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流密度

预备知识 矢量场

   流密度可以用于描述某时刻流体在的空间流动的情况. 我们以水流为例, 在一条河流或管道中, 某时刻三维空间中任意一点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处, 都对应一个水流速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $, 如果我们在该点放置一个垂直于速度的微小截面, 令其面积为 $\Delta S$, 在一段微小时间 $\Delta t$ 内流经截面的质量为 $\Delta m$, 那么流密度可以用极限定义为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \lim_{\Delta S, \Delta t \to 0} \frac{\Delta m}{\Delta S \Delta t} \end{equation}
这是一个关于位置的矢量函数, 即矢量场, 也可以称为流密度场. 广义来说, 式 1 中的分子可以是不同的物理量. 若分子是质量则称流密度为质量流密度, 若是能量则称为能流密度, 若是粒子数则称为粒子流密度, 若是电荷量则称为电流密度, 等等.

   我们也可以根据密度和速度来定义流密度

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
其中密度定义为(分母同样可以替换成其他物理量)
\begin{equation} \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \lim_{\Delta V} \frac{\Delta m}{\Delta V} \end{equation}
式 2 的定义和式 1 是等效的, 因为时间 $\Delta t$ 内流经 $\Delta S$ 的体积为 $\Delta V = \Delta S \cdot v \Delta t$, 带入式 3 再带入式 2 就得到了式 1

流密度与流

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