傅里叶变换

贡献者： addis

预备知识 1　傅里叶级数（指数），傅里叶变换（三角）

　　用三角傅里叶变换中同样的方法可把指数傅里叶级数的区间长度 $l$ 取极限后拓展为指数傅里叶变换

\begin{matrix} (1) & g (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) e^{- i k x} d x, \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} g (k) e^{i k x} d k . \end{matrix}

当

f (x)

为实函数时，

g (k)

的实部是偶函数，虚部是奇函数。

定理 1　实函数、奇函数、偶函数的傅里叶变换

$f (x)$ 是实函数，当且仅当 $g^{*} (k) = g (- k)$ 。
$g (x)$ 是实函数，当且仅当 $f^{*} (x) = f (- x)$ 。
$f (x)$ 是奇（偶）函数，当且仅当 $g (k)$ 是奇（偶）函数。
$f (x)$ 同时是实函数和偶函数，当且仅当 $g (k)$ 同时是实函数和偶函数。
$f (x)$ 同时是实函数和奇函数，当且仅当 $g (k)$ 同时是虚函数和奇函数。

　　证明第 1 条：

　　 $f (x)$ 为实函数的充要条件是 $f (x) = f^{*} (x)$ ，代入式 1 得

\begin{matrix} (3) & g (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} f^{*} (x) e^{- i k x} d x . \end{matrix}

两边取复共轭，得

\begin{matrix} (4) & g^{*} (k) = g (- k) . \end{matrix}

注意

g (k)

的实部是偶函数，虚部是奇函数，因此往往只需要

k

的正半轴即可得到所有信息。上式就是

f (x)

为实函数的充要条件，要证明充分性，将式 4 其代入式 2 可得

f (x) = f^{*} (x)

。证毕。（其余证明留做习题：提示，偶函数的傅里叶变换相当于

\cos

变换）

例 1　高斯分布的傅里叶变换

　　要计算高斯函数

\begin{matrix} (5) & f (x) = e^{- a x^{2}} (a > 0) \end{matrix}

的傅里叶变换，代入式 1 并使用例 2 有

\begin{matrix} (6) & g (k) = \frac{1}{\sqrt{2 a}} \exp (- \frac{k^{2}}{4 a}), \end{matrix}

一个方便的记忆法是

x^{2}

前的系数乘以

k^{2}

前的系数相乘等于

1 / 4

。

例 2　

\begin{matrix} (7) & f (x) = {\begin{cases} \exp (i k_{0} x) \cos^{2} (a x) & (| x | < \frac{π}{2 a}) . \\ 0 & (其他) \end{cases} \end{matrix}

则傅里叶变换为

\begin{matrix} (8) & g (k) = \frac{\sqrt{2 π} a}{4 a^{2} - (k - k_{0})^{2}} sinc [\frac{π (k - k_{0})}{2 a}], \end{matrix}

其中

sinc

函数见相关页面。

例 3　方波

　　区间 $[- l, l]$ ，高为 $1$ 的单个方波，

\begin{matrix} (9) & g (k) = \sqrt{\frac{2}{π}} \frac{\sin (l k)}{k} . \end{matrix}

1. 证明

预备知识 2　狄拉克 delta 函数

未完成：以下证明可能存在问题，需要专业人士审核

以下的证明可以用矢量空间和基底的概念得到更深刻的理解，详见 “傅里叶变换与连续正交归一基底”。

　　我们把式 2 看作定义，用狄拉克 $δ$ 函数来证明式 1 ，反之同理。把式 2 代入式 1 得

\begin{matrix} (10) & g (k) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} [\int_{- \infty}^{+ \infty} g (k^{'}) e^{i k^{'} x} d k^{'}] e^{- i k x} d x . \end{matrix}

这就是我们需要证明的。我们把无穷的积分上下限改写为极限，即

\begin{matrix} (11) & \begin{array}{r} g (k) = \frac{1}{2 π} lim_{n \to \infty} \int_{- n}^{n} [lim_{m \to \infty} \int_{- m}^{m} g (k^{'}) e^{i k^{'} x} d k^{'}] e^{- i k x} d x . \end{array} \end{matrix}

如果内极限可以移动到两个积分外，有

未完成：极限和积分交换的条件是什么？是否满足？

\begin{matrix} (12) & \begin{array}{r} g (k) = \frac{1}{2 π} lim_{n \to \infty} lim_{m \to \infty} \int_{- n}^{n} \int_{- m}^{m} g (k^{'}) e^{i (k^{'} - k) x} d k^{'} d x . \end{array} \end{matrix}

我们假设

g (k^{'})

在

[- m, m]

内绝对值可积，那么有限区间的重积分可以交换顺序，变为

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} \frac{1}{2 π} lim_{n \to \infty} lim_{m \to \infty} \int_{- m}^{m} g (k^{'}) \int_{- n}^{n} e^{i (k^{'} - k) x} d x d k^{'} \\ = lim_{n \to \infty} lim_{m \to \infty} \int_{- m}^{m} g (k^{'}) δ_{n} (k^{'} - k) d k^{'} \\ = lim_{n \to \infty} \int_{- \infty}^{\infty} g (k^{'}) δ_{n} (k^{'} - k) d k^{'} \\ = g (k) . \end{aligned} \end{matrix}

