高阶线性微分方程的降阶

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 一阶常系数线性微分方程组(常微分方程),拉普拉斯变换与常系数线性微分方程

   在拉普拉斯变换与常系数线性微分方程中,我们讨论了高阶常系数线性微分方程的解法,通过拉普拉斯变换,将高阶微分方程化为代数方程进行求解.但是很多时候,单个的高阶微分方程也是可以化为多个一阶方程的,从而可以应用一阶常系数线性微分方程组(常微分方程)中的方法来进行求解.

   一般地,$n$ 阶微分方程可以写为

\begin{equation} F(t, x(t), \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }x(t), \cdots, \frac{\mathrm{d}^n}{ \,\mathrm{d}{t} ^n}x(t))=0 \end{equation}
接下来,我们介绍几种可以降阶的方程.

1. 第一种

   如果式 1 不显含 $x$ 的 $k$ 次及以下导函数,即方程形式为

\begin{equation} F(t, \frac{\mathrm{d}^{k+1}}{ \,\mathrm{d}{t} ^{k+1}}x(t), \frac{\mathrm{d}^{k+2}}{ \,\mathrm{d}{t} ^{+2}}x(t), \cdots, \frac{\mathrm{d}^n}{ \,\mathrm{d}{t} ^n}x(t))=0 \end{equation}

   那么我们可以设 $y=\frac{\mathrm{d}^k}{ \,\mathrm{d}{t} ^k}x$,解出 $y$ 以后再求 $k$ 次积分得到 $x$.

例 1 

   求解方程

\begin{equation} \left( \frac{\mathrm{d}^4}{ \,\mathrm{d}{t} ^4}+\frac{1}{t}\frac{\mathrm{d}^3}{ \,\mathrm{d}{t} ^3} \right) x(t)=0 \end{equation}

   令 $y=\frac{\mathrm{d}^3}{ \,\mathrm{d}{t} ^3}x(t)$,则式 3 化为

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{t} }+\frac{1}{t}y=0 \end{equation}
解得
\begin{equation} y=\pm\frac{C}{t} \end{equation}

   三次积分后得到

\begin{equation} x=t^2(C_1\ln \left\lvert t \right\rvert -C_2)+C_3t+C_4 \end{equation}

2. 第二种

   如果式 1 不显含 $t$,即方程形式为

\begin{equation} F(x(t), \frac{\mathrm{d}}{ \,\mathrm{d}{t} }x(t), \frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{t} ^2}x(t)+\cdots+\frac{\mathrm{d}^n}{ \,\mathrm{d}{t} ^n}x(t))=0 \end{equation}
那么我们可以设 $y=\frac{ \,\mathrm{d}{x} }{ \,\mathrm{d}{t} }$,以 $y$ 为未知函数.此时 $\frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{t} ^2}x=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }y=\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }\frac{ \,\mathrm{d}{x} }{ \,\mathrm{d}{t} }=y\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$.类似地,$\frac{\mathrm{d}^3}{ \,\mathrm{d}{t} ^3}x=y \left(\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} } \right) ^2+y^2\frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{x} ^2}$.一般地,我们可以证明任何 $\frac{\mathrm{d}^k}{ \,\mathrm{d}{t} ^k}x$ 都可以用 $y$ 和 $y$ 关于 $x$ 的各阶导函数表示出来.这样改造以后的式 7 就成为形如
\begin{equation} G(y, \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }y+\cdots+\frac{\mathrm{d}^{n-1}}{ \,\mathrm{d}{t} ^{n-1}})=0 \end{equation}
的方程,降了一阶.

例 2 

   考虑方程

\begin{equation} x\frac{\mathrm{d}^2 x}{ \,\mathrm{d}{t} ^2}+\frac{ \,\mathrm{d}{x} }{ \,\mathrm{d}{t} }=0 \end{equation}

   令 $y=\frac{ \,\mathrm{d}{x} }{ \,\mathrm{d}{t} }$,则式 9 化为

\begin{equation} xy\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }+y=0 \end{equation}

   整理得

\begin{equation} y \,\mathrm{d}{x} +xy \,\mathrm{d}{y} =0 \end{equation}

   容易验证,$y=0$ 是式 10 的一个特解.

