大型运算符

                     

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  • 本文处于草稿阶段。

   这篇文章会介绍大型运算符,他们往往代表了一个过程。下面会主要介绍他们的过程、记法以及一些常用的性质。

1. 累计运算过程

   累计运算过程一般包括:

记法

无穷情况

   有时会出现,下限位置为 ,上限位置为 + 等情况,比如级数等情况。这种情况并非实指去到对应点,而是指取相应极限,且此时的无穷为可数无穷。即:

(1)i=nai:=limai=anai. 
(2)i=0+ai:=lima+i=0aai. 

   特殊地:

(3)i=+ai:=lima+bi=baai. 

例 1 设等比级数通项 an=a1qn1,用求和符号表示等比级数和

   i=1+ai={a11q,|q|<1发散,|q|1 .

指标集记法

   上面介绍的求和过程,指标集都是 Z 与某个区间的交集(这样可以保证自增),对于某些不需要自增或无法使用自增的场合,可以直接给定指标集,求和过程记作:

(4)iIai .
其中,I 为指标集。特别的,若 I 为空集,一般称为 “空和”,并定义为 0,即:
(5)iai=0 .

   同时,若通过上下文可以明确指标集 I 或只为表述记号的运算特点而不强调指标集时,在不引起歧义的情况下,为了方便可以直接记作:

(6)iai. 

   这样使用时通常不会涉及指标的运算。

2. 离散性质

   性质区分为通用性质和专属性质。通用性质是根据累积运算过程得到的,也即是与自然数的性质相关的,而专属性质是由各个运算本身的性质决定的。 由于上积运算不常见,因此下面的性质中暂不涉及上积。

通用性质

   指标换元时,根据换元的关系,分别更换指标的下限、上限,以及求和通项中的指标。设 k=i+m(mZ),则:

(7)i=abg(i)=k=a+mb+mg(km). 

表1:通用性质
递归 指标换元 分组
求和符号: i=1nai=an+i=1n1ai * *
求积符号: i=1nai=an×i=1n1ai * *
并集符号: i=1nAi=Ani=1n1Ai * *
交集符号: i=1nAi=Ani=1n1Ai * *
析取符号: i=1nXi=Xni=1n1Xi * *
合取符号: i=1nXi=Xni=1n1Xi * *

3. 求和运算

积分近似

   对于求和项数量非常多的情况,可以利用黎曼和的思想来近似化简,将求和过程转化成定积分

(8)i=abf(i)abf(x)dx. 

多个求和符号的运算技巧

   有一些场合会出现一个表达式中出现多个求和符号的情形。一如上面所说,展开仍然是通用的方法,但过于复杂会让人望而却步。下面的运算技巧绝对会让化简过程如虎添翼。

   交换求和次序

   类似于一个表格中,不论是先求行和再求和,还是先求列和再求和,结果都是将所有的数字求一遍。

(9)i,jaij=ijaij=jiaij. 
其中 i,j 表示按任意顺序遍历所有 (i,j)

   双重求和

   两个求和符号的积可以展开为它们每一项组合的积的和。

(10)(iai)(jbj)=i,jaibj=i(aijbj)=j(bjiai) .

   注意:第一个等号从左到右没有条件,但从右到左时需要保证每个变量的独立性,即 ai 中不包含 jbj 中不包含 i

例 2 用求和符号计算数列 {an} 的和的平方

   (iai)2=i,jaiaj=iai2+2i<jaiaj . 注意区分求和指标,第二步如果写成 i,iaiai 将产生混乱。

4. 极限运算过程

   lim

5. 极值运算过程

   上面四个符号均可被 arg 修饰,表示取得相应边界时的变量取值。

例 3 arg 修饰 max 的含义

   J=maxxR(1x2) 表示,对任意自然数 x1x2 的最大值为 J。计算后可知,J=1

   修饰后为 x=argmaxxR(1x2),表示取最大值 J=1 时的 x 的变量值,可知 x=0


1. ^ 在代数拓扑或范畴论中,通常用来表示某种类型的 “上积” 或 “并”,特别是在集合论或范畴论的背景下。直观上,可以将其视为将多个集合、空间等对象 “拼接” 在一起的操作。集合论中,上积通常表示它们的 “非交并”。


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