狄拉克 delta 函数

贡献者： addis

预备知识　定积分，sinc 函数

　　¹在物理中我们经常会遇到一些模型，如质点和点电荷等，这类模型使用了极限的思想（如令体积趋于无穷小）。如果考察质点的密度或点电荷的电荷密度，将得到无穷大，然而将其密度（电荷密度）在空间中积分却又能得到有限的质量与电荷。为了描述这样的密度（电荷密度）分布，我们引入狄拉克 $δ$ 函数（Dirac delta function）。

　　 $δ (x)$ 并不是数学中一个严格意义上的函数，而是在泛函分析中被称为广义函数（generalized function）或分布（distribution），详见泛函分析教材如 [1]。

图 1：

δ (x - x_{0})

函数列的简单例子

　　我们来给出 $δ$ 函数的一个模糊概念：考虑一个含有参数 $h$ 的函数（图 1 左 1）

\begin{matrix} (1) & f_{h} (x) = {\begin{cases} h & (| x - x_{0} | ⩽ \frac{1}{2 h}) \\ 0 & (| x - x_{0} | > \frac{1}{2 h}) \end{cases} (h > 0) . \end{matrix}

其中

h, x_{0}

是常数。由函数图像易得函数曲线下面的面积始终为

\int_{- \infty}^{+ \infty} f_{h} (x) d x = 1

。现在我们可以不断让

h

变大，长方形的高将趋于无穷大，宽将趋于零，而定积分结果不变。

　　粗略地说， $δ (x - x_{0})$ 就是代表上面的 $f_{h} (x)$ 中 $h$ 无限变大的过程。当然，我们还可以选取其他含有参数 $h$ 的函数来逼近 $δ$ 函数，如图 1 中的另外两种情况。

　　一些物理教材会把 $δ (x)$ 的性质简单记为（一般默认 $x_{0} = 0$ ，下同）

\begin{matrix} (2) & δ (x) = {\begin{cases} + \infty & (x = 0) \\ 0 & (x \neq 0) \end{cases}, \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (x) d x = 1 . \end{matrix}

这是十分不严谨的，因为如果直接用式 2 定义函数

δ (x)

，那么上述

h

逐渐变大的图像将彻底丢失，且不可能得到式 3 。况且接下来也会看到

x \neq x_{0}

时极限

lim_{h \to \infty} f_{h} (x)

也未必存在，更未必为零（例 1 ）。

1. 用函数列严格定义

　　²这里我们给出一种严谨的定义：把 $δ$ 函数看作是满足一定条件的函数序列（delta sequence），即无穷个函数像数列一样按一定顺序排列。

定义 1　狄拉克 $δ$ 函数

　　令 $δ_{1} (x), δ_{2} (x), \dots$ 为一组连续实函数的序列。若 $δ_{n} (x)$ 满足以下条件，那么我们把该函数列称为狄拉克 $δ$ 函数（列）：

\begin{matrix} (4) & lim_{n \to \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} δ_{n} (x) d x = 1 . \end{matrix}

且对任意给定的不包含 0 的区间

(a, b)

（

a, b \neq 0

，可取

\pm \infty

），有

\begin{matrix} (5) & lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} δ_{n} (x) d x = 0 . \end{matrix}

　　事实上，教材上（如 [2]）常使用以下定义，但这两种定义是等价的³。

定义 2　狄拉克 $δ$ 函数 2

　　令 $δ_{1} (x), δ_{2} (x), \dots$ 为一个连续实函数的序列。若 $δ_{n} (x)$ 满足以下两个条件，那么我们把该函数列称为狄拉克 $δ$ 函数（列）：

　　对所有性质良好（例如在 $x = 0$ 连续）的 $f (x)$ ，都有

\begin{matrix} (6) & lim_{n \to \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} δ_{n} (x) f (x) d x = f (0) . \end{matrix}

习题 1　高斯函数

　　证明高斯分布函数可以构成以下 $δ$ 函数列

\begin{matrix} (7) & δ_{n} (x) = \sqrt{\frac{n}{π}} e^{- n x^{2}} (n = 1, 2, \dots) . \end{matrix}

