一维双原子链晶格

                     

贡献者： _Eden_

　　 假如两种原子交替排布构成了一维双原子链，一共 $N$ 个原胞，每个原胞有 $P,Q$ 两个原子。加入只考虑相邻原子间的相互作用，设相邻两原子间的相互作用能为

忽略高阶项，则相邻原子间作用力为 设 $P,Q$ 两原子的质量分别为 $m,M$，并设平衡状态下相邻两原子间距离为 $a$，那么可以列出牛顿方程：

1. 格波解与色散关系

　　 仿照一维单原子链晶格的方法，我们设双原子链晶格也有格波形式的解

注意 $A,B$ 可以是复数，而最终 ${\mu }_{2n}$ 和 ${\mu }_{2n+1}$ 的可观测部分只有实部。代入式 3 后可以得到 因此如果把 $A,B$ 看作未知量，方程存在解的条件是系数矩阵的行列式为 $0$，即 因此，任意波数 $q$，都对应两种可能的频率值 代回 式 5 ，可以求得 $P,Q$ 两原子振幅之比：

　　 现在我们要对有一定大小的晶格进行分析。一共 $N$ 个原胞，其中最左边的原子和最右边的原子位于晶格的边界处不好处理。所以我们采用周期性边界条件（玻恩-卡曼条件），假设这个原子链的头部 $P$ 原子和尾部 $Q$ 原子相连，形成一个环。这样的话所有原子满足的方程仍然是式 3 ，唯一的限制条件是 式 4 种 ${\mu }_m={\mu }_{m+2N}$。所以 $q$ 不再是连续的，而是离散的：

不难发现 $q$ 的格波解可以用 $q+\pi /a$ 的格波解形式来表示，因此布里渊区大小为 $\pi /a$（并且和上面的讨论类似地，一个 $q$ 可以解得两种不同的 $\omega$，对应两个不同的 $A,B$ 组合，对应两个不同的格波解）。注意到在一维单原子链晶格中 $q$ 和 $q+2\pi /a$ 是等价的，布里渊区大小为 $2\pi /a$，而在此处我们双原子链晶格采取 $\pi /a$，这是因为此处我们讨论的双原子链晶格的原胞大小为 $2a$。

2. 声学支和光学支

　　 将色散曲线在简约布里渊区中画出，将观察到上下两条曲线。其中下方的曲线当 $\mathbf{k}=0$ 时 $\omega =0$，它也被称为声学支，当 $\omega /k$ 近似为常数时，$\omega /k$ 为晶格中声子的速度，即振动传播的速度。 声学支代表原胞内两个原子同向地运动，即式 8 中 $B$ 与 $A$ 的符号相同。

　　 如图所示，上方的色散曲线被称为光学支。注意到直线 $\omega =ck$ 与这条曲线有交点，而交点的位置大致在 $k=0,{\omega }_{max}={\omega }_{+}(0)$ 附近。这意味着，这种振动模式能被电磁波激发。这种振动模式的特点是，同一个原胞内的两个原子振动方向相反，$B$ 与 $A$ 的符号相反。由于 $A$ 和 $B$ 是两个不同的原子，所以它们在作相对振动的时候，等效于一个不停振荡的电偶极矩，所以与同频率的电磁波具有很强的相互作用。在实际的离子晶体中也存在强烈的远红外吸收现象，其原理是一致的。而如果晶体是非极化的，例如 $A,B$ 是同一种原子，则它们作相对振动时不会产生振荡的偶极矩，也就不会产生红外吸收现象。

　　 三维的复式晶格，并且假设每个原胞内有 $n$ 个原子，则情况会比较复杂，但我们可以先考虑 $k\to 0$，即波长 $\lambda \to \mathrm{\infty }$ 时的情况。此时 $\lambda \gg a$，晶格常数远小于波长，导致晶体振动可以看作是连续介质的振动，因此沿 $\mathbf{k}$ 方向的声波具有 $3$ 个自由度：一个是纵波，另外两个是横波。将 $\mathbf{k}$ 方向的色散曲线画出，将发现有 $3$ 条声学支，其余 $3n-3$ 条是光学支。$k=0$ 附近声学支的斜率对应于长波近似下声波的速度。