贡献者： jingyuan
1. 定义
从第 2 项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母 $d$ 表示。
注：常数列也是等差数列。
2. 通项
如果等差数列 $\begin{Bmatrix} a_n \end{Bmatrix}$ 的首项是 $a_1$，公差是 $d$，那么根据等差数列的定义可得
\begin{equation}
\begin{aligned}
&a_1 = a_1,\\
&a_2 = a_1 + d,\\
&a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d,\\
&\cdots \\
&a_n = a_{n-1} + d = a_1 + (n - 1)d~.
\end{aligned}
\end{equation}
当 $n = 1$ 时
\begin{equation}
a_1 = a_1 + (1 - 1)d = a_1~,
\end{equation}
也就是说这个公式对 $n = 1$ 同样适用。
综上，等差数列通项公式为
\begin{equation}
a_n = a_1 + (n - 1)d~.
\end{equation}
注：这里需要说明一下，带入 $n = 1$ 验算的原因是，我们推算的是 $n > 1$ 时的通项公式，不能说明对首项成立。正如上一节所说，不是所有数列都能写出通项公式，在题目中，经常会出现首项不符合其余项通项公式的情况。
3. 等差中项
如果在 $a$ 和 $b$ 中间插入一个数 $A$，使 $a,A,b$ 成等差数列，那么 $A$ 叫作 $a$ 与 $b$ 的等差中项.
如果 $A$ 是 $a$ 与 $b$ 的等差中项，那么
\begin{equation}
A - a = b - A~,
\end{equation}
\begin{equation}
A = \frac{a+b}{2}~.
\end{equation}
注：等差中项是等差数列的重要考点，大部分考察等差数列的题目都会考察等差中项。
4. 前 $n$ 项的和
等差数列求和的思路非常简单，设一个等差数列
\begin{equation}
a_1,a_2,a_3\cdots,a_n~.
\end{equation}
我们将这个数列倒序排列
\begin{equation}
a_n,a_{n-1},\cdots,a_1~.
\end{equation}
则两个数列的和为
\begin{equation}
\begin{aligned}
S &= a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} + a_n ~,\\
S &= a_n + a_{n - 1} + \cdots + a_2 + a_1~.
\end{aligned}
\end{equation}
由
式 8 得
\begin{equation}
2S = (a_1+a_n) + (a_2+a_{n-1}) +\cdots (a_n + a_1)~.
\end{equation}
此时我们会意识到，所有括号中的两项都具有相同的等差中项，也就是是说
\begin{equation}
2S = n \cdot (a_1+a_n)~,
\end{equation}
\begin{equation}
S = \frac{n\cdot(a_1+a_n)}{2}~.
\end{equation}
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