例 1　sinc 函数

　　可以证明 $sinc$ 函数可以构成以下 $δ$ 函数列

\begin{matrix} (8) & δ_{n} (x) = \frac{n}{π} sinc (n x) (n = 1, 2, \dots) . \end{matrix}

该式在傅里叶分析和量子力学中有重要应用（下文以及 [2]），但证明起来比较困难暂且从略（证明式 4 可用式 3 ）。注意即使对于

x \neq 0

，极限

lim_{n \to \infty} δ_{n} (x)

也不存在，可见式 2 是十分不严谨的。图 1 的三个例子也较为片面。

图 2：例 1 中的

n sinc (n x)

，注意

n

变大时该函数的 “轮廓” 并不会变窄而是保持近似

1 / x

的形状

2. 常见性质

性质 1

　　若一个等式中出现了所谓的 $δ$ 函数 $δ (x)$ ，那么其严格的定义是先将 $δ (x)$ 替换为符合定义 1 的任意函数列 $δ_{n} (x)$ ，再令等式两边在取极限 $n \to \infty$ 时成立。

　　例如 $δ (x)$ 一个重要的性质是：对任意在 $x = x_{0}$ 处连续函数 $f (x)$ ，有

\begin{matrix} (9) & \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) δ (x - x_{0}) d x = f (x_{0}) . \end{matrix}

使用函数列

δ_{n} (x)

，该等式的严格意义是（注意该极限和积分不可交换，极限必须在最外面）

\begin{matrix} (10) & lim_{n \to \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) δ_{n} (x - x_{0}) d x = f (x_{0}) . \end{matrix}

由于我们假设定义 1 和定义 2 等效，这是成立的。

性质 2

\begin{matrix} (11) & δ (a x) = \frac{1}{| a |} δ (x) . \end{matrix}

我们从式 1 的几何上来不严谨地证明这个性质：与

δ (x)

相比较，

δ (a x)

的图像在

x

方向变窄了

| a |

倍，所以函数曲线下的面积变为原来的

1 / | a |

倍，故

| a | δ (a x)

下的面积是

1

，证毕。

性质 3

　　作为式 11 的拓展，令 $f (x)$ 的根为 $x_{1}, x_{2}, \dots$ ，在这些根处的导数为 $f^{'} (x_{i})$ ，那么

\begin{matrix} (12) & δ [f (x)] = \sum_{i} \frac{1}{| f^{'} (x_{i}) |} δ (x - x_{i}), \end{matrix}

证明和式 11 类似。

性质 4

　　对性质良好的函数 $g (x)$ 有

\begin{matrix} (13) & g (x) δ (x) = g (0) δ (x) . \end{matrix}

证明：对于性质良好的

f (x)

，

\int f (x) g (x) δ (x) d x = f (0) g (0) = \int f (x) g (0) δ (x) d x

。证毕。

3. 应用

　　再次强调我们不能 “按字面意思” 理解任何含有 $δ (x)$ 的等式。

例 2　

　　在傅里叶分析中，时常会看到

\begin{matrix} (14) & \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i k x} d x = 2 π δ (k) . \end{matrix}

然而严格来说，该积分并不收敛，所以不能 “按字面意思” 理解该式。要严格证明，上式两边除以

2 π

，令有限区间

[- n, n]

内的积分为

\begin{matrix} (15) & δ_{n} (k) = \frac{1}{2 π} \int_{- n}^{n} e^{i k x} d x = \frac{\sin (n k)}{π k} = \frac{n}{π} sinc (n k) . \end{matrix}

由例 1 中的结论得

δ_{n} (k)

是一个 delta 函数列。证毕。

　　式 14 是傅里叶分析中重要的公式，稍微变形可得

\begin{matrix} (16) & \int_{- \infty}^{+ \infty} {(\frac{e^{i k^{'} x}}{\sqrt{2 π}})}^{*} \frac{e^{i k x}}{\sqrt{2 π}} d x = δ (k - k^{'}) . \end{matrix}

其中星号代表复共轭。由于函数的内积通常定义为

\int f^{*} (x) g (x) d x

的形式，该式说明两列简谐波（子节 4 ）存在某种意义上的正交归一，详见 “连续正交归一基底与傅里叶变换”。

例 3　

　　事实上式 14 不止一种理解，例 2 中限制积分上下限的方法相当于给式 14 的被积函数乘以窗口函数

\begin{matrix} (17) & g (x) = {\begin{aligned} 1 & (| x | \leq n) \\ 0 & (| x | > n) . \end{aligned} \end{matrix}

