时谐电磁波

             

贡献者: 零穹; addis

预备知识 电场波动方程

   在没有电荷存在的真空中所出现的电磁场称为电磁波.此时,电磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 波动方程

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{E}} }}{\partial{t}^{2}} =0\\ \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{B}} -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }}{\partial{t}^{2}} =0 \end{aligned} \end{equation}

   实际情况中,电磁波的激发源往往以大致确定的频率做正弦振荡,其辐射出的电磁波也以相同频率作正弦振荡,这种以一定频率作正弦振荡的电磁波称为时谐电磁波(单色波).一般情况下,电磁波不是单色波,此时可通过频谱分析方法分解为不同单色波的叠加.由此可见,时谐电磁波在这里起着最基本的作用,这正如简谐振动在机械振动里所起的作用一样.

   设角频率为 $\omega$,则时谐电磁波中电磁场对时间依赖关系为 $\cos\omega t$,可用复数形式表示

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)= \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t}\\ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)= \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} \end{aligned} \end{equation}
式 2 代入式 1
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} +k^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} =0\\ \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{B}} +k^2 \boldsymbol{\mathbf{B}} =0 \end{aligned} \end{equation}
其中,$k=\omega/c$.方程式 3 是电磁场中的亥姆霍兹方程式 1 ,它是时谐电磁波的基本方程.


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