复数（高中）

贡献者： addis; 欄、停敘

本文处于草稿阶段。

预备知识 1　集合（高中）

定义 1　复数

　　 复数（complex number） 是一对满足以下运算的有序实数 $(x, y)$ 。¹ 令 $z$ 为复数，即 $z = (x, y)$ ，则 $x$ 称为复数 $z$ 的实部（real part）， $y$ 称为虚部（imaginary part），可以记为 $Re [z]$ 和 $Im [z]$ 。

　　特殊地，我们把复数 $(0, 1)$ 称为虚数单位，用 $i$ 表示²。

　　最后我们把虚部为零的复数 $(x, 0)$ 等同于实数 $x$ 。把所有复数的集合记为 $C$ ，那么全体实数的集合 $R$ 就是 $C$ 的一个真子集，即 $R \subset C$ 。

定义 2　复数的简单运算

　　定义两个复数的加法为实部和虚部分别相加

\begin{matrix} (1) & (x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}) . \end{matrix}

定义复数和实数

s

相乘为（满足交换律）（一般省略乘号）

\begin{matrix} (2) & s (x, y) = (x, y) s = (s x, s y) . \end{matrix}

　　可见任意一个复数可以表示为一个加法和一个乘法： $(x, y) = (x, 0) + y (0, 1)$ ，即熟悉的

\begin{matrix} (3) & z = x + i y . \end{matrix}

1. 复平面

预备知识 2　几何矢量的运算，四象限 Arctan 函数

图 1：复平面与复数

　　由此可以看到，复数跟二维平面上的几何矢量是十分相似的。如图 1 ，一个复数可以看做复平面上的一个点（或矢量），该矢量在复平面的实轴和虚轴方向的分量分别等于其实部和虚部。复数的模定义为对应矢量的模，即

\begin{matrix} (4) & | z | = \sqrt{Re [z]^{2} + Im [z]^{2}} . \end{matrix}

另外我们把矢量与实轴的夹角称为辐角，记为

\arg (z)

。我们可以通过

Arctan

函数（式 1 ）计算辐角

\begin{matrix} (5) & \arg (z) = Arctan (Im [z], Re [z]) (\arg z \in (- π, π]), \end{matrix}

也可以通过模和辐角来计算实部与虚部

\begin{matrix} (6) & Re [z] = | z | \cos (\arg z), Im [z] = | z | \sin (\arg z) . \end{matrix}

在 “指数函数（复数）” 中我们将看到，任意复数也可以通过欧拉公式表示为以下形式

\begin{matrix} (7) & z = A (\cos θ + i \sin θ) = A e^{i θ} . \end{matrix}

其中

A = | z |

，

θ = \arg z

。

2. 基本运算

定义 3　共轭

　　一个复数的共轭等于与其实部相同，虚部相反的复数³

\begin{matrix} (8) & z^{*} = Re [z] - i Im [z] . \end{matrix}

　　所以共轭运算不改变复数的模，但将其辐角变为相反数。在复平面上，这相当于把一个点关于 $x$ 轴取镜像对称。

　　式 1 中已经定义了加法，与实数一样，可以用加法来定义减法：

定义 4　复数的减法

\begin{matrix} (9) & z_{1} - z_{2} = z_{1} + (- 1) z_{2} . \end{matrix}

　　写成实部和虚部，就是

\begin{matrix} (10) & (x_{1} + i y_{1}) \pm (x_{2} + i y_{2}) = (x_{1} \pm x_{2}) + i (y_{1} \pm y_{2}) . \end{matrix}

在复平面上，这相当于把两个复数对应的矢量进行矢量相加减。显然，复数的加法满足交换律，分配律和结合律。

　　特殊地，将一个复数与其复共轭加减可得其实部和虚部

\begin{matrix} (11) & Re [z] = \frac{z + z^{*}}{2}, Im [z] = \frac{z - z^{*}}{2 i} . \end{matrix}

定义 5　复数的乘法

　　两个复数相乘定义为（注意式 2 是该定义的一种特殊情况）

\begin{matrix} (12) & z_{1} z_{2} = (x_{1} + i y_{1}) (x_{2} + i y_{2}) = (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) + i (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}) . \end{matrix}

