贡献者： addis
1在物理中我们经常会遇到一些模型，如质点和点电荷等，这类模型使用了极限的思想（如令体积趋于无穷小）。如果考察质点的密度或点电荷的电荷密度，将得到无穷大，然而将其密度（电荷密度）在空间中积分却又能得到有限的质量与电荷。为了描述这样的密度（电荷密度）分布，我们引入狄拉克 $\delta$ 函数（Dirac delta function）。
$\delta(x)$ 并不是数学中一个严格意义上的函数，而是在泛函分析中被称为广义函数（generalized function）或分布（distribution），详见泛函分析教材如 [1]。
图 1：$\delta(x - x_0)$ 函数列的简单例子
我们来给出 $\delta$ 函数的一个模糊概念：考虑一个含有参数 $h$ 的函数（图 1 左 1）
\begin{equation}
f_h(x) =
\begin{cases}
h & \left( \left\lvert x - x_0 \right\rvert \leqslant \frac{1}{2h} \right) \\
0 & \left( \left\lvert x - x_0 \right\rvert > \frac{1}{2h} \right)
\end{cases}\qquad (h > 0)~.
\end{equation}
其中 $h, x_0$ 是常数。由函数图像易得函数曲线下面的面积始终为 $\int_{-\infty}^{+\infty} f_h(x) \,\mathrm{d}{x} = 1$。现在我们可以不断让 $h$ 变大，长方形的高将趋于无穷大，宽将趋于零，而定积分结果不变。
粗略地说，$\delta(x - x_0)$ 就是代表上面的 $f_h(x)$ 中 $h$ 无限变大的过程。当然，我们还可以选取其他含有参数 $h$ 的函数来逼近 $\delta$ 函数，如图 1 中的另外两种情况。
一些物理教材会把 $\delta(x)$ 的性质简单记为（一般默认 $x_0 = 0$，下同）
\begin{equation}
\delta(x) =
\begin{cases}
+\infty & (x = 0)\\
0 & (x \ne 0)
\end{cases}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \,\mathrm{d}{x} = 1~.
\end{equation}
这是十分不严谨的，因为如果直接用
式 2 定义函数 $\delta(x)$，那么上述 $h$ 逐渐变大的图像将彻底丢失，且不可能得到
式 3 。况且接下来也会看到 $x \ne x_0$ 时极限 $\lim_{h\to \infty}f_h(x)$ 也未必存在，更未必为零（
例 1 ）。
1. 用函数列严格定义
2这里我们给出一种严谨的定义：把 $\delta$ 函数看作是满足一定条件的函数序列（delta sequence），即无穷个函数像数列一样按一定顺序排列。
定义 1 狄拉克 $\delta$ 函数
令 $\delta_1(x), \delta_2(x), \dots$ 为一组连续实函数的序列。若 $\delta_n(x)$ 满足以下条件，那么我们把该函数列称为狄拉克 $\delta$ 函数（列）：
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x) \,\mathrm{d}{x} = 1~.
\end{equation}
且对任意给定的不包含 0 的区间 $(a,b)$（$a,b \ne 0$，可取 $\pm\infty$），有
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b} \delta_n(x) \,\mathrm{d}{x} = 0~.
\end{equation}
事实上，教材上（如 [2]）常使用以下定义，但这两种定义是等价的3。
定义 2 狄拉克 $\delta$ 函数 2
令 $\delta_1(x), \delta_2(x), \dots$ 为一个连续实函数的序列。若 $\delta_n(x)$ 满足以下两个条件，那么我们把该函数列称为狄拉克 $\delta$ 函数（列）：
对所有性质良好（例如在 $x = 0$ 连续）的 $f(x)$，都有
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x)f(x) \,\mathrm{d}{x} = f(0)~.
\end{equation}
习题 1 高斯函数
证明高斯分布函数 可以构成以下 $\delta$ 函数列
\begin{equation}
\delta_n(x) = \sqrt{\frac{n}{\pi}} \mathrm{e} ^{-n x^2} \qquad (n = 1, 2, \dots)~.
