图

算符和本征问题

预备知识 量子力学, 平面波, 厄米矩阵的本征值问题

   “量子力学” 中我们已经简单介绍了量子力学的基本假设. 这里我们来进行更详细的说明, 注意我们仍然只讨论做一维直线运动的单个微观粒子. 首先来做一个总结

算符和本征问题

   之前提到, 位置的本征函数是一些无穷窄的函数, 叫做 $\delta$ 函数, 对应的位置本征值则是这些 $\delta$ 函数所在的位置. 动量的本征函数是一些平面波, 对应的动量本征值就是平面波的空间频率乘以一个常数. 然而我们并没有说明某个物理量的本征波函数是怎么得到的, 以下将进一步介绍.

   在量子力学中, 每个物理量都可以对应一个算符, 算符可以想象为对波函数的一种操作, 算符作用在波函数上可以得到一个新的波函数. 例如某时刻波函数为 $\sin x$, 求导算符 $\dvStar{x}$ 作用在 $\sin x$ 上就得到一个新的波函数 $\cos x$. 又例如坐标 $x$ 也可以作为一个算符, 我们定义将其作用在任意波函数 $\Psi(x, t)$ 上, 就是将其相乘, 即 $x\Psi(x, t)$. 又例如任意函数 $f(x)$ 也可以是一个算符, 我们定义将其作用在 $\Psi(x, t)$ 上得 $f(x)\Psi(x, t)$.

   在书写习惯上, 我们将某物理量 $Q$ 的算符用 $\Q Q$ 表示, 如位置的算符用 $\Q x$ 表示, 动量的算符用 $\Q p$ 表示. 当我们熟练以后, 为了书写简洁往往将 “$\hat{\phantom{x}}$” 符号省略.

   要得到某个物理量的本征函数, 我们需要解本征方程

\begin{equation} \hat Q \psi(x) = \lambda \psi(x) \end{equation}
其中 $\lambda$ 是本征值, $\psi(x)$ 是本征函数, 二者都是未知的. 如果本征值是离散的(如束缚态的能量), 我们就可以用整数角标来 $i$ (来区分不同的本征值和本征函数, 将它们分别记为 $\lambda_i$ 和 $\psi_i(x)$, 如果本征值是连续的(如位置,动量), 我们就将角标 $i$ 替换为一个实数, 比方说记为 $\alpha$. 用 $\lambda(\alpha)$ 区分不同本征值, 将对应的波函数记为 $\psi_\alpha(x)$. 注意本征函数不含时间变量 $t$. 另外, 用于由于物理量的算符, 其本征值必定是实数. 我们把这类算符叫做厄米算符(Hermitian operator)1, 以后会具体介绍.

   我们姑且认为, 量子力学的基本假设规定2位置的算符 $\Q x$ 是 $x$, 动量的算符 $\Q p$ 是微分算符 $-\I\hbar \pdvStar{x}$. 其中 $\I$ 是虚数单位, $\hbar$ 是一个常数, 叫做约化普朗克常数, 即普朗克常数 $h$ 除以 $2\pi$.

   可以定性地验证位于坐标 $x_0$ 处的 $\delta$ 函数是 $\Q x$ 的本征矢, 且本征值为 $x_0$. 我们把位于原点处的 $\delta$ 函数记为 $\delta(x)$, 那么 $x_0$ 处的 $\delta$ 函数就是 $\delta (x - x_0)$. 将本征函数和本征值代入本征方程, 得

\begin{equation} x \delta(x - x_0) = x_0 \delta(x - x_0) \end{equation}
我们可以从函数图像上对该式做一个定性证明: 由于 $\delta(x - x_0)$ 只有在 $x_0$ 处一个无穷窄的区间不为零, 所以将 $\delta$ 函数乘以 $x$, 就相当于在这个不为零的无穷窄区间乘以 $x_0$.

   动量的本征方程为

\begin{equation} \Q p \psi(x) = -\I\hbar \pdv{x} \psi(x) = p \psi(x) \end{equation}
代入即可证明本征函数为3 $\psi(x) = \expRound{\I k x}$, 对应的 动量本征值为 $p = \hbar k$. $\expRound{\I k x}$ 是平面波的复数形式, 量子力学中的平面波指的是这个而不是 $\sinRound{kx}$ 或 $\cosRound{kx}$.

