等比数列(高中)

             

贡献者: jingyuan

预备知识 数列的概念与函数特性(高中)

1. 定义

   一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母 $q$ 表示 $(q\ne 0)$

2. 通项

   由定义可得,等比数列的通项公式

\begin{equation} a_n = a_1 q^{n-1}(a_1 \ne 0,q\ne 0) \end{equation}

3. 等比中项

   与等差数列类似,如果在 $a$ 和 $b$ 中插入一个数 $G$,使得 $a,G,b$ 成等比数列,那么根据等比数列的定义,$\frac{G}{a} = \frac{b}{G},G^2 = ab,G \pm \sqrt{ab}$.我们称 $G$ 为 $a,b$ 的等比中项

   易得,在等比数列中,首末两项除外,每一项都是它前后两项的等比中项.

4. 前 $n$ 项的和

   等比数列求和与等差数列求和有相似之处,

\begin{equation} S = a_1 + a_2 + \cdots + a_n \end{equation}
\begin{equation} qS = qa_1 + qa_2 + \cdots + qa_n \end{equation}
\begin{equation} qS= a_2 + a_3 + \cdots + qa_n \end{equation}
式 2 式 4 做差
\begin{equation} \begin{aligned} (1 - q)S &= a_1 - qa_n\\ &= a_1(1 - q^n) \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} S = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq 1) \end{equation}

   则等比数列前 $n$ 项和为

\begin{equation} S = \begin{cases} \begin{aligned} &na_1,(n = 1) \\ &\frac{a_1(1-q^n)}{1-q},(q \neq 1) \end{aligned} \end{cases} \end{equation}

   当等比数列无穷递缩时,即 $0 < q < 1,n\rightarrow +\infty$

\begin{equation} S = \frac{a_1}{1 - q} \end{equation}


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