图

氢原子电离截面

预备知识 类氢原子的波函数

   一阶微扰理论就是单光子电离.

   基态与平面波的积分

\begin{equation} \bvec d_{\bvec k} = \mel{\bvec k}{\bvec r}{0} = \frac{ \uvec k}{\sqrt2\pi} \int_0^{+\infty} \int_0^\pi \E^{-r} \E^{-\I k r \cos\theta} r \cos\theta \cdot r^2 \sin\theta \dd{\theta} \dd{r} \end{equation}
换元, 令 $u = \cos\theta$, 得
\begin{equation}\ali{\bvec d_{\bvec k} &= \frac{\uvec k}{\sqrt{2}\pi} \int_0^{+\infty} r^3 \E^{-r} \int_{-1}^1 \E^{-\I k r u} u \dd{u} \cdot \dd{r}\\ &= \I\frac{\sqrt2 \uvec k}{\pi k} \int_0^{+\infty} r^2 \E^{-r} \qtySquare{\cosRound{kr} - \frac{1}{kr}\sinRound{kr}} \dd{r}\\ &= -\I \frac{8\sqrt2}{\pi} \frac{\bvec k}{(k^2+1)^3} }\end{equation}

   严格来说, 需要把平面波替换为库仑函数.

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