高阶线性微分方程的降阶

贡献者： JierPeter

预备知识　一阶常系数线性微分方程组（常微分方程），拉普拉斯变换与常系数线性微分方程

　　在拉普拉斯变换与常系数线性微分方程中，我们讨论了高阶常系数线性微分方程的解法，通过拉普拉斯变换，将高阶微分方程化为代数方程进行求解。但是很多时候，单个的高阶微分方程也是可以化为多个一阶方程的，从而可以应用一阶常系数线性微分方程组（常微分方程）中的方法来进行求解。

　　一般地， $n$ 阶微分方程可以写为

\begin{matrix} (1) & F (t, x (t), \frac{d}{d t} x (t), \dots, \frac{d^{n}}{d t^{n}} x (t)) = 0, \end{matrix}

接下来，我们介绍几种可以降阶的方程。

1. 第一种

　　如果式 1 不显含 $x$ 的 $k$ 次及以下导函数，即方程形式为

\begin{matrix} (2) & F (t, \frac{d^{k + 1}}{d t^{k + 1}} x (t), \frac{d^{k + 2}}{d t^{+ 2}} x (t), \dots, \frac{d^{n}}{d t^{n}} x (t)) = 0, \end{matrix}

　　那么我们可以设 $y = \frac{d^{k}}{d t^{k}} x$ ，解出 $y$ 以后再求 $k$ 次积分得到 $x$ 。

例 1　

　　求解方程

\begin{matrix} (3) & (\frac{d^{4}}{d t^{4}} + \frac{1}{t} \frac{d^{3}}{d t^{3}}) x (t) = 0, \end{matrix}

　　令 $y = \frac{d^{3}}{d t^{3}} x (t)$ ，则式 3 化为

\begin{matrix} (4) & \frac{d y}{d t} + \frac{1}{t} y = 0, \end{matrix}

解得

\begin{matrix} (5) & y = \pm \frac{C}{t} . \end{matrix}

　　三次积分后得到

\begin{matrix} (6) & x = t^{2} (C_{1} \ln | t | - C_{2}) + C_{3} t + C_{4} . \end{matrix}

2. 第二种

　　如果式 1 不显含 $t$ ，即方程形式为

\begin{matrix} (7) & F (x (t), \frac{d}{d t} x (t), \frac{d^{2}}{d t^{2}} x (t) + \dots + \frac{d^{n}}{d t^{n}} x (t)) = 0, \end{matrix}

那么我们可以设

y = \frac{d x}{d t}

，以

y

为未知函数。此时

\frac{d^{2}}{d t^{2}} x = \frac{d}{d t} y = \frac{d y}{d x} \frac{d x}{d t} = y \frac{d y}{d x}

。类似地，

\frac{d^{3}}{d t^{3}} x = y {(\frac{d y}{d x})}^{2} + y^{2} \frac{d^{2}}{d x^{2}}

。一般地，我们可以证明任何

\frac{d^{k}}{d t^{k}} x

都可以用

y

和

y

关于

x

的各阶导函数表示出来。这样改造以后的式 7 就成为形如

\begin{matrix} (8) & G (y, \frac{d}{d x} y + \dots + \frac{d^{n - 1}}{d t^{n - 1}}) = 0 \end{matrix}

的方程，降了一阶。

例 2　

　　考虑方程

\begin{matrix} (9) & x \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + \frac{d x}{d t} = 0, \end{matrix}

