菲涅尔公式、布儒斯特角、临界角、内反射与外反射

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预备知识　麦克斯韦方程组（介质）

1. 菲涅尔公式

图 1：菲涅尔公式

　　利用具体的电磁场的边界条件

$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{D}} = 0$ 和 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0$ 分别对应 $\epsilon \boldsymbol{\mathbf{E}} _\bot = \epsilon' \boldsymbol{\mathbf{E}} '_\bot$ 和 $\epsilon \boldsymbol{\mathbf{B}} _\bot = \epsilon' \boldsymbol{\mathbf{B}} '_\bot$。
$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = 0$ 和 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{H}} = 0$ 分别对应 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _{//} = \boldsymbol{\mathbf{E}} '_{//}$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} _{//}/\mu = \boldsymbol{\mathbf{B}} '_{//}/\mu'$。

定理 1　菲涅尔定律

　　现在分两种情况讨论

极化方向垂直于入射面（图 1 右）
\begin{equation} \frac{E_R^{(s)}}{E_I^{(s)}} = \frac{m_1\cos{\theta_i} - m_2\cos\theta_t}{m_1\cos\theta_i + m_2\cos\theta_t}~, \qquad \frac{E_T^{(s)}}{E_I^{(s)}} = \frac{2 m_1\cos\theta_i}{m_1\cos\theta_i + m_2\cos\theta_t}~. \end{equation}
极化方向平行于入射面（图 1 左）
\begin{equation} \frac{E_R^{(p)}}{E_I^{(p)}} = \frac{m_2\cos\theta_i - m_1\cos\theta_t}{m_2 \cos\theta_i + m_1\cos\theta_t}~, \qquad \frac{E_T^{(p)}}{E_I^{(p)}} = \frac{2 m_1\cos\theta_i}{m_2\cos\theta_i + m_1\cos\theta_t}~. \end{equation}

　　其中 $m_i=n_i/\mu_i = c\sqrt{\epsilon_i/\mu_i}$（$i=1,2$）。这两个表达式是菲涅尔方程中的两个，它们是极其普遍的陈述，适用于任何线性、各向同性的均匀介质。

　　另外注意菲涅尔公式包含相位信息，即以上的 $E$ 可以是复振幅 $\tilde E=E \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \varphi_0}$。

　　一般情况下介质的磁导率与真空区磁导率的区别可忽略：$\mu_1\approx\mu_2\approx\mu_0=1$。此时 $m_i=n_i/\mu_i \approx n_i$，菲涅尔公式可以简化为：

\begin{equation} r_s \equiv \left(\frac{E_R}{E_I}\right)_s = \frac{n_1\cos{\theta_i} - n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t}~, \end{equation}

\begin{equation} t_s \equiv \left(\frac{E_T}{E_I}\right)_s = \frac{2 n_1\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t}~. \end{equation}

其中，$r_s$ 表示振幅反射系数，$t_s$ 表示振幅透射系数。同理：

\begin{equation} r_p \equiv \left(\frac{E_R}{E_I}\right)_p = \frac{n_2\cos{\theta_i} - n_1\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_t + n_2\cos\theta_i}~, \end{equation}

\begin{equation} t_p \equiv \left(\frac{E_T}{E_I}\right)_p = \frac{2 n_1\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_t + n_2\cos\theta_i}~. \end{equation}

　　应用斯涅尔定律，可以进一步使记号简化。别害怕，它们只是看起来有些复杂：

\begin{equation} r_s = -\frac{ \sin\left(\theta_i - \theta_t\right) }{ \sin\left(\theta_i + \theta_t\right) }~, \end{equation}

\begin{equation} r_p = +\frac{tan(\theta_i - \theta_t)}{tan(\theta_i + \theta_t)}~, \end{equation}

\begin{equation} t_s = -\frac{2\sin\theta_t\cos\theta_i}{ \sin\left(\theta_i + \theta_t\right) }~, \end{equation}

\begin{equation} t_p = +\frac{2\sin\theta_t\cos\theta_i}{ \sin\left(\theta_i + \theta_t\right) \cos\left(\theta_i - \theta_t\right) }~. \end{equation}

这里请大家注意，推导菲涅尔方程时，场的方向（更精确地说是相位）是相当任意地选择的。因此，为了避免混乱，必须把菲涅尔方程与导出它们的特定的场的方向联系起来。

2. 内反射与外反射

定义 1　外反射

　　设入射介质与出射介质的折射系数分别为 $n_1$ 和 $n_2$，若 $n_1< n_2$，则称为外反射（external reflection）；反之，为内反射（internal reflection）。

3. 布儒斯特角

图 2：布儒斯特角示意图

　　我们这里考虑常见的 $n_2>n_1$ 且 $\mu_1 = \mu_2$ 情况。由式 8 容易证明当 $\theta_i + \theta_t = \pi/2$ 时，$r_p = 0$, 反射光的平行分量消失，反射光为线偏振光。此时，入射角称为布儒斯特角（Brewster's angle），记为 $\theta_B$。代入斯涅尔公式 $n_i\sin\theta_i = n_t\sin\theta_t$ 可得

\begin{equation} \theta_B = \arctan\left(n_2/n_1\right) ~. \end{equation}

4. 临界角

图 3：临界角示意图

定义 2　

　　当 $\theta_t = \frac{\pi}{2}$ 时，此时的入射角 $\theta_i$ 称为 临界角（critical angle），记为 $\theta_c$。

习题 1　

　　类比 $\theta_B$ 的求法，给出 $\theta_c$ 表达式。

　　易知，$\theta_c = \arcsin\left(n_2/n_1\right) ~.$

未完成：线偏振光

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菲涅尔公式、布儒斯特角、临界角、内反射与外反射

1. 菲涅尔公式

定理 1 菲涅尔定律

2. 内反射与外反射

定义 1 外反射

3. 布儒斯特角

4. 临界角

定义 2

习题 1

定理 1　菲涅尔定律

定义 1　外反射

定义 2　

习题 1　