贡献者： 零穹; addis; JierPeter
预备知识 1 平均值
，柯西不等式
，高斯波包
，量子力学的基本原理（量子力学）
1. 相容性与不确定性关系
在现代量子力学中，不确定性已经不算一个原理（公理），而是一个可以推出的关系（定理）。
给定一个可观测量 $X$，定义算符 $\Delta X=X-\langle X \rangle$，则对于任意一个态，
\begin{equation}
\begin{aligned}
\langle (\Delta X)^2 \rangle &= \langle X^2-2\langle X \rangle X + \langle X \rangle^2 \rangle\\
&=\langle X^2\rangle -2\langle X \rangle \langle X \rangle + \langle X \rangle^2\\
&=\langle X^2 \rangle - \langle X \rangle^2~.
\end{aligned}
\end{equation}
根据标准差与方差的式 9 ，可见式 1 体现的正是大量测量后所得测量值的方差。测量结果不确定度越大，方差也就越大，因此我们可以用方差来衡量不确定性。
定理 1 不确定性关系
给定两个可观测量 $X$ 和 $Y$，对于任意一个态，必有：
\begin{equation}
\langle (\Delta X)^2 \rangle\langle (\Delta Y)^2 \rangle \geq \frac{1}{4} \left\lvert \langle [X, Y] \rangle \right\rvert ^2~.
\end{equation}
未完成：引用 Schwartz 不等式
证明：
首先，注意到一个事实：如果算符 $A=-A^\dagger$（称之为反厄米算符），则其本征值是纯虚数。证明可以类比厄米算符的定理 5 。
考虑 Schwartz 不等式以及定理 5 ，可推出
\begin{equation}
\langle (\Delta X)\rangle^2\langle (\Delta Y)\rangle^2\geq \left\lvert \langle \Delta X \Delta Y \rangle \right\rvert ^2~,
\end{equation}
现在求出式 3 右边。显然有
\begin{equation}
\Delta X \Delta Y = \frac{1}{2}[\Delta X, \Delta Y]+\frac{1}{2}\{\Delta X, \Delta Y\}~.
\end{equation}
其中 $[\Delta X, \Delta Y]$ 是反厄米算符，$\frac{1}{2}\{\Delta X, \Delta Y\}$ 是厄米算符，因此有
\begin{equation}
\langle\Delta X \Delta Y\rangle = \underset{\text{纯虚数}}{\frac{1}{2}\langle[\Delta X, \Delta Y]\rangle} + \underset{\text{实数}}{\frac{1}{2}\langle\{\Delta X, \Delta Y\}\rangle}~.
\end{equation}
于是根据式 3 和式 5 ，
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\lvert \langle\Delta X \Delta Y\rangle \right\rvert ^2 &= \left\lvert \frac{1}{2}\langle[\Delta X, \Delta Y]\rangle \right\rvert ^2+ \left\lvert \frac{1}{2}\langle\{\Delta X, \Delta Y\}\rangle \right\rvert ^2\\
&\leq\langle (\Delta X)\rangle^2\langle (\Delta Y)\rangle^2~.
\end{aligned}
\end{equation}
把式 6 中的 $ \left\lvert \frac{1}{2}\langle\{\Delta X, \Delta Y\}\rangle \right\rvert ^2$ 剔除，即可得证式 2 。
证毕。
2. 位置—动量不确定性关系
设单个粒子一维运动的波函数 $\psi(x)$ 的位置和动量的标准差为 $\sigma_x$ 和 $\sigma_p$。则根据海森堡对易关系（？？？
）和不确定性关系（定理 1 ），可知：
\begin{equation}
\sigma_x \sigma_p \geqslant \frac{\hbar}{2}~.
\end{equation}
例 1 无限深势阱的束缚态
（未完成）证明束缚态满足式 7 ，但不能取等号。
例 2 高斯波包
已知高斯波包式 1 形为
\begin{equation}
\psi(x)=A_0 \mathrm{e} ^{-a(x-x_0)^2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0x}~,
\end{equation}
波函数的归一化要求 $A_0=(\frac{2a}{\pi})^{1/4}$
我们来求它的动量和位置的不确定度的乘积 $\sigma_x\sigma_p$。
\begin{equation}
\left\langle x \right\rangle =\int_{-\infty}^{+\infty}x \left\lvert \psi \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} = \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty}x \mathrm{e} ^{-2a(x-x_0)^2} \,\mathrm{d}{x} =0~.