\end{equation}
例 1 sinc 函数
可以证明 $ \operatorname{sinc} $ 函数可以构成以下 $\delta$ 函数列
\begin{equation}
\delta_n(x) = \frac{n}{\pi} \operatorname{sinc} (n x) \qquad (n = 1, 2, \dots)~.
\end{equation}
该式在傅里叶分析和量子力学中有重要应用（下文以及
[2]），但证明起来比较困难暂且从略（证明
式 4 可用
式 3 ）。注意即使对于 $x \ne 0$，极限 $\lim_{n\to\infty} \delta_n(x)$ 也不存在，可见
式 2 是十分不严谨的。
图 1 的三个例子也较为片面。
图 2：
例 1 中的 $n \operatorname{sinc} (n x)$，注意 $n$ 变大时该函数的 “轮廓” 并不会变窄而是保持近似 $1/x$ 的形状
2. 常见性质
性质 1
若一个等式中出现了所谓的 $\delta$ 函数 $\delta(x)$，那么其严格的定义是先将 $\delta(x)$ 替换为符合定义 1 的任意函数列 $\delta_n(x)$，再令等式两边在取极限 $n\to\infty$ 时成立。
例如 $\delta(x)$ 一个重要的性质是：对任意在 $x = x_0$ 处连续函数 $f(x)$，有
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x - x_0) \,\mathrm{d}{x} = f(x_0)~.
\end{equation}
使用函数列 $\delta_n(x)$，该等式的严格意义是（注意该极限和积分不可交换，极限必须在最外面）
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta_n(x - x_0) \,\mathrm{d}{x} = f(x_0)~.
\end{equation}
由于我们假设
定义 1 和
定义 2 等效，这是成立的。
性质 2
\begin{equation}
\delta(ax) = \frac{1}{ \left\lvert a \right\rvert } \delta(x)~.
\end{equation}
我们从
式 1 的几何上来不严谨地证明这个性质：与 $\delta(x)$ 相比较，$\delta(ax)$ 的图像在 $x$ 方向变窄了 $ \left\lvert a \right\rvert $ 倍，所以函数曲线下的面积变为原来的 $1/ \left\lvert a \right\rvert $ 倍，故 $ \left\lvert a \right\rvert \delta(ax)$ 下的面积是 $1$，证毕。
性质 3
作为式 11 的拓展，令 $f(x)$ 的根为 $x_1, x_2, \dots$，在这些根处的导数为 $f'(x_i)$，那么
\begin{equation}
\delta[f(x)] = \sum_i \frac{1}{ \left\lvert f'(x_i) \right\rvert } \delta(x - x_i)~,
\end{equation}
证明和
式 11 类似。
性质 4
对性质良好的函数 $g(x)$ 有
\begin{equation}
g(x)\delta(x) = g(0)\delta(x)~.
\end{equation}
证明：对于性质良好的 $f(x)$，$\int f(x) g(x)\delta(x) \,\mathrm{d}{x} = f(0)g(0) = \int f(x)g(0)\delta(x) \,\mathrm{d}{x} $。证毕。
3. 应用
再次强调我们不能 “按字面意思” 理解任何含有 $\delta(x)$ 的等式。
例 2
在傅里叶分析中，时常会看到
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} = 2\pi \delta(k)~.
\end{equation}
然而严格来说，该积分并不收敛，所以不能 “按字面意思” 理解该式。要严格证明，上式两边除以 $2\pi$，令有限区间 $[-n,n]$ 内的积分为
\begin{equation}
\delta_n(k) = \frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} = \frac{ \sin\left(n k\right) }{\pi k} = \frac{n}{\pi} \operatorname{sinc} (n k)~.
\end{equation}
由
例 1 中的结论得 $\delta_n(k)$ 是一个 delta 函数列。证毕。
式 14 是傅里叶分析中重要的公式，稍微变形可得
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k'x}}{\sqrt{2\pi}} \right) ^* \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx}}{\sqrt{2\pi}} \,\mathrm{d}{x} = \delta(k-k')~.
