贡献者： _Eden_; addis
为了研究复杂的三维晶格的性质，我们可以先从较为简单的结构入手，例如研究一维单原子链的情形，并且假定仅相邻原子之间存在相互作用。设一排 N 个相同的原子组成的简单晶体，原子质量为 $m$，相邻两个原子的相互作用能是它们之间距离的函数：$V(r)$。当晶体处于平衡位置时，相邻两原子间距离为 $a$，那么原子略微偏离平衡位置可以产生小振动，根据理论力学的相关知识，一维单原子链作为 $N$ 个自由度的力学体系，共有 $N$ 个独立简谐振动模式，对这些简谐振动模式的研究可以帮助我们认识一维晶格振动的情形。
为了衡量相邻原子间弹性恢复力的程度，我们把相互作用能 $V(r)$ 在 $a$ 附近进行傅里叶展开：
\begin{equation}
V(a+\delta)=V(a)+\frac{1}{2}\beta \delta^2+\text{高阶项}~,
\end{equation}
$\beta$ 被称为
力常数。让我们
暂时地忽略高阶项，那么相邻两原子间的作用力大小为
\begin{equation}
F=-\frac{ \,\mathrm{d}{V} }{ \,\mathrm{d}{\delta} }=-\beta\delta~.
\end{equation}
1. 格波解与色散关系
我们先忽略原子链的边界情况，即假设它是无限长的。设第 $n$ 个原子偏离平衡位置的位移为 $\mu_n$，我们可以根据牛顿运动定律列出方程
\begin{equation}
m \ddot \mu_n = \beta(\mu_{n+1}-\mu_n)-\beta(\mu_n - \mu_{n-1})~.
\end{equation}
为了找到相互独立且正交的简谐振动模式，我们假定方程具有 “格波” 形式的特殊解
\begin{equation}
\mu_{n}(q)=Ae^{i(\omega t-naq)}~,
\end{equation}
$q$ 为波数。代入
式 3 可以求得
\begin{equation}
\omega^2=\frac{4\beta}{m}\sin^2 \left(\frac{1}{2}aq \right) ~.
\end{equation}
这表明对于任意波数 $q$ 可以解出简振模的频率 $\omega$，而 $\omega$ 与 $q$ 的函数关系被称为
色散关系。
相邻两个原子间距离为 $a$，这表明 $q$ 和 $q+2\pi/a$ 对应同一种格波。为了方便起见，我们令 $-\pi/a< q<\pi/a$。这个取值范围是这个一维简单晶格的布里渊区。
前面我们讨论的是无穷长的晶格，现在让我们把目光转向 $N$ 个原子的情形。采用周期性边界条件（玻恩-卡曼条件），即设这个原子链首尾相连形成一个环，这时振动模式的色散关系应当与实际情形差不多。由于首尾相连，式 3 仍然成立，所以仍可以设格波解。所以 式 4 应满足周期性条件，$\mu_n(0)=\mu_n(N)$。因此 $q$ 的取值不再是连续的，而是离散的：
\begin{equation}
q=0,\pm \frac{2\pi}{Na},\pm 2\cdot \frac{2\pi}{Na},\cdots, (-\pi/a< q<=\pi/a)~.
\end{equation}
$q$ 一共有 $N$ 种取值，色散关系仍为
式 5 ，所以共有 $N$ 种简谐振动模式。当原子数量 $N$ 很大时，一维原子链近似于连续介质，$q$ 的取值就是准连续的。
2. 声子与元激发
根据量子力学基本原理，简正振动的能级并非连续的，而是量子化的。波数为 $q$ 频率为 $\omega$ 的振动模的能量本征值只能为
\begin{equation}
\epsilon_n= \left(n+\frac{1}{2} \right) \hbar\omega~.
\end{equation}
能量激发的单元是 $\hbar\omega$，因此能级 $\epsilon_n$ 可以看作是 $n$ 个频率为 $\omega$ 的带有能量 $\hbar\omega$ 的
声子。声子不是真实的粒子，而是多体系统集体运动的激发单元（称为 “元激发”），是 “准粒子”。用准粒子的概念可以更好地分析和理解晶体的各种物理性质。
在前面的推导种我们对势能展开时忽略了高阶项，同时忽略了晶格边界的效应，因此不同的简正模相互独立，不同声子互不干扰。然而如果考虑高阶项的影响，拉格朗日方程将多出 “非谐项”，这使得不同声子之间可以有相互作用，即 “碰撞”。声子的碰撞正是晶格的热传导的原因。此外晶格中如果掺杂了杂质，则可能会产生局域模或共振模，声子在传播过程中也可能与之 “碰撞”，因此杂质对热传导系数也有影响。
我们可以对 “声子气体” 作研究来探索晶格的热力学性质。由统计力学的玻色爱因斯坦分布可以知道声子的频率分布函数，进而求得晶格振动所导致的内能与热容。晶格热容的爱因斯坦理论与晶格热容的德拜理论正是运用了这一思想。
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