图

氢原子电离截面

预备知识 类氢原子的波函数

   一阶微扰理论就是单光子电离.

   基态与平面波的积分

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{d}} _{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } = \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{r}} \middle| 0 \right\rangle = \frac{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} }{\sqrt2\pi} \int_0^{+\infty} \int_0^\pi \mathrm{e} ^{-r} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k r \cos\theta} r \cos\theta \cdot r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{r} \end{equation}
换元, 令 $u = \cos\theta$, 得
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{d}} _{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } &= \frac{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} }{\sqrt{2}\pi} \int_0^{+\infty} r^3 \mathrm{e} ^{-r} \int_{-1}^1 \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k r u} u \,\mathrm{d}{u} \cdot \,\mathrm{d}{r} \\ &= \mathrm{i} \frac{\sqrt2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} }{\pi k} \int_0^{+\infty} r^2 \mathrm{e} ^{-r} \left[ \cos\left(kr\right) - \frac{1}{kr} \sin\left(kr\right) \right] \,\mathrm{d}{r} \\ &= - \mathrm{i} \frac{8\sqrt2}{\pi} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }{(k^2+1)^3} \end{aligned} \end{equation}

   严格来说, 需要把平面波替换为库仑函数.

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