\end{equation}
其中星号代表复共轭。由于函数的
内积通常定义为 $\int f^*(x) g(x) \,\mathrm{d}{x} $ 的形式，该式说明两列简谐波（
子节 4 ）存在某种意义上的
正交归一，详见 “
连续正交归一基底与傅里叶变换”。
例 3
事实上式 14 不止一种理解，例 2 中限制积分上下限的方法相当于给式 14 的被积函数乘以窗口函数
\begin{equation}
g(x) = \left\{\begin{aligned}
&1 && ( \left\lvert x \right\rvert \leq n)\\
&0 && ( \left\lvert x \right\rvert > n)~.
\end{aligned}\right. \end{equation}
那么该例中，我们可以使用一个更平滑的窗口函数
\begin{equation}
g(x) = \mathrm{e} ^{-x^2/(4n)}~.
\end{equation}
得
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e} ^{-x^2/(4n)} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k x} \,\mathrm{d}{x} = 2\pi \sqrt{\frac{n}{\pi}} \mathrm{e} ^{-n x^2}~.
\end{equation}
而根据
习题 1 ，等式右边就是 $2\pi\delta_n(x)$。而随着 $n$ 变大，$ \mathrm{e} ^{-x^2/(4n)}$ 接近 $1$，左边的积分也 “接近”
式 14 的左边。
习题 2
证明
\begin{equation}
\begin{aligned}&\quad\int_{-\infty}^{+\infty} \sin\left(k'x\right) \sin\left(kx\right) \,\mathrm{d}{x} = \int_{-\infty}^{+\infty} \cos\left(k'x\right) \cos\left(kx\right) \,\mathrm{d}{x} \\
&= \pi\delta(k' - k) - \pi\delta(k' + k)~.
\end{aligned}
\end{equation}
提示：使用
式 1 ，
式 2 和
式 14 。
例 4
请证明
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x-x_1) \delta(x-x_2) \,\mathrm{d}{x} = \delta(x_1 - x_2)~.
\end{equation}
注意由此可得积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)^2 \,\mathrm{d}{x} = +\infty$，即不收敛。
证明：考虑和上文一样的含参函数 $\delta_n(x)$，令 $I_n = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x) \,\mathrm{d}{x} $，有 $\lim_{n\to\infty} I_n = 1$。再令
\begin{equation}
f_n(x_1, x_2) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_1) \delta_n(x-x_2) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
未完成：以下证明不严谨，待更正
我们希望证明 $\lim_{n\to\infty }f_n(x_1, x_2) = \delta(x_1 - x_2)$。首先对于给定的 $x_1 \ne x_2$ 显然有 $\lim_{n\to\infty }f_n(x_1, x_2) = 0$。所以只需证明
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty }\int_{-\infty}^{+\infty} f_n(x_1, x_2) \,\mathrm{d}{x_2} = 1~.
\end{equation}
交换积分顺序得
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\lim_{n\to\infty }\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_1) \delta_n(x-x_2) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{x_2} \\
&= \lim_{n\to\infty }\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_1) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_2) \,\mathrm{d}{x_2} \,\mathrm{d}{x} \\
&= \lim_{n\to\infty } I_n \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(x-x_1) \,\mathrm{d}{x} \\
&= \lim_{n\to\infty } I_n^2 = 1~,
\end{aligned}
\end{equation}
证毕。
1. ^ 参考 [2] 相关内容。参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 参考 Digital Library of Mathematical Functions 相关页面。
3. ^ 容易证明定义 1 是定义 2 的必要条件（只需要令定义 2 中的 $f(x) = 1$ 证明式 4 ；再令 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 为 1，否则为 0，证明式 5 。）。充分条件笔者不会证明。
[1] ^ Eberhard Zeidler. Applied Functional Analysis - Applications to Mathematical Physics
[2] ^ Arfken, Weber, Harris. Mathematical Methods for Physicists - A Comprehensive Guide 7ed
