平均值（量子力学）
贡献者： addis; 切糕糕
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1. 离散本征态
本文使用原子单位制，使用狄拉克符号。我们先来回顾测量理论。假设某个测量量 $q$ 对应的算符为 $Q$，有离散的本征态 $ \left\lvert \phi_i \right\rangle $（$i = 1,2\dots$），数量可以是有限或无穷多个，对应的本征值为 $q_i$，满足
\begin{equation}
Q \left\lvert \phi_i \right\rangle = q_i \left\lvert \phi_i \right\rangle ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle \phi_i \middle| \phi_j \right\rangle = \delta_{i,j}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\lvert \psi \right\rangle = \sum_i c_i \left\lvert \phi_i \right\rangle ~.
\end{equation}
对其测量 $Q$，得到第 $q_i$ 的概率为
\begin{equation}
P_i = \left\lvert c_i \right\rvert ^2 = \left\lvert \left\langle \phi_i \middle| \psi \right\rangle \right\rvert ^2~.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle q \right\rangle = \sum_i q_i P_i = \sum_i q_i \left\lvert c_i \right\rvert ^2~.
\end{equation}
平均值的另一个种形式
平均值还有一个更常见的公式，与式 5 等效。
\begin{equation}
\left\langle q \right\rangle = \left\langle \psi \middle| Q \middle| \psi \right\rangle ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle q \right\rangle &= \left(\sum_i c_i^* \left\langle \phi_i \right\rvert \right) Q \left(\sum_j c_j \left\lvert \phi_j \right\rangle \right) \\
&= \sum_{i,j} c_i^* c_j \left\langle \phi_i \right\rvert Q \left\lvert \phi_j \right\rangle ~,
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle q \right\rangle = \sum_{i,j} c_i^* c_j q_i \left\langle \phi_i \middle| \phi_j \right\rangle
= \sum_{i,j} q_i \left\lvert c_i \right\rvert ^2 \delta_{i,j} = \sum_i q_i \left\lvert c_i \right\rvert ^2~.
\end{equation}
未完成：未完成：无限深势阱中的三角波包，用两种方法求能量的平均值，结果相同。
2. 连续本征态
若 $Q$ 的本征态是连续的，记为 $ \left\lvert q \right\rangle $，$q\in (a,b)$（$a,b$ 可取无穷），且满足广义的正交归一条件
未完成：链接，引用量子力学散射态相关文章
\begin{equation}
\left\langle q' \middle| q \right\rangle = \delta(q'-q)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\left\lvert \psi \right\rangle = \int_a^b c(q) \left\lvert q \right\rangle \,\mathrm{d}{q} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
c(q) = \left\langle q \middle| \psi \right\rangle ~.
\end{equation}
未完成：链接到测量理论 相关公式
\begin{equation}
\int \left\lvert c(q) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{q} = 1~.
\end{equation}
这时可以按式 5 定义平均值为
\begin{equation}
\left\langle q \right\rangle = \int_a^b q \left\lvert c(q) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{q} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle q \right\rangle = \left\langle \psi \middle| Q \middle| \psi \right\rangle ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle q \right\rangle &= \int_a^b\int_a^b \left\lvert c(q) \right\rvert ^2 \left\langle q' \middle| Q \middle| q \right\rangle \,\mathrm{d}{q'} \,\mathrm{d}{q} = \int_a^b\int_a^b q \left\lvert c(q) \right\rvert ^2 \left\langle q' \middle| q \right\rangle \,\mathrm{d}{q'} \,\mathrm{d}{q} \\
&= \int_a^b\int_a^b q \left\lvert c(q) \right\rvert ^2\delta(q'-q) \,\mathrm{d}{q'} \,\mathrm{d}{q} \\
&= \int_a^b q \left\lvert c(q) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{q} ~,
\end{aligned}
\end{equation}
位置的平均值（一维）
在位置表象下，虽然我们往往直接认为 $ \left\lvert \psi(x) \right\rvert ^2$ 就是位置分布的概率密度函数，但这同样可以用上述过程推导出来。位置的算符就是 $X = x$，正交归一化的本征态矢为 $ \left\lvert x \right\rangle $ 也就是位于 $x$ 处的狄拉克 $\delta$ 函数，满足正交归一化条件（式 11 ）
\begin{equation}
\left\langle x' \middle| x \right\rangle = \delta(x'-x)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\left\lvert \psi \right\rangle = \int c(x) \left\lvert x \right\rangle \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
c(x) = \left\langle x \middle| \psi \right\rangle = \int_{-\infty}^\infty \psi(x')\delta(x'-x) \,\mathrm{d}{x'} = \psi(x)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle x \right\rangle = \int_{-\infty}^\infty x \left\lvert \psi(x) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} = \int_{-\infty}^\infty \psi ^* (x)x \psi(x) \,\mathrm{d}{x} = \left\langle \psi \middle| x \middle| \psi \right\rangle ~.
