幺正变换
贡献者： addis
定义 1 幺正变换
对有限维内积空间中的线性变换 $U: V\to V$，若对任意 $u, v \in V$ 都满足变换前后内积不变，即 $ \left\langle Uu \middle| Uv \right\rangle = \left\langle u \middle| v \right\rangle $，那么 $U$ 就称为一个（有限维的）幺正变换（unitary transform）。
定理 1
有限维赋范空间中的线性变换 $U: V\to V$ 是幺正变换当且仅当对任意 $v\in V$ 都有 $ \left\lVert Uv \right\rVert = \left\lVert v \right\rVert $。
定理 2
有限维幺正变换 $U: V\to V$ 在 $V$ 中一组正交归一基底 $ \left\{e_i \right\} $ 下可以表示为酉矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $。
我们知道正交归一基底 $ \left\{e_i \right\} $ 下，线性算符 $A:V\to V$ 可以表示为矩阵，矩阵元为 $A_{i,j} = \left\langle e_i \middle| A \middle| e_j \right\rangle $。