误差函数

                     

贡献者: addis

预备知识 1 高斯积分
图
图 1:误差函数

  1误差函数(error function)的定义为

\begin{equation} \operatorname{erf} (x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-x}^x \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^x \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} ~, \end{equation}
这是一个奇函数(图 1 )。根据式 5
\begin{equation} \operatorname{erf} (\pm\infty) = \pm 1~. \end{equation}
式 13 ,误差函数的导数为
\begin{equation} \operatorname{erf} '(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e} ^{-x^2}~. \end{equation}
即 $ \mathrm{e} ^{-x^2}$ 的不定积分(原函数)为
\begin{equation} \int \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \operatorname{erf} (x) + C~. \end{equation}

   误差函数的反函数称为反误差函数(inverse error function),记为 $ \operatorname{erf} ^{-1}$,定义域为 $(-1,1)$。

1. 级数展开

预备知识 2 泰勒级数

   由指数函数的级数展开得

\begin{equation} \mathrm{e} ^{-x^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} (-x^2)^n = \sum_n \frac{(-1)^n}{n!} x^{2n}~. \end{equation}
对各项做不定积分代入式 4 可得误差函数的级数展开为
\begin{equation} \operatorname{erf} (x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)n!} x^{2n+1} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \frac{x^9}{216} \dots \right) ~. \end{equation}
由该式可以把误差函数拓展到复数域。

例 1 

   令 $a$ 为实数且 $a > 0$,计算不定积分

\begin{equation} \int \exp\left(-ax^2 + bx\right) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}

   解:我们可以先将指数部分凑平方得

\begin{equation} -ax^2 + bx = -t^2 + \frac{b^2}{4a}~, \end{equation}
其中
\begin{equation} t = \sqrt{a} x - \frac{b}{2\sqrt{a}} \qquad~, \end{equation}
使用上式进行换元积分得
\begin{equation} \int \exp\left(-ax^2 + bx\right) \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{\sqrt{a}} \mathrm{e} ^{{b^2}/(4a)} \int \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} = \frac12 \sqrt{\frac{\pi}{a}} \mathrm{e} ^{{b^2}/(4a)} \operatorname{erf} \left(\sqrt{a} x - \frac{b}{2\sqrt{a}} \right) ~. \end{equation}

例 2 

   计算无穷积分(即 $e^{-ax^2}$ 的傅里叶变换

\begin{equation} g(k) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-a x^2} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
令 $b = - \mathrm{i} k$,使用例 1 的结论有
\begin{equation} g(k) = \frac12 \sqrt{\frac{\pi}{a}} \mathrm{e} ^{-{k^2}/(4a)} \left. \operatorname{erf} \left(\sqrt{a} x + \frac{ \mathrm{i} k}{2\sqrt{a}} \right) \right\rvert _{-\infty}^{+\infty} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \mathrm{e} ^{-{k^2}/(4a)}~. \end{equation}


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

                     

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