贡献者： addis
定义 1 复数
复数（complex number） 是一对满足以下运算的有序实数 $(x,y)$。1 令 $z$ 为复数，即 $z = (x, y)$，则 $x$ 称为复数 $z$ 的实部（real part），$y$ 称为虚部（imaginary part），可以记为 $ \operatorname{Re} [z]$ 和 $ \operatorname{Im} [z]$。
特殊地，我们把复数 $(0, 1)$ 称为虚数单位，用 $ \mathrm{i} $ 表示2。
最后我们把虚部为零的复数 $(x, 0)$ 等同于实数 $x$。把所有复数的集合记为 $\mathbb C$，那么全体实数的集合 $\mathbb R$ 就是 $\mathbb C$ 的一个真子集，即 $\mathbb R \subset \mathbb C$。
定义 2 复数的简单运算
定义两个复数的加法为实部和虚部分别相加
\begin{equation}
(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+ x_2,\ y_1 + y_2)~.
\end{equation}
定义复数和实数 $s$ 相乘为（满足交换律）（一般省略乘号）
\begin{equation}
s(x, y) = (x, y)s = (sx, sy)~.
\end{equation}
可见任意一个复数可以表示为一个加法和一个乘法：$(x, y) = (x, 0) + y(0, 1)$，即熟悉的
\begin{equation}
z = x + \mathrm{i} y~.
\end{equation}
1. 复平面
预备知识 2 几何矢量的运算
，四象限 Arctan 函数
图 1：复平面与复数
由此可以看到，复数跟二维平面上的几何矢量是十分相似的。如图 1 ，一个复数可以看做复平面上的一个点（或矢量），该矢量在复平面的实轴和虚轴方向的分量分别等于其实部和虚部。复数的模定义为对应矢量的模，即
\begin{equation}
\left\lvert z \right\rvert = \sqrt{ \operatorname{Re} [z]^2 + \operatorname{Im} [z]^2}~.
\end{equation}
另外我们把矢量与实轴的夹角称为
辐角，记为 $\arg(z)$。我们可以通过 $ \operatorname{Arctan} $ 函数（
式 1 ）计算辐角
\begin{equation}
\arg(z) = \operatorname{Arctan} ( \operatorname{Im} [z], \operatorname{Re} [z])
\qquad (\arg z \in (-\pi, \pi])~,
\end{equation}
也可以通过模和辐角来计算实部与虚部
\begin{equation}
\operatorname{Re} [z] = \left\lvert z \right\rvert \cos\left(\arg z\right) ~, \qquad \operatorname{Im} [z] = \left\lvert z \right\rvert \sin\left(\arg z\right) ~.
\end{equation}
在 “
指数函数（复数）” 中我们将看到，任意复数也可以通过欧拉公式表示为以下形式
\begin{equation}
z = A(\cos\theta + \mathrm{i} \sin\theta) = A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}~.
\end{equation}
其中 $A = \left\lvert z \right\rvert $，$\theta = \arg z$。
2. 基本运算
定义 3 共轭
一个复数的共轭等于与其实部相同，虚部相反的复数3
\begin{equation}
z ^* = \operatorname{Re} [z] - \mathrm{i} \, \operatorname{Im} [z]~.
\end{equation}
所以共轭运算不改变复数的模，但将其辐角变为相反数。在复平面上，这相当于把一个点关于 $x$ 轴取镜像对称。
式 1 中已经定义了加法，与实数一样，可以用加法来定义减法：
定义 4 复数的减法
\begin{equation}
z_1 - z_2 = z_1 + (-1)z_2~.
\end{equation}
写成实部和虚部，就是
\begin{equation}
(x_1 + \mathrm{i} y_1) \pm (x_2 + \mathrm{i} y_2) = (x_1 \pm x_2) + \mathrm{i} (y_1 \pm y_2)~.
\end{equation}
在复平面上，这相当于把两个复数对应的矢量进行
矢量相加减。显然，复数的加法满足
交换律，
分配律和
结合律。
特殊地，将一个复数与其复共轭加减可得其实部和虚部
\begin{equation}
\operatorname{Re} [z] = \frac{z + z ^* }{2} ~,\qquad
\operatorname{Im} [z] = \frac{z - z ^* }{2 \mathrm{i} }~.
\end{equation}
定义 5 复数的乘法
两个复数相乘定义为（注意式 2 是该定义的一种特殊情况）
\begin{equation}
z_1z_2 = (x_1 + \mathrm{i} y_1)(x_2 + \mathrm{i} y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + \mathrm{i} (x_1 y_2 + x_2 y_1)~.
\end{equation}
定理 1 复数乘法的几何意义
两复数相乘，就是把它们的模相乘，辐角相加
\begin{equation}
\left\lvert z_1 z_2 \right\rvert = \left\lvert z_1 \right\rvert \left\lvert z_2 \right\rvert ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)~.
\end{equation}
证明见子节 4 。
不难证明复数的乘法满足交换律和结合律。容易证明，一个复数模的平方可以用它和复共轭的乘积表示。
\begin{equation}
\left\lvert z \right\rvert ^2 = z z ^* ~.