定理 1　复数乘法的几何意义

　　两复数相乘，就是把它们的模相乘，辐角相加

\begin{matrix} (13) & | z_{1} z_{2} | = | z_{1} | | z_{2} |, \end{matrix}

\begin{matrix} (14) & \arg (z_{1} z_{2}) = \arg (z_{1}) + \arg (z_{2}) . \end{matrix}

　　证明见子节 5 。

　　不难证明复数的乘法满足交换律和结合律。容易证明，一个复数模的平方可以用它和复共轭的乘积表示。

\begin{matrix} (15) & {| z |}^{2} = z z^{*} . \end{matrix}

　　若把两个复数 $z_{1}, z_{2}$ 看作复平面上的两个矢量，由定义容易证明它们的点乘（内积）为（式 2 ）

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} Re [z_{1}] Re [z_{2}] + Im [z_{1}] Im [z_{2}] \\ = | z_{1} | | z_{2} | \cos (\arg z_{2} - \arg z_{1}) \\ = Re [z_{1}^{*} z_{2}] = Re [z_{1} z_{2}^{*}] \\ = \frac{z_{1}^{*} z_{2} + z_{1} z_{2}^{*}}{2}, \end{aligned} \end{matrix}

最后使用了式 11 。

　　任意个复数相乘再取共轭等于它们分别共轭再相乘

\begin{matrix} (17) & (z_{1} z_{2} \dots z_{n})^{*} = z_{1}^{*} z_{2}^{*} \dots z_{n}^{*} \end{matrix}

证明：对一个复数取共轭相当于把它的辐角

定义 6　复数的逆

　　可以证明每个不为零的复数 $z$ ，运算中都存在唯一的乘法逆元（简称逆），记为 $z^{- 1}$ ，使得

\begin{matrix} (18) & z z^{- 1} = z^{- 1} z = 1 (z \neq 0) . \end{matrix}

且逆元的计算公式为

\begin{matrix} (19) & z^{- 1} = \frac{z^{*}}{{| z |}^{2}} (z \neq 0) . \end{matrix}

　　证明：把式 19 代入式 18 ，再使用式 15 即可。要证明逆元的唯一性，假设 $z$ 的任意两个逆元分别为 $z_{1}, z_{2}$ ，有 $z z_{1} = 1 = z z_{2}$ , 两边左乘 $z^{- 1}$ ，使用结合律得 $z_{1} = z_{2}$ 。证毕。

　　现在就可以通过逆，来定义除法：

定义 7　复数的除法

　　令 $x_{i}, y_{i}$ 分别是 $z_{i}$ （ $i = 1, 2$ ）的实部和虚部，那么复数的除法定义为

\begin{matrix} (20) & \frac{z_{1}}{z_{2}} = z_{1} z_{2}^{- 1} = \frac{z_{1} z_{2}^{*}}{{| z_{2} |}^{2}} = \frac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}}{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}} + i \frac{x_{2} y_{1} - x_{1} y_{2}}{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}} (z_{2} \neq 0) . \end{matrix}

　　根据该定义， $1 / z = z^{- 1}$ ，可见逆元就是所谓的倒数。和实数一样，易证 $z_{1} z_{2} = z_{3}$ ， $z_{1} = z_{3} / z_{2}$ ， $z_{2} = z_{3} / z_{1}$ 是等价的，所以通俗来说复数除法是复数乘法的逆运算。所以自然地，可以得到：

推论 1　复数除法的几何意义

　　两个复数相除就是把它们的模相除，辐角相减，即

\begin{matrix} (21) & | z_{1} / z_{2} | = | z_{1} | / | z_{2} |, \end{matrix}

\begin{matrix} (22) & \arg (z_{1} / z_{2}) = \arg (z_{1}) - \arg (z_{2}) . \end{matrix}

定理 2　

　　两个复数进行任意次加减乘除后再取共轭，等于它们分别取共轭后再进行运算。

　　根据定义易证（留做习题）。例如

\begin{matrix} (23) & {[\frac{2 z_{1} z_{2}}{(z_{3} + z_{4})^{2}}]}^{*} = \frac{2 z_{1}^{*} z_{2}^{*}}{(z_{3}^{*} + z_{4}^{*})^{2}} . \end{matrix}

**3. *复数的其他形式**

　　首先，不加证明地给出欧拉公式⁴：

定理 3　欧拉公式

\begin{matrix} (24) & \forall x \in R, \cos (x) + i \sin (x) = e^{i x} . \end{matrix}

