贡献者： addis
预备知识 1 傅里叶级数（指数）
，傅里叶变换（三角）
用三角傅里叶变换中同样的方法可把指数傅里叶级数的区间长度 $l$ 取极限后拓展为指数傅里叶变换
\begin{equation}
g(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } f(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } g(k) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{k} ~.
\end{equation}
当 $f(x)$ 为实函数时，$g(k)$ 的实部是偶函数，虚部是奇函数。
定理 1 实函数、奇函数、偶函数的傅里叶变换
- $f(x)$ 是实函数，当且仅当 $g^*(k) = g(-k)$。
- $g(x)$ 是实函数，当且仅当 $f^*(x) = f(-x)$。
- $f(x)$ 是奇（偶）函数，当且仅当 $g(k)$ 是奇（偶）函数。
- $f(x)$ 同时是实函数和偶函数，当且仅当 $g(k)$ 同时是实函数和偶函数。
- $f(x)$ 同时是实函数和奇函数，当且仅当 $g(k)$ 同时是虚函数和奇函数。
证明第 1 条：
$f(x)$ 为实函数的充要条件是 $f(x) = f^*(x)$，代入式 1 得
\begin{equation}
g(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } f^*(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
两边取复共轭，得
\begin{equation}
g^*(k) = g(-k)~.
\end{equation}
注意 $g(k)$ 的实部是偶函数，虚部是奇函数，因此往往只需要 $k$ 的正半轴即可得到所有信息。上式就是 $f(x)$ 为实函数的充要条件，要证明充分性，将
式 4 其代入
式 2 可得 $f(x) = f^*(x)$。证毕。（其余证明留做习题：提示，偶函数的傅里叶变换相当于 $\cos$ 变换）
例 1 高斯分布的傅里叶变换
要计算高斯函数
\begin{equation}
f(x) = \mathrm{e} ^{-ax^2} \quad (a > 0)~
\end{equation}
的傅里叶变换，代入
式 1 并使用
例 2 有
\begin{equation}
g(k) = \frac{1}{\sqrt{2a}} \exp\left(-\frac{k^2}{4a}\right) ~,
\end{equation}
一个方便的记忆法是 $x^2$ 前的系数乘以 $k^2$ 前的系数相乘等于 $1/4$。
例 2
\begin{equation}
f(x) = \begin{cases}
\exp\left( \mathrm{i} k_0 x\right) \cos^2(ax) & ( \left\lvert x \right\rvert < \frac{\pi}{2a})~.\\
0 & (\text{其他})
\end{cases}
\end{equation}
则傅里叶变换为
\begin{equation} g(k) = \frac{\sqrt{2\pi}a}{4a^2 - (k - k_0)^2} \operatorname{sinc} \left[\frac{\pi (k - k_0)}{2a} \right] ~,
\end{equation}
其中 $ \operatorname{sinc} $ 函数见
相关页面。
例 3 方波
区间 $[-l,l]$，高为 $1$ 的单个方波，
\begin{equation}
g(k) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ \sin\left(lk\right) }{k}~.
\end{equation}
1. 证明
未完成：以下证明可能存在问题，需要专业人士审核
以下的证明可以用矢量空间和基底的概念得到更深刻的理解，详见 “
傅里叶变换与连续正交归一基底”。
我们把式 2 看作定义，用狄拉克 $\delta$ 函数来证明式 1 ，反之同理。把式 2 代入式 1 得
\begin{equation}
g(k) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[\int_{-\infty}^{+\infty} g(k') \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k' x} \,\mathrm{d}{k'} \right] \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x} \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
这就是我们需要证明的。我们把无穷的积分上下限改写为极限，即
\begin{equation} \begin{aligned}
g(k) = \frac{1}{2\pi} \lim_{n\to\infty}\int_{-n}^{n} \left[\lim_{m\to\infty} \int_{-m}^{m} g(k') \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k' x} \,\mathrm{d}{k'} \right] \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x} \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{aligned} \end{equation}
如果内极限可以移动到两个积分外，有
未完成：极限和积分交换的条件是什么？是否满足？
\begin{equation} \begin{aligned}
g(k) = \frac{1}{2\pi} \lim_{n\to\infty} \lim_{m\to\infty} \int_{-n}^{n}\int_{-m}^{m} g(k') \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (k'-k) x} \,\mathrm{d}{k'} \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{aligned} \end{equation}
我们假设 $g(k')$ 在 $[-m,m]$ 内绝对值可积，那么
有限区间的重积分可以交换顺序，变为
\begin{equation} \begin{aligned}
&\quad\frac{1}{2\pi} \lim_{n\to\infty} \lim_{m\to\infty} \int_{-m}^{m} g(k') \int_{-n}^{n} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (k'-k) x} \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{k'} \\
&= \lim_{n\to\infty} \lim_{m\to\infty} \int_{-m}^{m} g(k') \delta_n(k'-k) \,\mathrm{d}{k'} \\
&= \lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(k') \delta_n(k'-k) \,\mathrm{d}{k'} \\
&= g(k)~.
