三角傅里叶变换
贡献者： addis
平方可积的函数都可以用正弦和余弦函数来展开
\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\infty} A(k) \cos\left(kx\right) + B(k) \sin\left(kx\right) \,\mathrm{d}{k} ~,
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\begin{aligned}
&A(k) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} \cos\left(kx\right) f(x) \,\mathrm{d}{x} ~,\\
&B(k) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} \sin\left(kx\right) f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
为了把整个实数范围的非周期函数用三角函数展开，在三角傅里叶级数中我们取极限 $l\to\infty$ 这时角频率的间隔趋于 0。
\begin{equation}
\Delta k = k_{n+1} - k_n = \frac{(n+1)\pi}{l} - \frac{n\pi}{l} = \frac{\pi}{l} \to 0~.
\end{equation}