晶格振动导论

贡献者： _Eden_

　　 我们常常对固体模型作一定程度上的简化，并将它分为两部分来研究，一部分是占据在格点处的离子实，相邻两个格点上的离子实之间存在相互作用势，因此它们在平衡位置附近作振动；另一部分是价电子在晶格中的行为，电子与离子、电子与电子之间的库仑势能共同形成了晶格中的势能分布，从而影响了电子的波函数。前者被称为“晶格振动”。根据量子力学，晶格振动模式的能量本征值是分立的，而晶格振动的激发可以被视作 “声子”，研究晶格的振动的方法于是转化为对声子气体的研究。

　　 研究晶格振动，我们可以从最简单的模型（一维晶格）出发。通过对一维单原子链晶格的分析，我们得到了一维晶体的声子的色散关系，它反映了各种晶格振动模式的频率、波数对应关系。我们可以进一步讨论一维双原子链晶格，其中两个原子构成一个新的原胞。通过对色散关系的计算，我们发现双原子链晶格的声子能带存在光学支，也因此存在红外吸收峰，这在固体物理中是非常重要的现象。随后我们可以将模型推广到三维晶格的振动。在长波极限下，一般而言，沿一个方向传播的声子有三种，其中两个是横波，一个是纵波，在色散关系图上对应三个声学支。

　　 利用玻色-爱因斯坦分布可以得到不同频率的声子分布函数和温度之间的关系。再通过计算声子的能态密度，可以得到晶格振动的总能量。用这种方法可以计算声子气体对晶格热容的贡献。有两个简化版的近似理论，一个是晶格热容的爱因斯坦理论，另一个是晶格热容的德拜理论，它们都对声子色散关系作了简化处理，从而得到晶格热容的一个简化表达式。

　　 最后，我们还要研究晶格中相互作用的非谐项，即拉格朗日量中的三次方项或更高阶项。它们对应着声子之间的碰撞，或多个声子之间的相互作用。这些非谐项来自于库仑势本身，以及非理想晶格中的杂质、边界等。这些非谐项并不是可以忽略的，而是相当重要的，它直接 “导致” 了晶格的热传导现象。