函数的凹凸性（简明微积分）

贡献者： ACertainUser

　　 让我们先观察 $y=x^2 (x>0)$ 与 $y=\sqrt{x}$ 的函数图像图 1 。尽管他们都是单调的增函数，但他们的增长方式却似乎不太一样。

　　 如果你和我想的一样，他们的不同之处在于，$y=x^2 (x>0)$ 增长得越来越快，而 $y=\sqrt{x}$ 增长得越来越慢¹。 图 2 用切线直观反映了这个问题：随着 $x$ 增加，$y=x^2 (x>0)$ 的切线越来越陡，而 $y=\sqrt{x}$ 的则愈发平缓。

　　 在数学上，我们把这种 “增长得越来越快” 的函数称为凹（“下凸”）函数，而 “增长得越来越慢” 的称为凸（“上凸”）函数。

　　 那么我们怎么数学地形容 “函数增长得越来越快”？我们知道，函数的变化速率可以用相应函数的导数 $f'(x)$ 表示；而 “增长得越来越快” 意味着 $f'(x)$ 越来越大；而 $f'(x)$ 越来越大意味着 $f'(x)$ 的导数 $f''(x)>0$，即函数的二阶导数大于零 。按照物理的话术说，“速度越来越快” 意味着 “加速度大于零”²。

　　 由此，我们联系了函数的凹凸性与函数的二阶导数，总结如下（假定 $f(x)$ 单调增长，即 $f'(x)>0$）：

　　 $f(x)\text{是凹函数} \Rightarrow f(x)\text{增长得越来越快}\Rightarrow f'(x)\text{在增长} \Rightarrow f''(x)>0~,$

　　 $f(x)\text{是凸函数} \Rightarrow f(x)\text{增长得越来越慢}\Rightarrow f'(x)\text{在减小} \Rightarrow f''(x)<0~.$

1. ^ 尽管 $y=\sqrt{x}$ 增长得越来越慢，但仍有 $\lim_{x\to+\infty} \sqrt{x} = +\infty$。关乎 “无穷” 的问题总是有点反直觉。
2. ^ 防杠声明：假定 $v,a$ 同向