菲涅尔公式、布儒斯特角、临界角、内反射与外反射

                     

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预备知识 麦克斯韦方程组(介质)

1. 菲涅尔公式

图
图 1:菲涅尔公式

   利用具体的电磁场的边界条件

定理 1 菲涅尔定律

   现在分两种情况讨论

  1. 极化方向垂直于入射面(图 1 右)
    \begin{equation} \frac{E_R^{(s)}}{E_I^{(s)}} = \frac{m_1\cos{\theta_i} - m_2\cos\theta_t}{m_1\cos\theta_i + m_2\cos\theta_t} \qquad \frac{E_T^{(s)}}{E_I^{(s)}} = \frac{2 m_1\cos\theta_i}{m_1\cos\theta_i + m_2\cos\theta_t} \end{equation}
  2. 极化方向平行于入射面(图 1 左)
    \begin{equation} \frac{E_R^{(p)}}{E_I^{(p)}} = \frac{m_2\cos\theta_i - m_1\cos\theta_t}{m_2 \cos\theta_i + m_1\cos\theta_t} \qquad \frac{E_T^{(p)}}{E_I^{(p)}} = \frac{2 m_1\cos\theta_i}{m_2\cos\theta_i + m_1\cos\theta_t} \end{equation}

   其中 $m_i=n_i/\mu_i = c\sqrt{\epsilon_i/\mu_i}$($i=1,2$).这两个表达式是菲涅尔方程中的两个,它们是极其普遍的陈述,适用于任何线性、各向同性的均匀介质.

   另外注意菲涅尔公式包含相位信息,即以上的 $E$ 可以是复振幅 $\tilde E=E \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \varphi_0}$.

   一般情况下介质的磁导率与真空区磁导率的区别可忽略:$\mu_1\approx\mu_2\approx\mu_0=1$.此时 $m_i=n_i/\mu_i \approx n_i$,菲涅尔公式可以简化为:

\begin{equation} r_s \equiv \left(\frac{E_R}{E_I}\right)_s = \frac{n_1\cos{\theta_i} - n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t} \end{equation}
\begin{equation} t_s \equiv \left(\frac{E_T}{E_I}\right)_s = \frac{2 n_1\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t} \end{equation}
其中,$r_s$ 表示振幅反射系数,$t_s$ 表示振幅透射系数. 同理:
\begin{equation} r_p \equiv \left(\frac{E_R}{E_I}\right)_p = \frac{n_2\cos{\theta_i} - n_1\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_t + n_2\cos\theta_i} \end{equation}
\begin{equation} t_p \equiv \left(\frac{E_T}{E_I}\right)_p = \frac{2 n_1\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_t + n_2\cos\theta_i} \end{equation}

   应用斯涅尔定律,可以进一步使记号简化.别害怕,它们只是看起来有些复杂:

\begin{equation} r_s = -\frac{ \sin\left(\theta_i - \theta_t\right) }{ \sin\left(\theta_i + \theta_t\right) } \end{equation}
\begin{equation} r_p = +\frac{tan(\theta_i - \theta_t)}{tan(\theta_i + \theta_t)} \end{equation}
\begin{equation} t_s = -\frac{2\sin\theta_t\cos\theta_i}{ \sin\left(\theta_i + \theta_t\right) } \end{equation}
\begin{equation} t_p = +\frac{2\sin\theta_t\cos\theta_i}{ \sin\left(\theta_i + \theta_t\right) \cos\left(\theta_i - \theta_t\right) } \end{equation}
这里请大家注意,推导菲涅尔方程时,场的方向(更精确地说是相位)是相当任意地选择的.因此,为了避免混乱,必须把菲涅尔方程与导出它们的特定的场的方向联系起来.

2. 内反射与外反射

定义 1 外反射

   设入射介质与出射介质的折射系数分别为 $n_1$ 和 $n_2$,若 $n_1 < n_2$,则称为外反射(external reflection);反之,为内反射(internal reflection)

3. 布儒斯特角

图
图 2:布儒斯特角示意图

   我们这里考虑常见的 $n_2 > n_1$ 且 $\mu_1 = \mu_2$ 情况.由式 8 容易证明当 $\theta_i + \theta_t = \pi/2$ 时,$r_p = 0$, 反射光的平行分量消失,反射光为线偏振光.此时,入射角称为布儒斯特角(Brewster's angle),记为 $\theta_B$.代入斯涅尔公式 $n_i\sin\theta_i = n_t\sin\theta_t$ 可得

\begin{equation} \theta_B = \arctan\left(n_2/n_1\right) \end{equation}

4. 临界角

图
图 3:临界角示意图

定义 2 

   当 $\theta_t = \frac{\pi}{2}$ 时,此时的入射角 $\theta_i$ 称为 临界角(critical angle),记为 $\theta_c$.

习题 1 

   类比 $\theta_B$ 的求法,给出 $\theta_c$ 表达式.

   易知,$\theta_c = \arcsin\left(n_2/n_1\right) $

未完成:线偏振光


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