菲涅尔公式、布儒斯特角、临界角、内反射与外反射

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预备知识　麦克斯韦方程组（介质）

1. 菲涅尔公式

图 1：菲涅尔公式

　　利用具体的电磁场的边界条件

$\nabla \cdot D = 0$ 和 $\nabla \cdot B = 0$ 分别对应 $ϵ E_{⊥} = ϵ^{'} E_{⊥}^{'}$ 和 $ϵ B_{⊥} = ϵ^{'} B_{⊥}^{'}$ 。
$\nabla \cdot E = 0$ 和 $\nabla \cdot H = 0$ 分别对应 $E_{/ /} = E_{/ /}^{'}$ 和 $B_{/ /} / μ = B_{/ /}^{'} / μ^{'}$ 。

定理 1　菲涅尔定律

　　现在分两种情况讨论

极化方向垂直于入射面（图 1 右）
$\begin{matrix} (1) & \frac{E_{R}^{(s)}}{E_{I}^{(s)}} = \frac{m_{1} \cos θ_{i} - m_{2} \cos θ_{t}}{m_{1} \cos θ_{i} + m_{2} \cos θ_{t}}, \frac{E_{T}^{(s)}}{E_{I}^{(s)}} = \frac{2 m_{1} \cos θ_{i}}{m_{1} \cos θ_{i} + m_{2} \cos θ_{t}} . \end{matrix}$
极化方向平行于入射面（图 1 左）
$\begin{matrix} (2) & \frac{E_{R}^{(p)}}{E_{I}^{(p)}} = \frac{m_{2} \cos θ_{i} - m_{1} \cos θ_{t}}{m_{2} \cos θ_{i} + m_{1} \cos θ_{t}}, \frac{E_{T}^{(p)}}{E_{I}^{(p)}} = \frac{2 m_{1} \cos θ_{i}}{m_{2} \cos θ_{i} + m_{1} \cos θ_{t}} . \end{matrix}$

　　其中 $m_{i} = n_{i} / μ_{i} = c \sqrt{ϵ_{i} / μ_{i}}$ （ $i = 1, 2$ ）。这两个表达式是菲涅尔方程中的两个，它们是极其普遍的陈述，适用于任何线性、各向同性的均匀介质。

　　另外注意菲涅尔公式包含相位信息，即以上的 $E$ 可以是复振幅 $\tilde{E} = E e^{i φ_{0}}$ 。

　　一般情况下介质的磁导率与真空区磁导率的区别可忽略： $μ_{1} \approx μ_{2} \approx μ_{0} = 1$ 。此时 $m_{i} = n_{i} / μ_{i} \approx n_{i}$ ，菲涅尔公式可以简化为：

\begin{matrix} (3) & r_{s} \equiv {(\frac{E_{R}}{E_{I}})}_{s} = \frac{n_{1} \cos θ_{i} - n_{2} \cos θ_{t}}{n_{1} \cos θ_{i} + n_{2} \cos θ_{t}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & t_{s} \equiv {(\frac{E_{T}}{E_{I}})}_{s} = \frac{2 n_{1} \cos θ_{i}}{n_{1} \cos θ_{i} + n_{2} \cos θ_{t}} . \end{matrix}

其中，

r_{s}

表示振幅反射系数，

t_{s}

表示振幅透射系数。同理：

\begin{matrix} (5) & r_{p} \equiv {(\frac{E_{R}}{E_{I}})}_{p} = \frac{n_{2} \cos θ_{i} - n_{1} \cos θ_{t}}{n_{1} \cos θ_{t} + n_{2} \cos θ_{i}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & t_{p} \equiv {(\frac{E_{T}}{E_{I}})}_{p} = \frac{2 n_{1} \cos θ_{i}}{n_{1} \cos θ_{t} + n_{2} \cos θ_{i}} . \end{matrix}

　　应用斯涅尔定律，可以进一步使记号简化。别害怕，它们只是看起来有些复杂：

\begin{matrix} (7) & r_{s} = - \frac{\sin (θ_{i} - θ_{t})}{\sin (θ_{i} + θ_{t})}, \end{matrix}

\begin{matrix} (8) & r_{p} = + \frac{t a n (θ_{i} - θ_{t})}{t a n (θ_{i} + θ_{t})}, \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & t_{s} = - \frac{2 \sin θ_{t} \cos θ_{i}}{\sin (θ_{i} + θ_{t})}, \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & t_{p} = + \frac{2 \sin θ_{t} \cos θ_{i}}{\sin (θ_{i} + θ_{t}) \cos (θ_{i} - θ_{t})} . \end{matrix}

这里请大家注意，推导菲涅尔方程时，场的方向（更精确地说是相位）是相当任意地选择的。因此，为了避免混乱，必须把菲涅尔方程与导出它们的特定的场的方向联系起来。

2. 内反射与外反射

定义 1　外反射

　　设入射介质与出射介质的折射系数分别为 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ ，若 $n_{1} < n_{2}$ ，则称为外反射（external reflection）；反之，为内反射（internal reflection）。

3. 布儒斯特角

图 2：布儒斯特角示意图

　　我们这里考虑常见的 $n_{2} > n_{1}$ 且 $μ_{1} = μ_{2}$ 情况。由式 8 容易证明当 $θ_{i} + θ_{t} = π / 2$ 时， $r_{p} = 0$ , 反射光的平行分量消失，反射光为线偏振光。此时，入射角称为布儒斯特角（Brewster's angle），记为 $θ_{B}$ 。代入斯涅尔公式 $n_{i} \sin θ_{i} = n_{t} \sin θ_{t}$ 可得

\begin{matrix} (11) & θ_{B} = \arctan (n_{2} / n_{1}) . \end{matrix}

4. 临界角

图 3：临界角示意图

定义 2　

　　当 $θ_{t} = \frac{π}{2}$ 时，此时的入射角 $θ_{i}$ 称为 临界角（critical angle），记为 $θ_{c}$ 。

习题 1　

　　类比 $θ_{B}$ 的求法，给出 $θ_{c}$ 表达式。

　　易知， $θ_{c} = \arcsin (n_{2} / n_{1}) .$

未完成：线偏振光

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菲涅尔公式、布儒斯特角、临界角、内反射与外反射

1. 菲涅尔公式

定理 1 菲涅尔定律

2. 内反射与外反射

定义 1 外反射

3. 布儒斯特角

4. 临界角

定义 2

习题 1

定理 1　菲涅尔定律

定义 1　外反射

定义 2　

习题 1　