   $y=0$ 时有

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{x} }{ \,\mathrm{d}{t} }=0 \end{equation}
从而有特解
\begin{equation} x=C \end{equation}

   现在考虑 $y\neq 0$ 的情况,此时可以把 $y$ 约掉,得到

\begin{equation} \,\mathrm{d}{x} +x \,\mathrm{d}{y} =0 \end{equation}
解得
\begin{equation} y=C-\ln \left\lvert x \right\rvert \end{equation}

   从而有

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{x} }{ \,\mathrm{d}{t} }=C-\ln \left\lvert x \right\rvert \end{equation}

   求积分即可得到 $x\neq 0$ 时的通解.

   注意,$\int\frac{1}{C-\ln \left\lvert x \right\rvert } \,\mathrm{d}{x} $ 无法用初等函数表示出来,这里写出这个积分形式就算得到通解了.事实上,很多微分方程都没法写成初等函数的表达式,比如最常见的单摆运动方程(未进行线性近似的原始形式),因此实践中常注重数值计算,以及相应的解的稳定性问题.

3. 例题

例 3 第二宇宙速度

   在地球表面,引力的变化很小,所以我们可以近似把它看成匀强引力场,方便计算.但是如果考虑范围远不止是地球表面,就不得不考虑引力随距离的变化了.

   我们现在考虑的问题是,如果一个质点的速度始终平行于地球到该质点的位移(即一维情况),那么质点的运动轨迹是什么样的?

   令 $R$ 为地球半径,$M$ 为地球质量,$G$ 为万有引力常数,$r$ 为质点到地球质心的距离.我们只考虑 $r\geq R$ 的情况,忽略空气阻力,那么此时质点仅受地球引力作用,故可以列出运动方程:

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{t} ^2}r(t)=-\frac{GM}{r^2} \end{equation}
注意 $G$ 是正数.

   令 $\frac{ \,\mathrm{d}{r} }{ \,\mathrm{d}{t} }=v$,那么方程可以改写为(注意,被抛弃的变量是时间 $t$)

\begin{equation} v\frac{ \,\mathrm{d}{v} }{ \,\mathrm{d}{r} }=-\frac{GM}{r^2} \end{equation}

   解式 18

\begin{equation} v=\pm\sqrt{\frac{2GM}{r}+C} \end{equation}

   考虑在地面上垂直向上发射的火箭,初速度为 $v_0$,即初值条件为 $v|_{r=R}=v_0$,那么代入式 19 可以计算出常数 $C$:

\begin{equation} C=v_0^2-\frac{2GM}{R} \end{equation}

   此时

\begin{equation} v=\pm\sqrt{v_0^2+2GM(\frac{1}{r}-\frac{1}{R})} \end{equation}

   此时 $v$ 是一个关于 $r$ 单调递减或单调递增的函数.在离开地球的过程中,$v > 0$,式 21 取正号,因此这个过程中 $v$ 是递减函数.

   如果我们希望火箭摆脱地球引力,再也不回来,那么在离开地球的过程中 $v$ 应该恒大于 $0$.由于 $1/r$ 可以任意小,我们要求的条件就变为

\begin{equation} v_0^2-\frac{2GM}{R}\geq 0 \end{equation}
\begin{equation} v_0\geq\sqrt{\frac{2GM}{R}} \end{equation}

   这里的 $\sqrt{\frac{2GM}{R}}$ 就是火箭彻底摆脱地球引力的最小初速度,被称为第二宇宙速度,又叫逃逸速度.

   查阅资料后代入 $G=6.67\times10^{-11} \operatorname {N}\cdot \operatorname {m}^2/ \operatorname {kg}^2$,$M=5.965\times10^{24} \operatorname {kg}$ 和 $R=6.371\times10^{6}m$,计算出第二宇宙速度的数值为

\begin{equation} \sqrt{\frac{2GM}{R}}=11.176 \operatorname {km}/ \operatorname {s} \end{equation}

   通常只取到 $11.2 \operatorname {km}/ \operatorname {s}$.


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