图

球坐标与直角坐标的转换

预备知识 球坐标系的定义

结论

   根据球坐标的定义,可得两种坐标之间的变换关系

\begin{equation} \leftgroup{ x &= r\sin \theta \cos \phi \\ y &= r\sin \theta \sin \phi \\ z &= r\cos \theta }\end{equation}
\begin{equation} \leftgroup{ r &= \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta &= \arccos \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} }\\ \phi &= \arctan \frac{y}{x} }\end{equation}
以及两组基底之间的变换关系
\begin{equation} \leftgroup{ \uvec r &= \sin\theta\cos\phi\,\uvec x + \sin\theta\sin\phi\,\uvec y + \cos\theta\,\uvec z\\ \uvec \theta &= \cos\theta\cos\phi\,\uvec x + \cos\theta\sin\phi\,\uvec y - \sin\theta\,\uvec z\\ \uvec \phi &= - \sin\phi\,\uvec x + \cos\phi\,\uvec y }\end{equation}
\begin{equation} \leftgroup{ \uvec x &= \sin \theta \cos \phi \,\uvec r + \cos \theta \cos \phi \,\uvec \theta - \sin \phi \,\uvec \phi \\ \uvec y &= \sin \theta \sin \phi \,\uvec r + \cos \theta \sin \phi \,\uvec \theta + \cos \phi \,\uvec \phi \\ \uvec z &= \cos \theta \,\uvec r - \sin \theta \,\uvec \theta }\end{equation}

推导

   把空间中一点 $P$ 的位矢 $r \,\uvec r$ 分解为垂直于 $xy$ 平面的分量 $z = r\cos \theta $ 和 $xy$ 平面的分量 $r\sin \theta $. 后者又可以进而分解成 $x$ 分量 和 $y$ 分量 $x = r\sin \theta \cos \phi$, $y = r\sin \theta \sin \phi$, 这就得到了式 1

   在直角坐标系中, 有 $r = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2}$, 代入式 1 中的三条关系,就可以很容易解出式 2 中的三条关系.

   现在推导变换关系(式 3 ).由于 $\uvec r,\uvec \theta ,\uvec \phi $ 都是关于 $(r, \theta, \phi)$ 的函数,所以在考察一点 $(r, \theta, \phi)$ 时, $\uvec r$ 的球坐标是 $(1, \theta, \phi)$, 根据式 1 变换到直角坐标为

\begin{equation} (\sin \theta \cos \phi,\,\sin \theta \sin \phi,\,\cos \theta) \end{equation}
写成矢量的形式,就是
\begin{equation} \uvec r = \sin \theta \cos \phi \,\uvec x + \sin \theta \sin \phi \,\uvec y + \cos \theta \,\uvec z \end{equation}
至于式 3 的第二条式子,在同一个球坐标 $(r,\theta ,\phi)$ 处, $\uvec \theta $ 的球坐标为 $(1, \theta + \pi /2, \phi)$, 根据式 1 变换到直角坐标再化简就得到直角坐标和对应的矢量形式为
\begin{equation} (\cos \theta \cos \phi ,\,\cos \theta \sin \phi , \,- \sin \theta) \end{equation}
\begin{equation} \uvec \theta = \cos \theta \cos \phi \,\uvec x + \cos \theta \sin \phi \,\uvec y - \sin \theta \,\uvec z \end{equation}
同理,在同一点 $(r, \theta, \phi)$ 处, $\uvec \phi $ 的球坐标为 $(1, \pi /2, \phi + \pi /2)$, 得到第三条式子.

   下面推导变换式 4 . 由于已经知道了变换式 3 , 且直角坐标系和球坐标系中的基底都是单位正交基,所以直接把变换式 3 中的系数写成 $3 \times 3$ 的矩阵形式,再转置 即可得到变换式 4 中的系数矩阵.

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