等差数列(高中)

             

贡献者: jingyuan

预备知识 数列的概念与函数特性(高中)

1. 定义

   从第 2 项起,每一项与前一项的差是同一个常数,我们称这样的数列为等差数列,称这个常数为等差数列的公差,通常用字母 $d$ 表示.

   注:常数列也是等比数列.

2. 通项

   如果等差数列 $\begin{Bmatrix} a_n \end{Bmatrix}$ 的首项是 $a_1$,公差是 $d$,那么根据等差数列的定义可得

\begin{equation} \begin{aligned} &a_1 = a_1,\\ &a_2 = a_1 + d,\\ &a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d,\\ &\cdots \\ &a_n = a_{n-1} + d = a_1 + (n - 1)d \end{aligned} \end{equation}

   当 $n = 1$ 时

\begin{equation} a_1 = a_1 + (1 - 1)d = a_1 \end{equation}
也就是说这个公式对 $n = 1$ 同样适用.

   综上,等差数列通项公式为

\begin{equation} a_n = a_1 + (n - 1)d \end{equation}

   注:这里需要说明一下,带入 $n = 1$ 验算的原因是,我们推算的是 $n > 1$ 时的通项公式,不能说明对首项成立.正如上一节所说,不是所有数列都能写出通项公式,在题目中,经常会出现首项不符合其余项通项公式的情况.

3. 等差中项

   如果在 $a$ 和 $b$ 中间插入一个数 $A$,使 $a,A,b$ 成等差数列,那么 $A$ 叫作 $a$ 与 $b$ 的等差中项.

   如果 $A$ 是 $a$ 与 $b$ 的等差中项,那么

\begin{equation} A - a = b - A \end{equation}
\begin{equation} A = \frac{a+b}{2} \end{equation}

   注:等差中项是等差数列的重要考点,大部分考察等差数列的题目都会考察等差中项.

4. 前 $n$ 项的和

   等差数列求和的思路非常简单,设一个等差数列

\begin{equation} a_1,a_2,a_3\cdots,a_n \end{equation}
我们将这个数列倒序排列
\begin{equation} a_n,a_{n-1},\cdots,a_1 \end{equation}
则两个数列的和为
\begin{equation} \begin{aligned} S &= a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} + a_n \\ S &= a_n + a_{n - 1} + \cdots + a_2 + a_1 \end{aligned} \end{equation}
式 8
\begin{equation} 2S = (a_1+a_n) + (a_2+a_{n-1}) +\cdots (a_n + a_1) \end{equation}
此时我们会意识到,所有括号中的两项都具有相同的等差中项,也就是是说
\begin{equation} 2S = n \cdot (a_1+a_n) \end{equation}
\begin{equation} S = \frac{n\cdot(a_1+a_n)}{2} \end{equation}


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