贡献者: 欄、停敘
这篇文章会介绍大型运算符,他们往往代表了一个过程。下面会主要介绍他们的过程、记法以及一些常用的性质。
累计运算过程一般包括:
有时会出现,下限位置为
特殊地:
上面介绍的求和过程,指标集都是
同时,若通过上下文可以明确指标集
这样使用时通常不会涉及指标的运算。
性质区分为通用性质和专属性质。通用性质是根据累积运算过程得到的,也即是与自然数的性质相关的,而专属性质是由各个运算本身的性质决定的。 由于上积运算不常见,因此下面的性质中暂不涉及上积。
指标换元时,根据换元的关系,分别更换指标的下限、上限,以及求和通项中的指标。设
递归 | 指标换元 | 分组 | |
求和符号: | | * | * |
求积符号: | | * | * |
并集符号: | | * | * |
交集符号: | | * | * |
析取符号: | | * | * |
合取符号: | * | * |
对于求和项数量非常多的情况,可以利用黎曼和的思想来近似化简,将求和过程转化成定积分。
有一些场合会出现一个表达式中出现多个求和符号的情形。一如上面所说,展开仍然是通用的方法,但过于复杂会让人望而却步。下面的运算技巧绝对会让化简过程如虎添翼。
交换求和次序
类似于一个表格中,不论是先求行和再求和,还是先求列和再求和,结果都是将所有的数字求一遍。
双重求和
两个求和符号的积可以展开为它们每一项组合的积的和。
注意:第一个等号从左到右没有条件,但从右到左时需要保证每个变量的独立性,即
上面四个符号均可被
1. ^ 在代数拓扑或范畴论中,通常用来表示某种类型的 “上积” 或 “并”,特别是在集合论或范畴论的背景下。直观上,可以将其视为将多个集合、空间等对象 “拼接” 在一起的操作。集合论中,上积通常表示它们的 “非交并”。
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