图

球坐标与直角坐标的转换

预备知识 球坐标系的定义

结论

   根据球坐标的定义,可得两种坐标之间的变换关系

\begin{equation} \begin{cases} x = r\sin \theta \cos \phi \\ y = r\sin \theta \sin \phi \\ z = r\cos \theta \end{cases} \end{equation}
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} r &= \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta &= \arccos \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} }\\ \phi &= \operatorname{Arctan} (y, x) \end{aligned}\right. \end{equation}
以及两组基底之间的变换关系
\begin{equation} \begin{cases} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \sin\theta\cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\theta\sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = \cos\theta\cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\theta\sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} - \sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} = - \sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \end{cases} \end{equation}
\begin{equation} \begin{cases} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = \sin \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \cos \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} - \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = \sin \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \cos \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = \cos \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} - \sin \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \end{cases} \end{equation}

推导

   把空间中一点 $P$ 的位矢 $r \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 分解为垂直于 $xy$ 平面的分量 $z = r\cos \theta $ 和 $xy$ 平面的分量 $r\sin \theta $. 后者又可以进而分解成 $x$ 分量 和 $y$ 分量 $x = r\sin \theta \cos \phi$, $y = r\sin \theta \sin \phi$, 这就得到了式 1

   在直角坐标系中, 有 $r = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2}$, 代入式 1 中的三条关系,就可以很容易解出式 2 中的三条关系.

   现在推导变换关系(式 3 ).由于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 都是关于 $(r, \theta, \phi)$ 的函数,所以在考察一点 $(r, \theta, \phi)$ 时, $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 的球坐标是 $(1, \theta, \phi)$, 根据式 1 变换到直角坐标为

\begin{equation} (\sin \theta \cos \phi,\,\sin \theta \sin \phi,\,\cos \theta) \end{equation}
写成矢量的形式,就是
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \sin \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \cos \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
至于式 3 的第二条式子,在同一个球坐标 $(r,\theta ,\phi)$ 处, $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 的球坐标为 $(1, \theta + \pi /2, \phi)$, 根据式 1 变换到直角坐标再化简就得到直角坐标和对应的矢量形式为
\begin{equation} (\cos \theta \cos \phi ,\,\cos \theta \sin \phi , \,- \sin \theta) \end{equation}
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = \cos \theta \cos \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos \theta \sin \phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} - \sin \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
同理,在同一点 $(r, \theta, \phi)$ 处, $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 的球坐标为 $(1, \pi /2, \phi + \pi /2)$, 得到第三条式子.

   下面推导变换式 4 . 由于已经知道了变换式 3 , 且直角坐标系和球坐标系中的基底都是单位正交基,所以直接把变换式 3 中的系数写成 $3 \times 3$ 的矩阵形式,再转置 即可得到变换式 4 中的系数矩阵.

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