电场波动方程

贡献者： addis; 白玫瑰

本文处于草稿阶段。
需要增加复数形式

预备知识　麦克斯韦方程组（介质），矢量算符运算法则，平面波

　　从麦克斯韦方程组出发，我们证明电磁场传播具有波动性。

　　麦克斯韦方程组为：

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} \nabla \cdot D = ρ, \\ \nabla \cdot B = 0, \\ \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}, \\ \nabla \times H = j + \frac{\partial D}{\partial t} . \end{aligned} \end{matrix}

　　将 $D$ 和 $H$ 转化为 $E$ 和 $B$ ：

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \nabla \cdot E = \frac{ρ}{ϵ}, \\ \nabla \cdot B = 0, \\ \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}, \\ \nabla \times B = μ (j + ϵ \frac{\partial E}{\partial t}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　讨论在无限大各向同性均匀介质中的情况，此时 $ϵ$ 和 $μ$ 均为常数，并且在远离辐射源的地方，不存在自由电荷和传导电流，即 $ρ = 0$ 和 $j = 0$ ，此时方程组化为：

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \nabla \cdot E = 0, \\ \nabla \cdot B = 0, \\ \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}, \\ \nabla \times B = ϵ μ \frac{\partial E}{\partial t} . \end{aligned} \end{matrix}

　　取第 3 式的旋度，并将第 4 式代入：

\begin{matrix} (4) & \nabla \times (\nabla \times E) = \nabla (\nabla \cdot E) - \nabla^{2} E = - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times B) = - ϵ μ \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} E . \end{matrix}

　　整理得：

\begin{matrix} (5) & \nabla^{2} E - ϵ μ \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} = 0 . \end{matrix}

　　令：

\begin{matrix} (6) & v = \frac{1}{\sqrt{ϵ μ}} . \end{matrix}

　　所以我们得到：

\begin{matrix} (7) & \nabla^{2} E - \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} = 0 . \end{matrix}

　　这就是电场的波动方程。同理我们可以得到磁场的波动方程。将两式列出，我们得到了波动方程：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} \nabla^{2} E - \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} = 0, \\ \nabla^{2} B - \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

　　电场的各个分量分别满足三维波动方程。

　　它的解为平面波

\begin{matrix} (9) & E (r, t) = E_{0} \cos (k \cdot r - ω t), \end{matrix}

其中

ω = c | k | = c k

。而通解是这些平面波的任意线性组合。注意如果

E_{0}

中存在平行于

k

的分量，那么

\nabla \cdot E \neq 0

，所以二者必须垂直，即

E \cdot k = 0

。电场的通解可表示为

\begin{matrix} (10) & E (r, t) = \int E_{0} (k) \cos (k \cdot r - ω k t) d^{3} k . \end{matrix}

　　根据 $\nabla \times E = - \partial B / \partial t$ ，可求出式 9 伴随的磁场为

\begin{matrix} (11) & B (r, t) = B_{0} \cos (k \cdot r - ω t) . \end{matrix}

其中

B_{0}

的模长为

| B_{0} | = | E_{0} | / c

，于

E_{0}

垂直，方向满足

\hat{E} \times \hat{B} = \hat{k}

。可见电磁波是横波。

1. 介质中

　　非线性光学中一般认为介质具有 $μ = μ_{0}$ ，且假设 $\nabla \cdot E = 0$ 仍然成立

　　介质中没有自由电荷或自由电流。

　　类似真空情况的推导过程，有

\begin{matrix} (12) & \nabla \times (\nabla \times E) = - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times B) = - μ_{0} \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times H) = - μ_{0} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} D . \end{matrix}

　　把电位移矢量的定义 $D = ϵ_{0} E + P$ 代入上式，化简为

\begin{matrix} (13) & \nabla \times (\nabla \times E) = - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times B) = - μ_{0} \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times H) = - μ_{0} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} D . \end{matrix}

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