介绍直线方程的不同形式

• 斜截式 y＝kx+b.
  式中的一次项系数 “k” 代表直线方程的斜率 $^{^{(1)}}$，常数项 b 则是直线在 y 轴上的截距 $^{^{(2)}}$
  $\star$(图三暂定)$\star$
• 点斜式 $y-y_0=k(x-x_0)$
  式中 k 代表直线方程的斜率，$x_0$、$y_0$ 代表直线经的点（$x_0$，$y_0$).不难发现，当该点为（0，b）的时候，此式形同 y＝kx+b
• 截距式 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
• 一般式 $Ax+By+C=0$ 此式代表的几何意义不那么明显，但是可以表示平面直角坐标中的所有直线

　　 上述四个式子是中学最常见的表示直线的式子，还有一些不太常见的，如法线式、参数式、行列式等，这里不作介绍.

　　 需要注意的是，这四个式子中，只有一般式可以代表平面内所有直线，一、二受到斜率限制，无法表示垂直于 x 轴的直线（那样的话 k＝$\pm \infty$），而三受分母的限制，无法表示过原点 O 的直线和垂直或平行于 x 轴的直线.

　　 $\star$ 存档线----------------------

　　 $\star$ 存档线---------

　　 直线系方程 我们一般把具有同等性质的直线的集合（如过同一个点、斜率相同等）称为一个直线系，下介绍四种常见的直线系方程.

1. 定点直线系方程：经过定点 $P_0(x_0,y_0)$ 的直线系方程为 $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$
2. 共点直线系方程：经过两直线 $l_1:A_1x+B_1y+C_1=0,l_2:A_2x+B_2y+C_2=0$ 的交点的直线系方程为 $m(A_1x+B_1y+C_1)+n(A_2x+B_2y+C_2)=0$
3. 平行直线系方程：与直线 $Ax+Bx+C=0$ 平行的直线系方程是 $Ax+Bx+\lambda=0$
4. 垂直直线系方程：与直线 $Ax+Bx+C=0$(A、B 至少有一个不等于 0)垂直的直线系方程为 $Bx-Ay+\lambda$($\lambda$ 是参变量)

　　 上述几个直线系方程的公式背下来当然最好，但不要机械记忆.

　　 解：（1）该直线可看作直线 l 绕某点逆时针旋转 $\frac{\pi}{4}$,设该点（$x_0,y_0$),有 $Ax_0+By_0+C=0$,设旋转后直线为 $m(x-x_0)=n(y-y_0)$ 斜率为 $\frac{m}{n}$.又因为 l 斜率为 $-\frac{A}{B}$