一维单原子链晶格

                     

贡献者: _Eden_; addis

预备知识 小振动

   为了研究复杂的三维晶格的性质,我们可以先从较为简单的结构入手,例如研究一维单原子链的情形,并且假定仅相邻原子之间存在相互作用.设一排 N 个相同的原子组成的简单晶体,原子质量为 $m$,相邻两个原子的相互作用能是它们之间距离的函数:$V(r)$.当晶体处于平衡位置时,相邻两原子间距离为 $a$,那么原子略微偏离平衡位置可以产生小振动,根据理论力学的相关知识,一维单原子链作为 $N$ 个自由度的力学体系,共有 $N$ 个独立简谐振动模式,对这些简谐振动模式的研究可以帮助我们认识一维晶格振动的情形.

   为了衡量相邻原子间弹性恢复力的程度,我们把相互作用能 $V(r)$ 在 $a$ 附近进行傅里叶展开:

\begin{equation} V(a+\delta)=V(a)+\frac{1}{2}\beta \delta^2+\text{高阶项} \end{equation}
$\beta$ 被称为力常数.让我们暂时地忽略高阶项,那么相邻两原子间的作用力大小为
\begin{equation} F=-\frac{ \,\mathrm{d}{V} }{ \,\mathrm{d}{\delta} }=-\beta\delta \end{equation}

1. 格波解与色散关系

   我们先忽略原子链的边界情况,即假设它是无限长的.设第 $n$ 个原子偏离平衡位置的位移为 $\mu_n$,我们可以根据牛顿运动定律列出方程

\begin{equation} m \ddot \mu_n = \beta(\mu_{n+1}-\mu_n)-\beta(\mu_n - \mu_{n-1}) \end{equation}
为了找到相互独立且正交的简谐振动模式,我们假定方程具有 “格波” 形式的特殊解
\begin{equation} \mu_{n}(q)=Ae^{i(\omega t-naq)} \end{equation}
$q$ 为波数.代入式 3 可以求得
\begin{equation} \omega^2=\frac{4\beta}{m}\sin^2 \left(\frac{1}{2}aq \right) \end{equation}
这表明对于任意波数 $q$ 可以解出简振模的频率 $\omega$,而 $\omega$ 与 $q$ 的函数关系被称为色散关系

   相邻两个原子间距离为 $a$,这表明 $q$ 和 $q+2\pi/a$ 对应同一种格波.为了方便起见,我们令 $-\pi/a < q < \pi/a$.这个取值范围是这个一维简单晶格的布里渊区

   前面我们讨论的是无穷长的晶格,现在让我们把目光转向 $N$ 个原子的情形.采用周期性边界条件(玻恩-卡曼条件),即设这个原子链首尾相连形成一个环,这时振动模式的色散关系应当与实际情形差不多.由于首尾相连,式 3 仍然成立,所以仍可以设格波解.所以 式 4 应满足周期性条件,$\mu_n(0)=\mu_n(N)$.因此 $q$ 的取值不再是连续的,而是离散的:

\begin{equation} q=0,\pm \frac{2\pi}{Na},\pm 2\cdot \frac{2\pi}{Na},\cdots, (-\pi/a < q < =\pi/a) \end{equation}
$q$ 一共有 $N$ 种取值,色散关系仍为 式 5 ,所以共有 $N$ 种简谐振动模式.当原子数量 $N$ 很大时,一维原子链近似于连续介质,$q$ 的取值就是准连续的.

2. 声子与元激发

预备知识 量子简谐振子(升降算符法)

   根据量子力学基本原理,简正振动的能级并非连续的,而是量子化的.波数为 $q$ 频率为 $\omega$ 的振动模的能量本征值只能为

\begin{equation} \epsilon_n= \left(n+\frac{1}{2} \right) \hbar\omega \end{equation}
能量激发的单元是 $\hbar\omega$,因此能级 $\epsilon_n$ 可以看作是 $n$ 个频率为 $\omega$ 的带有能量 $\hbar\omega$ 的声子.声子不是真实的粒子,而是多体系统集体运动的激发单元(称为 “元激发”),是 “准粒子”.用准粒子的概念可以更好地分析和理解晶体的各种物理性质.

   在前面的推导种我们对势能展开时忽略了高阶项,同时忽略了晶格边界的效应,因此不同的简正模相互独立,不同声子互不干扰.然而如果考虑高阶项的影响,拉格朗日方程将多出 “非谐项”,这使得不同声子之间可以有相互作用,即 “碰撞”.声子的碰撞正是晶格的热传导的原因.此外晶格中如果掺杂了杂志,则可能会产生局域模共振模,声子在传播过程中也可能与之 “碰撞”,因此杂质对热传导系数也有影响.

   我们可以对 “声子气体” 作研究来探索晶格的热力学性质.由统计力学的玻色爱因斯坦分布可以知道声子的频率分布函数,进而求得晶格振动所导致的内能与热容.晶格热容的爱因斯坦理论 与 晶格热容的德拜理论 正是运用了这一思想.


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