第二个等号中，

δ_{n}

是例 2 中的 delta 函数列，最后一步使用了其性质式 9 。证毕。

　　注意这里要求对每个 $n = 1, 2, \dots$ 积分 $\int_{- \infty}^{\infty} g (k^{'}) δ_{n} (k^{'} - k) d k^{'}$ 都收敛。只有满足该要求的函数才适用该证明。

2. 性质

　　为了书写方便我们用算符 $F$ 和 $F^{- 1}$ 表示傅里叶变换和反变换，即 $F f = g$ 以及 $F^{- 1} g = f$ 。算符在这里可以看作 “函数的函数”，即自变量和函数值都是函数。

　　平移：

\begin{matrix} (14) & F [f (x) e^{i k_{0} x}] = g (k - k_{0}) . \end{matrix}

\begin{matrix} (15) & F [f (x - x_{0})] = g (k) e^{- i k x_{0}} . \end{matrix}

也就是说，给函数乘以

e^{i k_{0} x}

因子再做傅里叶变换，等于先对函数做傅里叶变换，再向右平移

k_{0}

；给函数再向右平移

x_{0}

再做反傅里叶变换，等于先对函数做傅里叶变换，再乘以

e^{- i x_{0} k}

。证明留做习题。

　　 模长不变性：

\begin{matrix} (16) & \int_{- \infty}^{+ \infty} g (k)^{*} g (k) d k = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x)^{*} f (x) d x . \end{matrix}

　　拉伸：

\begin{matrix} (17) & F [f (a x)] = \frac{1}{a} g (\frac{k}{a}) . \end{matrix}

也就是说把函数在

x

方向压缩

a

倍后，各个频率都变大

a

倍，所以傅里叶变换会在

k

方向拉伸

a

倍，另外归一化不变性易得系数

1 / a

。

　　导数：

\begin{matrix} (18) & F [f^{'} (x)] = i k g (k), \end{matrix}

同理

\begin{matrix} (19) & F^{- 1} [g^{'} (k)] = - i x f (x) . \end{matrix}

　　作为式 16 的拓展，有

\begin{matrix} (20) & \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{1} (x)^{*} f_{2} (x) d x = \int_{- \infty}^{+ \infty} g_{1} (k)^{*} g_{2} (k) d k . \end{matrix}

这可以理解为傅里叶变换不改变内积，所以是一个无穷维空间中的幺正变换。

　　如果 $f_{1} (x)$ 可以在 $x = 0$ 泰勒展开，有

\begin{matrix} (21) & F [f_{1} (x) f_{2} (x)] = f_{1} (i \frac{\partial}{\partial k}) g_{2} (k) . \end{matrix}

如果

g_{1} (k)

可以在

k = 0

泰勒展开，有

\begin{matrix} (22) & F^{- 1} [g_{1} (k) g_{2} (k)] = g_{1} (- i \frac{\partial}{\partial x}) f_{2} (x) . \end{matrix}

注意式 18 和式 19 是该性质的特殊情况（令式 21 中

f_{1} (x) = x

，式 22 中

g_{1} (k) = k

）。记忆方法：在傅里叶变换外面的

i \partial / \partial k

相当于傅里叶变换里面的

x

，反傅里叶变换外面的

- i \partial / \partial x

相当于反傅里叶变换里面的

k

。

　　 平均值：

\begin{matrix} (23) & ⟨ k ⟩ = \int_{- \infty}^{+ \infty} k {| g (k) |}^{2} d x = \int_{- \infty}^{+ \infty} f^{*} (x) (- i \frac{d}{d x}) f (x) d x . \end{matrix}

\begin{matrix} (24) & ⟨ x ⟩ = \int_{- \infty}^{+ \infty} x {| f (x) |}^{2} d x = \int_{- \infty}^{+ \infty} g^{*} (k) (i \frac{d}{d k}) g (k) d k . \end{matrix}

推导参考 “平均值（量子力学）”。

　　 不确定性原理：

\begin{matrix} (25) & σ_{x} σ_{k} ⩾ \frac{1}{2} . \end{matrix}

其中

σ_{x}, σ_{k}

分别是

f (x), g (k)

的标准差。推导参考量子力学的 “不确定性原理”。

3. 性质的证明

　　证明式 16 ：把傅里叶变换看成傅里叶级数在 $l \to \infty$ 时的极限，使用式 14 ，右边的求和在极限下变为积分即可证明。详细过程留做习题。

　　证明式 18 （式 19 同理）：对式 2 关于 $x$ 求导得

\begin{matrix} (26) & f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} [i k g (k)] e^{i k x} d k . \end{matrix}

把方括号看作一整个

k

的函数，那么上式对应的反变换为

\begin{matrix} (27) & i k g (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} f^{'} (x) e^{- i k x} d x = F [f^{'} (x)] . \end{matrix}

其中

g (k) = F [f (x)]

，证毕。

　　证明式 21 （式 22 同理）：过程和式 18 类似，等式右边为

\begin{matrix} (28) & \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2 π}} f_{1} (i \frac{\partial}{\partial k}) \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{2} (x) e^{- i k x} d x \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{2} (x) f_{1} (i \frac{\partial}{\partial k}) e^{- i k x} d x \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{1} (x) f_{2} (x) e^{- i k x} d x . \end{aligned} \end{matrix}