\end{equation}
动量的平均值（一维）
一维动量的算符为 $P = - \mathrm{i} \partial/\partial x $，本征值记为 $k = p$，因为在原子单位制中波数等于动量。归一化的本征函数为
\begin{equation}
\left\lvert p \right\rangle = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k x}}{\sqrt{2\pi}}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle p' \middle| p \right\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k' x}}{\sqrt{2\pi}} \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k x}}{\sqrt{2\pi}} \,\mathrm{d}{x} = \delta(k' - k)~.
\end{equation}
\begin{equation}
c(p) = \left\langle p \middle| \psi \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle p \right\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} p \left\lvert c(p) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{p} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle p \right\rangle = \left\langle \psi \middle| P \middle| \psi \right\rangle = - \mathrm{i} \int_{-\infty}^{\infty} \psi ^* (x) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \psi(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
这在物理意义上是符合直觉的，经典力学中，困在势阱中来回运动的小球的平均动量（关于时间平均）也同样为零。
例 2 波函数的坐标、动量平均值
假设一粒子波函数为
\begin{equation}
\psi(x)=
\begin{cases}
C(a^2-x^2) &(-a\leqslant x\leqslant a)\\
0 &(x<-a \ \text{或}\ x>a)
\end{cases}~.
\end{equation}
图 1：粒子波函数示意图
解：由式 8
\begin{equation}
\left\langle x \right\rangle = \int_{-a}^a C ^* (a^2-x^2)xC(a^2-x^2) \,\mathrm{d}{x} = 0~.
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle p \right\rangle &= \int_{-a}^a C ^* (a^2-x^2)(- \mathrm{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} )C(a^2-x^2) \,\mathrm{d}{x} \\
&= - \mathrm{i} \left\lvert C \right\rvert ^2\int_{-a}^a (a^2-x^2)(-2x) \,\mathrm{d}{x} \\
&= 0~.
\end{aligned}
\end{equation}
3. 离散本征态和连续本征态
同时具有离散和连续本征值的典型的例子就是一维有限深势阱的哈密顿算符（能量算符）$H$，如有限深方势阱。
与上面两节同理，若算符 $Q$ 同时存在离散本征态 $ \left\lvert q_i \right\rangle $ 和连续本征态 $ \left\lvert q \right\rangle $，且各自满足上文的正交归一化条件，以及
\begin{equation}
\left\langle q_i \middle| q \right\rangle = 0~,
\end{equation}
那么波函数可以展开为
\begin{equation}
\left\lvert \psi \right\rangle = \sum_i c_i \left\lvert q_i \right\rangle + \int_a^b c(q) \left\lvert q \right\rangle ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle q \right\rangle = \sum_i q_i \left\lvert c_i \right\rvert ^2 + \int_a^b q \left\lvert c(q) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{q} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle q \right\rangle = \left\langle \psi \middle| Q \middle| \psi \right\rangle ~.
\end{equation}
未完成：例子未完成