\end{equation}
上式中，最后积分式为 0 是因为被积函数为奇函数。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle p \right\rangle &=- \mathrm{i} \hbar\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*} \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} \psi \,\mathrm{d}{x} \\
&=- \mathrm{i} \hbar \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-2a(x-x_0)^2}[-2a(x-x_0)+ \mathrm{i} k_0] \,\mathrm{d}{x} \\
&=\hbar k_0 \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\sqrt{\frac{\pi}{2a}}=\hbar k_0~,
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle x^2 \right\rangle &=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2 \left\lvert \psi \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} = \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty}x^2 \mathrm{e} ^{-2a(x-x_0)^2} \,\mathrm{d}{x} \\
&= \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty} \left[(x-x_0)^2+2x_0(x-x_0)+x_0^2 \right] \mathrm{e} ^{-2a(x-x_0)^2} \,\mathrm{d}{x} \\
&\overset{t=x-x_0}{=} \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty} \left[t^2+2x_0t+x_0^2 \right] \mathrm{e} ^{-2at^2} \,\mathrm{d}{t} \\
&= \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty}t^2 \mathrm{e} ^{-2at^2} \,\mathrm{d}{t}
=\frac{ \left\lvert A_0 \right\rvert ^2}{\sqrt{(2a)^3}}\Gamma \left(\frac{3}{2} \right) \\
&=\frac{ \left\lvert A_0 \right\rvert ^2}{2}\sqrt{\frac{\pi}{(2a)^3}}=\frac{1}{4a}~,
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle p^2 \right\rangle &=-\hbar^2 \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*} \frac{\mathrm{d}^{2}{}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \psi \,\mathrm{d}{x} \\
&=-\hbar^2 \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty} \left[(-2a(x-x_0)+ \mathrm{i} k_0)^2-2a \right] \mathrm{e} ^{-2a(x-x_0)^2} \,\mathrm{d}{x} \\
&=-\hbar^2 \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty} \left[4a^2(x-x_0)^2-2a-k_0^2 \right] \mathrm{e} ^{-2a(x-x_0)^2} \,\mathrm{d}{x} \\
&=-(2a\hbar \left\lvert A_0 \right\rvert )^2\frac{1}{\sqrt{(2a)^3}}\Gamma \left(\frac{3}{2} \right) -\frac{1}{\sqrt{2a}}\hbar^2 \left\lvert A_0 \right\rvert ^2(-2a-k_0^2)\Gamma(\frac{1}{2})\\
&=-\sqrt{\frac{a\pi}{2}}(\hbar \left\lvert A_0 \right\rvert )^2-\sqrt{\frac{\pi}{2a}}\hbar^2 \left\lvert A_0 \right\rvert ^2(-2a-k_0^2)\\
&=\hbar^2a+\hbar^2k_0^2~,
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sigma_x^2&= \left\langle x^2 \right\rangle - \left\langle x \right\rangle ^2=\frac{1}{4a}~, \\
\sigma_p^2&= \left\langle p^2 \right\rangle - \left\langle p \right\rangle ^2=\hbar^2a~.
\end{aligned}
\end{equation}
由
式 13
\begin{equation}
\sigma_x\sigma_p=\frac{\hbar}{2}~.
\end{equation}
故其满足最小不确定度，即
式 7 取等号。因此高斯波包常称为
最小不确定度波包.
3. 最小不确定波包
例 2 中我们展示了高斯波包为最小不确定波包，现在我们来回答这样的问题：什么是最一般的最小不确定波包？
$ \left\langle f \middle| f \right\rangle \left\langle g \middle| g \right\rangle \geqslant \left\lvert \left\langle f \middle| g \right\rangle \right\rvert ^2$ 是柯西不等式，要使得等号成立，必须满足 $g=cf$（$c$ 为复常数）。而对于舍去实部造成得不等式，我们只需令其为 0，则此处也变为等式，即 $ \operatorname{Re} \left\langle f \middle| g \right\rangle = \operatorname{Re} ( c \left\langle f \middle| f \right\rangle )=0$。由于内积 $ \left\langle f \middle| f \right\rangle $ 一定为实数，这就意味着 $c$ 一定得是纯虚数。因此，最小不确定成立的充要条件是
\begin{equation}
g= \mathrm{i} af,\quad(a\in \mathbb{R})~.
\end{equation}
对于坐标-动量，这个判据为
\begin{equation}
\left(- \mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} - \left\langle p \right\rangle \right) \psi= \mathrm{i} a(x- \left\langle x \right\rangle )\psi~.
\end{equation}
容易求得其一般解是：
\begin{equation}
\psi(x)=A_0 \mathrm{e} ^{-a(x- \left\langle x_0 \right\rangle )^2/2\hbar} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \left\langle p \right\rangle x/\hbar}~.
\end{equation}
显然，这是一个高斯波包。故坐标-动量的最一般的最小不确定波包是一个高斯波包。
未完成：为什么一定要忽略实数项？为什么一定存在取等号的情况？