等比数列求和

                     

贡献者: addis; jingyuan

预备知识 数列的概念与函数特性(高中)

定义 1 等比数列

   如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母 $q$ 表示 $(q\ne 0)$。

通项公式

   由定义可得,等比数列的通项公式

\begin{equation} a_n = a_1 q^{n-1} \quad (a_1 \ne 0,\ q\ne 0,\ n=1,2,3\dots)~ \end{equation}

等比中项

   与等差数列类似,如果在 $a$ 和 $b$ 中插入一个数 $G$,使得 $a,G,b$ 成等比数列,那么根据等比数列的定义,$\frac{G}{a} = \frac{b}{G},G^2 = ab,G = \pm \sqrt{ab}$。我们称 $G$ 为 $a,b$ 的等比中项

   易得,在等比数列中,首末两项除外,每一项都是它前后两项的等比中项。

1. 前 $n$ 项的和

   等比数列求和与等差数列求和有相似之处,

\begin{equation} S = a_1 + a_2 + \cdots + a_n~, \end{equation}
\begin{equation} qS = qa_1 + qa_2 + \cdots + qa_n~, \end{equation}
\begin{equation} qS= a_2 + a_3 + \cdots + qa_n~. \end{equation}
式 2 式 4 做差
\begin{equation} \begin{aligned} (1 - q)S &= a_1 - qa_n\\ &= a_1(1 - q^n)~, \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} S = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \quad (q\neq 1)~. \end{equation}
则等比数列前 $n$ 项和为
\begin{equation} S = \begin{cases} \begin{aligned} &na_1 &\quad &(q = 1) \\ &\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} &\quad &(q \neq 1)~. \end{aligned} \end{cases} \end{equation}

   当等比数列无穷递缩时,即 $0< q<1$,$n\rightarrow \infty$。这里的极限详见 “数列的极限(简明微积分)”。

\begin{equation} S = \frac{a_1}{1 - q}~. \end{equation}

2. 用数学归纳法证明求和公式

   要证明求和公式

\begin{equation} 1 + q + q^2 + \dots + q^{n-1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}~. \end{equation}
使用数学归纳法,当 $n = 1$ 时
\begin{equation} \frac{q^n - 1}{q - 1} = 1~, \end{equation}
恰好是第 1 项。第 $n + 1$ 项为
\begin{equation} \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1} - \frac{q^n - 1}{q - 1} = q^n~. \end{equation}
证毕。


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