未完成：复数的三角形式

　　注意到，等号左侧是一个模为 $1$ 的复数。因此，任意复数可以表示为 $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ ，称 $r$ 是复数 $z$ 的模， $θ$ 是复数与实轴的夹角，称为辐角，由于正弦与余弦都是周期函数，所以 $θ + 2 k π, k \in Z$ 都是辐角，称呼 $θ \in [0, 2 π)$ 为辐角主值。于是，通过欧拉公式有复数的指数形式：

\begin{matrix} (25) & z = r e^{i (θ + 2 k π)}, k \in Z . \end{matrix}

　　由于 $- x$ 的辐角为 $π$ ，模为 $| x |$ ，将 $- x$ 写成指数形式为：

\begin{matrix} (26) & - x = | x | e^{i π (1 + 2 k)}, k \in Z . \end{matrix}

4. 余弦定理

　　根据式 15 ，式 16 和定理 2 易得

\begin{matrix} (27) & \begin{aligned} {| z_{1} + z_{2} |}^{2} & = (z_{1} + z_{2}) (z_{1} + z_{2})^{*} \\ = z_{1} z_{1}^{*} + z_{2} z_{2}^{*} + z_{1}^{*} z_{2} + z_{1} z_{2}^{*} \\ = {| z_{1} |}^{2} + {| z_{2} |}^{2} + 2 Re [z_{1}^{*} z_{2}] \\ = {| z_{1} |}^{2} + {| z_{2} |}^{2} + 2 | z_{1} | | z_{2} | \cos (\arg z_{2} - \arg z_{1}) . \end{aligned} \end{matrix}

在复平面中，该式可以表示余弦定理（式 6 ），即计算两矢量之和的模。上式最后的第三项就是两矢量的点乘。

5. 证明

预备知识 3　三角恒等式

　　定理 1 的证明：

　　令 $A_{i} = | z_{i} |$ ， $θ_{i} = \arg z_{i}$ ，则

\begin{matrix} (28) & \begin{aligned} z_{1} z_{2} & = (A_{1} \cos θ_{1} + i A_{1} \sin θ_{1}) (A_{2} \cos θ_{2} + i A_{2} \sin θ_{2}) \\ = A_{1} A_{2} (\cos θ_{1} \cos θ_{2} - \sin θ_{1} \sin θ_{2}) \\ + i A_{1} A_{2} (\cos θ_{1} \sin θ_{2} + \cos θ_{2} \sin θ_{1}) \\ = A_{1} A_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2})], \end{aligned} \end{matrix}

其中最后一步用到了两角和公式（式 4 ）。容易看出，最后得到的是一个模为

A_{1} A_{2}

，辐角为

θ_{1} + θ_{2}

的复数。

　　证毕。

1. ^ 一些教材先定义虚数单位 $i = \sqrt{- 1}$ 或 $i^{2} = - 1$ ，这种定义往往不易理解。我们这里直接将复数定义为服从某种运算规则的实数对 $(x, y)$ ，然后定义 $i$ 不过为了方便表示 $(0, 1)$ 的一个简写，更能揭示复数的代数结构 [1]。
2. ^ 为了与变量 $i$ 区分，小时百科中虚数单位使用正体的 $i$ 。
3. ^ 一些教材也使用 $\bar{z}$ 表示 $z$ 的共轭。
4. ^ 如果代入 $x = π$ ，则会得到恒等式 $e^{i π} + 1 = 0$ ，这被很多人称为数学中最优美的等式之一。

[1] ^ Walter Rudin. Principle of Mathematical Analysis

复数（高中）

定义 1 复数

定义 2 复数的简单运算

1. 复平面

2. 基本运算

定义 3 共轭

定义 4 复数的减法

定义 5 复数的乘法

定理 1 复数乘法的几何意义

定义 6 复数的逆

定义 7 复数的除法

推论 1 复数除法的几何意义

定理 2

3. *复数的其他形式

定理 3 欧拉公式

4. 余弦定理

5. 证明

定义 1　复数

定义 2　复数的简单运算

定义 3　共轭

定义 4　复数的减法

定义 5　复数的乘法

定理 1　复数乘法的几何意义

定义 6　复数的逆

定义 7　复数的除法

推论 1　复数除法的几何意义

定理 2　

**3. *复数的其他形式**

定理 3　欧拉公式