令

y = \frac{d x}{d t}

，则式 9 化为

\begin{matrix} (10) & x y \frac{d y}{d x} + y = 0, \end{matrix}

整理得

\begin{matrix} (11) & y d x + x y d y = 0 . \end{matrix}

　　容易验证， $y = 0$ 是式 10 的一个特解。

　　 $y = 0$ 时有

\begin{matrix} (12) & \frac{d x}{d t} = 0, \end{matrix}

从而有特解

\begin{matrix} (13) & x = C . \end{matrix}

　　现在考虑 $y \neq 0$ 的情况，此时可以把 $y$ 约掉，得到

\begin{matrix} (14) & d x + x d y = 0, \end{matrix}

解得

\begin{matrix} (15) & y = C - \ln | x |, \end{matrix}

从而有

\begin{matrix} (16) & \frac{d x}{d t} = C - \ln | x | . \end{matrix}

　　求积分即可得到 $x \neq 0$ 时的通解。

　　注意， $\int \frac{1}{C - \ln | x |} d x$ 无法用初等函数表示出来，这里写出这个积分形式就算得到通解了。事实上，很多微分方程都没法写成初等函数的表达式，比如最常见的单摆运动方程（未进行线性近似的原始形式），因此实践中常注重数值计算，以及相应的解的稳定性问题。

3. 例题

例 3　第二宇宙速度

　　在地球表面，引力的变化很小，所以我们可以近似把它看成匀强引力场，方便计算。但是如果考虑范围远不止是地球表面，就不得不考虑引力随距离的变化了。

　　我们现在考虑的问题是，如果一个质点的速度始终平行于地球到该质点的位移（即一维情况），那么质点的运动轨迹是什么样的？

　　令 $R$ 为地球半径， $M$ 为地球质量， $G$ 为万有引力常数， $r$ 为质点到地球质心的距离。我们只考虑 $r \geq R$ 的情况，忽略空气阻力，那么此时质点仅受地球引力作用，故可以列出运动方程：

\begin{matrix} (17) & \frac{d^{2}}{d t^{2}} r (t) = - \frac{G M}{r^{2}} . \end{matrix}

注意

G

是正数。

　　令 $\frac{d r}{d t} = v$ ，那么方程可以改写为（注意，被抛弃的变量是时间 $t$ ）

\begin{matrix} (18) & v \frac{d v}{d r} = - \frac{G M}{r^{2}} . \end{matrix}

　　解式 18 得

\begin{matrix} (19) & v = \pm \sqrt{\frac{2 G M}{r} + C} . \end{matrix}

　　考虑在地面上垂直向上发射的火箭，初速度为 $v_{0}$ ，即初值条件为 $v |_{r = R} = v_{0}$ ，那么代入式 19 可以计算出常数 $C$ ：

\begin{matrix} (20) & C = v_{0}^{2} - \frac{2 G M}{R}, \end{matrix}

　　此时

\begin{matrix} (21) & v = \pm \sqrt{v_{0}^{2} + 2 G M (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})} . \end{matrix}

此时

v

是一个关于

r

单调递减或单调递增的函数。在离开地球的过程中，

v > 0

，式 21 取正号，因此这个过程中

v

是递减函数。

　　如果我们希望火箭摆脱地球引力，再也不回来，那么在离开地球的过程中 $v$ 应该恒大于 $0$ 。由于 $1 / r$ 可以任意小，我们要求的条件就变为

\begin{matrix} (22) & v_{0}^{2} - \frac{2 G M}{R} \geq 0, \end{matrix}

即

\begin{matrix} (23) & v_{0} \geq \sqrt{\frac{2 G M}{R}} . \end{matrix}

　　这里的 $\sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ 就是火箭彻底摆脱地球引力的最小初速度，被称为第二宇宙速度，又叫逃逸速度。

　　查阅资料后代入 $G = 6.67 \times 10^{- 11} N \cdot m^{2} / {kg}^{2}$ ， $M = 5.965 \times 10^{24} kg$ 和 $R = 6.371 \times 10^{6} m$ ，计算出第二宇宙速度的数值为

\begin{matrix} (24) & \sqrt{\frac{2 G M}{R}} = 11.176 km / s . \end{matrix}

　　通常只取到 $11.2 km / s$ 。

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高阶线性微分方程的降阶

1. 第一种

例 1

2. 第二种

例 2

3. 例题

例 3 第二宇宙速度

例 1　

例 2　

例 3　第二宇宙速度