时谐电磁波

贡献者：零穹

预备知识　电场波动方程

　　在没有电荷存在的真空中所出现的电磁场称为电磁波。此时，电磁场 $E, B$ 波动方程为

\begin{matrix} (1) & \begin{array}{r} \nabla^{2} E - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} = 0, \\ \nabla^{2} B - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} B}{\partial t^{2}} = 0 . \end{array} \end{matrix}

　　实际情况中，电磁波的激发源往往以大致确定的频率做正弦振荡，其辐射出的电磁波也以相同频率作正弦振荡，这种以一定频率作正弦振荡的电磁波称为时谐电磁波（单色波）。一般情况下，电磁波不是单色波，此时可通过频谱分析方法分解为不同单色波的叠加。由此可见，时谐电磁波在这里起着最基本的作用，这正如简谐振动在机械振动里所起的作用一样。

　　设角频率为 $ω$ ，则时谐电磁波中电磁场对时间依赖关系为 $\cos ω t$ ，可用复数形式表示

\begin{matrix} (2) & \begin{array}{r} E (r, t) = E (r) e^{- i ω t}, \\ B (r, t) = B (r) e^{- i ω t} . \end{array} \end{matrix}

式 2 代入式 1 得

\begin{matrix} (3) & \begin{array}{r} \nabla^{2} E + k^{2} E = 0, \\ \nabla^{2} B + k^{2} B = 0 . \end{array} \end{matrix}

其中，

k = ω / c

。方程式 3 是电磁场中的亥姆霍兹方程式 1 ，它是时谐电磁波的基本方程。

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