\end{equation}
若把两个复数 $z_1, z_2$ 看作复平面上的两个矢量，由定义容易证明它们的点乘（内积）为（式 2 ）
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\quad \operatorname{Re} [z_1] \operatorname{Re} [z_2] + \operatorname{Im} [z_1] \operatorname{Im} [z_2]\\
&= \left\lvert z_1 \right\rvert \left\lvert z_2 \right\rvert \cos\left(\arg z_2 - \arg z_1\right) \\
&= \operatorname{Re} [z_1^* z_2] = \operatorname{Re} [z_1 z_2^*]\\
&= \frac{z_1^* z_2 + z_1 z_2^*}{2}~,
\end{aligned}
\end{equation}
最后使用了
式 11 。
任意个复数相乘再取共轭等于它们分别共轭再相乘
\begin{equation}
(z_1z_2\dots z_n)^* = z_1^*z_2^*\dots z_n^*~
\end{equation}
证明：对一个复数取共轭相当于把它的辐角
定义 6 复数的逆
可以证明每个不为零的复数 $z$，运算中都存在唯一的乘法逆元（简称逆），记为 $z^{-1}$，使得
\begin{equation}
zz^{-1} = z^{-1}z = 1 \qquad (z \ne 0)~.
\end{equation}
且逆元的计算公式为
\begin{equation}
z^{-1} = \frac{z^*}{ \left\lvert z \right\rvert ^2} \qquad (z \ne 0)~.
\end{equation}
证明：把式 19 代入式 18 ，再使用式 15 即可。要证明逆元的唯一性，假设 $z$ 的任意两个逆元分别为 $z_1, z_2$，有 $zz_1 = 1 = zz_2$, 两边左乘 $z^{-1}$，使用结合律得 $z_1 = z_2$。证毕。
现在就可以通过逆，来定义除法：
定义 7 复数的除法
令 $x_i,y_i$ 分别是 $z_i$（$i=1,2$）的实部和虚部，那么复数的除法定义为
\begin{equation}
\frac{z_1}{z_2} = z_1z_2^{-1} = \frac{z_1z_2^*}{ \left\lvert z_2 \right\rvert ^2} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2} + \mathrm{i} \frac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2} \qquad (z_2 \ne 0)~.
\end{equation}
根据该定义，$1/z = z^{-1}$，可见逆元就是所谓的倒数。和实数一样，易证 $z_1z_2 = z_3$，$z_1 = z_3/z_2$，$z_2 = z_3/z_1$ 是等价的，所以通俗来说复数除法是复数乘法的逆运算。所以自然地，可以得到：
推论 1 复数除法的几何意义
两个复数相除就是把它们的模相除，辐角相减，即
\begin{equation}
\left\lvert z_1/z_2 \right\rvert = \left\lvert z_1 \right\rvert / \left\lvert z_2 \right\rvert ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\arg(z_1/z_2) = \arg(z_1) - \arg(z_2)~.
\end{equation}
定理 2
两个复数进行任意次加减乘除后再取共轭，等于它们分别取共轭后再进行运算。
根据定义易证（留做习题）。例如
\begin{equation}
\left[\frac{2 z_1 z_2}{(z_3 + z_4)^2} \right] ^* = \frac{2 z_1^* z_2^*}{(z_3^* + z_4^*)^2}~.
\end{equation}
3. 余弦定理
根据式 15 ，式 16 和定理 2 易得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\lvert z_1 + z_2 \right\rvert ^2 &= (z_1 + z_2)(z_1 + z_2)^*\\
&= z_1z_1^* + z_2z_2^* + z_1^* z_2 + z_1 z_2^*\\
&= \left\lvert z_1 \right\rvert ^2 + \left\lvert z_2 \right\rvert ^2 + 2 \operatorname{Re} [z_1^* z_2]\\
&= \left\lvert z_1 \right\rvert ^2 + \left\lvert z_2 \right\rvert ^2 + 2 \left\lvert z_1 \right\rvert \left\lvert z_2 \right\rvert \cos\left(\arg z_2 - \arg z_1\right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
在复平面中，该式可以表示余弦定理（
式 6 ），即计算两矢量之和的模。上式最后的第三项就是两矢量的点乘。
4. 证明
定理 1 的证明：
令 $A_i = \left\lvert z_i \right\rvert $，$\theta_i = \arg z_i$，则
\begin{equation} \begin{aligned}
z_1 z_2 &= (A_1 \cos\theta_1 + \mathrm{i} A_1 \sin\theta_1)(A_2 \cos\theta_2 + \mathrm{i} A_2 \sin\theta_2)\\
&= A_1 A_2 (\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2)\\
&\qquad + \mathrm{i} A_1 A_2 (\cos\theta_1\sin\theta_2 + \cos\theta_2\sin\theta_1)\\
&= A_1 A_2 [ \cos\left(\theta_1 + \theta_2\right) + \mathrm{i} \sin\left(\theta_1 + \theta_2\right) ]~,
\end{aligned} \end{equation}
其中最后一步用到了两角和公式（
式 4 ）。容易看出，最后得到的是一个模为 $A_1 A_2$，辐角为 $\theta_1 + \theta_2$ 的复数。
证毕。
1. ^ 一些教材先定义虚数单位 $ \mathrm{i} = \sqrt{-1}$ 或 $ \mathrm{i} ^2 = -1$，这种定义往往不易理解。我们这里直接将复数定义为服从某种运算规则的实数对 $(x,y)$，然后定义 $ \mathrm{i} $ 不过为了方便表示 $(0,1)$ 的一个简写，更能揭示复数的代数结构 [1]。
2. ^ 为了与变量 $i$ 区分，小时百科中虚数单位使用正体的 $ \mathrm{i} $。
3. ^ 一些教材也使用 $\bar z$ 表示 $z$ 的共轭。
[1] ^ Walter Rudin. Principle of Mathematical Analysis
