幺正变换

贡献者： addis

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预备知识　内积内积空间，幺正变换酉矩阵

定义 1　幺正变换

　　对有限维内积空间中的线性变换 $U : V \to V$ ，若对任意 $u, v \in V$ 都满足变换前后内积不变，即 $⟨ U u | U v ⟩ = ⟨ u | v ⟩$ ，那么 $U$ 就称为一个（有限维的）幺正变换（unitary transform）。

定理 1　

　　有限维赋范空间中的线性变换 $U : V \to V$ 是幺正变换当且仅当对任意 $v \in V$ 都有 $‖ U v ‖ = ‖ v ‖$ 。

定理 2　

　　有限维幺正变换 $U : V \to V$ 在 $V$ 中一组正交归一基底 ${e_{i}}$ 下可以表示为酉矩阵 $U$ 。

　　我们知道正交归一基底 ${e_{i}}$ 下，线性算符 $A : V \to V$ 可以表示为矩阵，矩阵元为 $A_{i, j} = ⟨ e_{i} | A | e_{j} ⟩$ 。

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