   利用波长和波数的关系 $\lambda = 2\pi/k$, 以及 $\hbar = h/2\pi$, 我们就可以得到著名的德布罗意公式

\begin{equation} \lambda = \frac{h}{p} \end{equation}
所以德布罗意公式描述的是动量本征值和本征函数(平面波)的波长之间的关系, 即动量和波长成反比. 所以平面波的波长 $\lambda$ 也叫德布罗意波长

   量子力学的基本假设规定, 其他所有算符都可以通过位置和动量算符拼凑而成, 其形式与经典力学中对应物理量的形式相同. 例如, 经典力学中的动能为 $p^2/(2m)$, 那么量子力学中的动能算符(习惯上用大写字母 $T$ 表示)就是

\begin{equation} \Q T = \frac{\Q p^2}{2m} \end{equation}

   要理解算符运算并不难, 这里的 $\Q p^2$ 也可以记为 $\Q p \Q p$, 即两个动量算符相乘. 两个算符相乘的定义是, 将右边的算符先作用在波函数上, 再将左边的算符作用在波函数上. 所以 $\Q p^2$ 作用在波函数 $\psi(x)$ 上, 就相当与先关于 $x$ 求偏导, 乘以常数 $-\I \hbar$, 再关于 $x$ 求偏导, 再乘以常数 $-\I \hbar$.

\begin{equation} \Q p^2 \psi = -\I \hbar\pdv{x} \qtyRound{-\I \hbar\pdv{x} \psi} \end{equation}
由于常数可以提到求导算符的外面, 这就相当于关于 $x$ 求二阶偏导, 然后在乘以 $(-\I \hbar)^2 = -\hbar^2$.
\begin{equation} \Q p^2 \psi(x) = -\hbar^2 \pdv[2]{x} \psi(x) \end{equation}
所以
\begin{equation} \Q p^2 = -\hbar^2 \pdv[2]{x} \end{equation}
\begin{equation} \Q T = \frac{\Q p^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m} \pdv[2]{x} \end{equation}

   有了动能的算符, 我们就可以列出动能的本征方程并解出其本征函数和本征值 $E_k$(注意角标 $k$ 代表 kinetic, 不是波数)

\begin{equation} \Q T \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \pdv[2]{x}\psi(x) = E_k \psi(x) \end{equation}
巧的是, 解出动能的本征函数与动量的本征函数相同, 也是 $\expRound{-\I k x}$, 但对应的本征值不同, 是 $E_k = \hbar^2 k^2/(2m)$. 这事实上并不是巧合, 因为 $\Q T$ 正比于 $\Q p^2$, 当第一个 $\Q p$ 作用在动量的本征函数上, 得到的是常数乘以该本征函数, 再经第二个 $\Q p$ 作用, 同样相当于乘以一个常数
\begin{equation} \ali{ -\I \hbar \pdv{x} \qtyRound{-\I \hbar \pdv{x} \E^{-\I k x}} &= -\I \hbar \pdv{x} \qtyRound{\hbar k \E^{-\I k x}} = \hbar k \qtyRound{-\I \hbar \pdv{x} \E^{-\I k x}}\\ &= \hbar^2 k^2\E^{-\I k x} }\end{equation}
两边除以 $2m$, 就验证了动能的本征方程, 并得到本征值. 需要注意的是, 同一个动能本征值 $E_k$ 对应两个互为相反数的波数 $k$, 即存在两个线性无关的本征态(分别是向左和向右的平面波), 且这两个本征态的任意线性组合都是同一个能量本征值的本征函数. 我们把这种一个本征值对应多个本征函数的情况叫做简并, 如果最多由 $N$ 个本征函数, 就有 $N$ 重简并. 所以一维情况下, 能量具有二重简并.


1. 数学上也叫自伴算符(self-adjoint operator)
2. 严格来说这并不是基本假设的一部分, 但现阶段这么认为并没有大碍. 说实话, 本书并不打算深究这一点. 另外, 算符在不同的波函数表象下具有不同的形式, 这里使用的是位置表象. 表象的概念以后会学习, 现在先不用担心.
3. 我们也可以通过解微分方程得到

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利