误差函数

贡献者： addis

预备知识 1　高斯积分

图 1：误差函数

　　¹误差函数（error function）的定义为

\begin{matrix} (1) & \erf (x) = \frac{1}{\sqrt{π}} \int_{- x}^{x} e^{- t^{2}} d t = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t, \end{matrix}

这是一个奇函数（图 1 ）。根据式 5 有

\begin{matrix} (2) & \erf (\pm \infty) = \pm 1 . \end{matrix}

由式 13 ，误差函数的导数为

\begin{matrix} (3) & \erf^{'} (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} e^{- x^{2}} . \end{matrix}

即

e^{- x^{2}}

的不定积分（原函数）为

\begin{matrix} (4) & \int e^{- x^{2}} d x = \frac{\sqrt{π}}{2} \erf (x) + C . \end{matrix}

　　误差函数的反函数称为反误差函数（inverse error function），记为 $\erf^{- 1}$ ，定义域为 $(- 1, 1)$ 。

1. 级数展开

预备知识 2　泰勒级数

　　由指数函数的级数展开得

\begin{matrix} (5) & e^{- x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} (- x^{2})^{n} = \sum_{n} \frac{(- 1)^{n}}{n!} x^{2 n} . \end{matrix}

对各项做不定积分代入式 4 可得误差函数的级数展开为

\begin{matrix} (6) & \erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1) n!} x^{2 n + 1} = \frac{2}{\sqrt{π}} (x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{10} - \frac{x^{7}}{42} + \frac{x^{9}}{216} \dots) . \end{matrix}

由该式可以把误差函数拓展到复数域。

　　令 $a$ 为实数且 $a > 0$ ，计算不定积分

\begin{matrix} (7) & \int \exp (- a x^{2} + b x) d x . \end{matrix}

　　解：我们可以先将指数部分凑平方得

\begin{matrix} (8) & - a x^{2} + b x = - t^{2} + \frac{b^{2}}{4 a}, \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (9) & t = \sqrt{a} x - \frac{b}{2 \sqrt{a}}, \end{matrix}

使用上式进行换元积分得

\begin{matrix} (10) & \int \exp (- a x^{2} + b x) d x = \frac{1}{\sqrt{a}} e^{b^{2} / (4 a)} \int e^{- t^{2}} d t = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{a}} e^{b^{2} / (4 a)} \erf (\sqrt{a} x - \frac{b}{2 \sqrt{a}}) . \end{matrix}

　　计算无穷积分（即 $e^{- a x^{2}}$ 的傅里叶变换）

\begin{matrix} (11) & g (k) = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- a x^{2}} e^{- i k x} d x . \end{matrix}

令

b = - i k

，使用例 1 的结论有

\begin{matrix} (12) & g (k) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{a}} e^{- k^{2} / (4 a)} {\erf (\sqrt{a} x + \frac{i k}{2 \sqrt{a}}) |}_{- \infty}^{+ \infty} = \sqrt{\frac{π}{a}} e^{- k^{2} / (4 a)} . \end{matrix}

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。