那么该例中，我们可以使用一个更平滑的窗口函数

\begin{matrix} (18) & g (x) = e^{- x^{2} / (4 n)} . \end{matrix}

得

\begin{matrix} (19) & \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} / (4 n)} e^{i k x} d x = 2 π \sqrt{\frac{n}{π}} e^{- n x^{2}} . \end{matrix}

而根据习题 1 ，等式右边就是

2 π δ_{n} (x)

。而随着

n

变大，

e^{- x^{2} / (4 n)}

接近

1

，左边的积分也 “接近” 式 14 的左边。

习题 2　

　　证明

\begin{matrix} (20) & \begin{aligned} \int_{- \infty}^{+ \infty} \sin (k^{'} x) \sin (k x) d x = \int_{- \infty}^{+ \infty} \cos (k^{'} x) \cos (k x) d x \\ = π δ (k^{'} - k) - π δ (k^{'} + k) . \end{aligned} \end{matrix}

提示：使用式 1 ，式 2 和式 14 。

例 4　

　　请证明

\begin{matrix} (21) & \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (x - x_{1}) δ (x - x_{2}) d x = δ (x_{1} - x_{2}) . \end{matrix}

注意由此可得积分

\int_{- \infty}^{+ \infty} δ (x)^{2} d x = + \infty

，即不收敛。

　　证明：考虑和上文一样的含参函数 $δ_{n} (x)$ ，令 $I_{n} = \int_{- \infty}^{+ \infty} δ_{n} (x) d x$ ，有 $lim_{n \to \infty} I_{n} = 1$ 。再令

\begin{matrix} (22) & f_{n} (x_{1}, x_{2}) = \int_{- \infty}^{+ \infty} δ_{n} (x - x_{1}) δ_{n} (x - x_{2}) d x . \end{matrix}

未完成：以下证明不严谨，待更正

我们希望证明

lim_{n \to \infty} f_{n} (x_{1}, x_{2}) = δ (x_{1} - x_{2})

。首先对于给定的

x_{1} \neq x_{2}

显然有

lim_{n \to \infty} f_{n} (x_{1}, x_{2}) = 0

。所以只需证明

\begin{matrix} (23) & lim_{n \to \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{n} (x_{1}, x_{2}) d x_{2} = 1 . \end{matrix}

交换积分顺序得

\begin{matrix} (24) & \begin{aligned} lim_{n \to \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} δ_{n} (x - x_{1}) δ_{n} (x - x_{2}) d x d x_{2} \\ = lim_{n \to \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} δ_{n} (x - x_{1}) \int_{- \infty}^{+ \infty} δ_{n} (x - x_{2}) d x_{2} d x \\ = lim_{n \to \infty} I_{n} \int_{- \infty}^{+ \infty} δ_{n} (x - x_{1}) d x \\ = lim_{n \to \infty} I_{n}^{2} = 1, \end{aligned} \end{matrix}

证毕。

1. ^ 参考 [2] 相关内容。参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 参考 Digital Library of Mathematical Functions 相关页面。
3. ^ 容易证明定义 1 是定义 2 的必要条件（只需要令定义 2 中的 $f (x) = 1$ 证明式 4 ；再令 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 为 1，否则为 0，证明式 5 。）。充分条件笔者不会证明。

[1] ^ Eberhard Zeidler. Applied Functional Analysis - Applications to Mathematical Physics
[2] ^ Arfken, Weber, Harris. Mathematical Methods for Physicists - A Comprehensive Guide 7ed

狄拉克 delta 函数

1. 用函数列严格定义

定义 1 狄拉克 δ 函数

定义 2 狄拉克 δ 函数 2

习题 1 高斯函数

例 1 sinc 函数

2. 常见性质

性质 1

性质 2

性质 3

性质 4

3. 应用

例 2

例 3

习题 2

例 4

定义 1　狄拉克 $δ$ 函数

定义 2　狄拉克 $δ$ 函数 2

习题 1　高斯函数

例 1　sinc 函数

例 2　

例 3　

习题 2　

例 4　