\end{aligned} \end{equation}
第二个等号中，$\delta_n$ 是
例 2 中的 delta 函数列，最后一步使用了其性质
式 9 。证毕。
注意这里要求对每个 $n=1,2,\dots$ 积分 $\int_{-\infty}^{\infty} g(k') \delta_n(k'-k) \,\mathrm{d}{k'} $ 都收敛。只有满足该要求的函数才适用该证明。
2. 性质
为了书写方便我们用算符 $\mathcal F$ 和 $\mathcal F^{-1}$ 表示傅里叶变换和反变换，即 $\mathcal F f = g$ 以及 $\mathcal F^{-1} g = f$。算符在这里可以看作 “函数的函数”，即自变量和函数值都是函数。
平移：
\begin{equation}
\mathcal F [f(x) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x}] = g(k - k_0)~.
\end{equation}
\begin{equation}
\mathcal F[f(x - x_0)] = g(k) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x_0}~.
\end{equation}
也就是说，给函数乘以 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x}$ 因子再做傅里叶变换，等于先对函数做傅里叶变换，再向右平移 $k_0$；给函数再向右平移 $x_0$ 再做反傅里叶变换，等于先对函数做傅里叶变换，再乘以 $ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x_0 k}$。证明留做习题。
模长不变性：
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} g(k)^* g(k) \,\mathrm{d}{k} = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)^* f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
拉伸：
\begin{equation}
\mathcal F[f(ax)] = \frac{1}{a} g \left(\frac{k}{a} \right) ~.
\end{equation}
也就是说把函数在 $x$ 方向压缩 $a$ 倍后，各个频率都变大 $a$ 倍，所以傅里叶变换会在 $k$ 方向拉伸 $a$ 倍，另外归一化不变性易得系数 $1/a$。
导数：
\begin{equation}
\mathcal F [f'(x)] = \mathrm{i} k g(k)~,
\end{equation}
同理
\begin{equation}
\mathcal F^{-1} [g'(k)] = - \mathrm{i} x f(x)~.
\end{equation}
作为式 16 的拓展，有
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x)^* f_2(x) \,\mathrm{d}{x} = \int_{-\infty}^{+\infty} g_1(k)^* g_2(k) \,\mathrm{d}{k} ~.
\end{equation}
这可以理解为傅里叶变换不改变内积，所以是一个无穷维空间中的
幺正变换。
如果 $f_1(x)$ 可以在 $x = 0$ 泰勒展开，有
\begin{equation}
\mathcal{F}[f_1(x) f_2(x)] = f_1 \left( \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{k}} \right) g_2(k)~.
\end{equation}
如果 $g_1(k)$ 可以在 $k = 0$ 泰勒展开，有
\begin{equation}
\mathcal{F}^{-1}[g_1(k) g_2(k)] = g_1 \left(- \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{x}} \right) f_2(x)~.
\end{equation}
注意
式 18 和
式 19 是该性质的特殊情况（令
式 21 中 $f_1(x) = x$，
式 22 中 $g_1(k) = k$）。记忆方法：在傅里叶变换外面的 $ \mathrm{i} \partial/\partial k $ 相当于傅里叶变换里面的 $x$，反傅里叶变换外面的 $- \mathrm{i} \partial/\partial x $ 相当于反傅里叶变换里面的 $k$。
平均值：
\begin{equation}
\left\langle k \right\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} k \left\lvert g(k) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} = \int_{-\infty}^{+\infty} f^*(x) \left(- \mathrm{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \right) f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle x \right\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} x \left\lvert f(x) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} = \int_{-\infty}^{+\infty} g^*(k) \left( \mathrm{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{k}} \right) g(k) \,\mathrm{d}{k} ~.
\end{equation}
推导参考 “
平均值（量子力学）”。
不确定性原理：
\begin{equation}
\sigma_x \sigma_k \geqslant \frac{1}{2}~.
\end{equation}
其中 $\sigma_x, \sigma_k$ 分别是 $f(x), g(k)$ 的标准差。推导参考量子力学的 “
不确定性原理”。
3. 性质的证明
证明式 16 ：把傅里叶变换看成傅里叶级数在 $l \to \infty$ 时的极限，使用式 14 ，右边的求和在极限下变为积分即可证明。详细过程留做习题。
证明式 18 （式 19 同理）：对式 2 关于 $x$ 求导得
\begin{equation}
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } [ \mathrm{i} kg(k)] \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{k} ~.
\end{equation}
把方括号看作一整个 $k$ 的函数，那么上式对应的反变换为
\begin{equation}
\mathrm{i} kg(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } f'(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} = \mathcal F [f'(x)]~.
\end{equation}
其中 $g(k) = F [f(x)]$，证毕。
证明式 21 （式 22 同理）：过程和式 18 类似，等式右边为
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \quad \frac{1}{\sqrt{2\pi }} f_1 \left( \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{k}} \right) \int_{-\infty }^{+\infty } f_2(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } f_2(x) f_1 \left( \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{k}} \right) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } f_1(x) f_2(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{aligned}
\end{equation}