数学归纳法（高中）

贡献者：欄、停敘

预备知识　数列

　　数列可以被视为一个从自然数集合到实数集合的映射，其中每个自然数 $n$ 唯一对应一个实数 $a_{n}$ 。数列的通项公式不仅提供了这种对应关系的计算规则，还可以理解为一种筛选机制。筛选的过程就是通过不断验证命题 “自然数 $n$ 与其对应的 $a_{n}$ 满足通项公式 $a_{n} = f (n)$ ” 是否为真来找到数列的每个值。例如，若通项公式定义为 $a_{n} = 2 n + 1$ ，选择 $n = 3$ 。设对应的 $a_{3} = 6$ ，代入公式则得 $2 \cdot 3 + 1 = 7 \neq 6$ ，命题为假，说明 $a_{3} = 6$ 不满足公式；设取对应的 $a_{3} = 7$ ，代入验证有 $2 \cdot 3 + 1 = 7$ ，命题为真，表明 $a_{3} = 7$ 满足公式。因此 $a_{3} = 7$ 。

　　由此可见，通项公式就像一系列逻辑命题，通过逐一验证自然数的取值，从庞大实数集合中筛选出符合定义的值，从而构成数列。这种 “逐一验证” 的思想可以进一步推广到更广泛的命题形式，包括等式、不等式，以及没有明确代数表达的陈述。只要命题与自然数相关，就可以类比数列的逐一验证过程，设计一个系统化的证明方法。这种证明方法在数学中被称为数学归纳法。数学归纳法不仅在数列的研究中具有重要作用，还广泛应用于多项式、几何等领域的证明。作为高中数学的核心工具之一，数学归纳法能够证明几乎所有与自然数相关的命题，展现出数学的强大力量和广泛适用性。

　　针对高中考试，数学归纳法通过将复杂的证明过程转化为对最终结果的猜想，提供了一种高效且直观的方法。其特点在于，学生可以绕过繁琐的推导，通过 “猜想” 直接得出结论。即使跳过了完整的推理过程，仍然可以利用数学归纳法对结果的正确性加以验证。这种方式不仅简化了复杂问题的解决，也为学生提供了应对考试中证明题的有效策略。同时，数学归纳法对 “如何猜” 提出了更高要求。这一过程体现了学生的数学观察和推断能力，常见的猜想方法包括：通过观察题目中的模式、利用待定系数法、计算几项具体值以总结规律，甚至借助超纲方法来得到初步结论。这些方法不仅是解题的工具，也在训练中帮助学生深化对数学本质的理解。

1. 数学归纳法

　　在介绍数学归纳法之前，先来看一种常见的连锁效应——多米诺骨牌。多米诺骨牌由一块块大小相同的长方体木块组成，每块木块通常只有几厘米高，几毫米厚。这些木块在平坦的桌面上可以独立站立，但由于形状特点，它们极易受力倒下。人们将这些骨牌按照一定的间距排列成一列或更复杂的图案，使得每块骨牌既能独立站立，又能相互影响。当第一块骨牌倒下并恰好撞倒第二块时，第二块继续撞倒第三块，依此类推，整排骨牌便会连续倒下，形成一个连锁反应。

　　设想一下，如果要描述这一过程，最简单的方案是什么？一个直观的设计是让每块骨牌与下一块保持足够近的距离，并确保倒下的方向能够推倒下一块。这时，只需要推倒第一块骨牌，就可以触发整个过程。这种设计的关键在于，每块骨牌的倒下虽然只影响下一块，但通过前后传递的机制，最终能够让整排骨牌依次倒下。

　　这种 “传递性” 的现象正是数学归纳法背后的核心思想。数学归纳法的逻辑和多米诺骨牌非常相似：首先检查命题对某个特定起始点（通常是最小值）是否成立；然后假设命题在任意选取的某个自然数 $k$ 成立，再来验证在此前提下命题对自然数 $k + 1$ 是否成立。只要成立，就可以推导出整排骨牌都会倒下，或者说某个规律适用于所有情况。

定义 1　数学归纳法

　　对某个与自然数相关的命题 $P (n)$ ，利用数学归纳法（mathematical induction）证明 $P (n)$ 成立的过程分为三步：

验证：命题 $P (0)$ 成立成立。
假设：假设 $n = k$ 时，命题 $P (k)$ 成立。
归纳：证明命题在假设的前提下，可以推导命题 $P (k + 1)$ 也成立。

　　如果以上三步都完成，就可以得出结论：该命题对所有自然数 $n$ 都成立。

　　虽然数学归纳法的名称包含 “归纳” 一词，但它并非通常意义上的归纳推理，而是一种完全严谨的演绎推理方法。数学归纳法通过递归式的证明，从特殊情况推导出一般性结论。与反证法等其他证明方法相比，数学归纳法更适用于递推关系明确的问题。

　　从理论上讲，数学归纳法是一种基于公理的模式，其本身的正确性无法被进一步证明，其实，它是定义自然数时的一个基本公理。这意味着，只要自然数的概念成立，数学归纳法就天然适用，并且在与自然数相关的证明中具有不可或缺的地位。

　　在使用数学归纳法时，需要注意一些常见的误区。首先，基础验证是关键的一步，如果未验证初始情况是否成立，整个证明将缺乏起点支撑，无法完整进行。其次，归纳步骤必须严谨，需从归纳假设 $P (k)$ 完整推导出 $P (k + 1)$ ，避免推理过程中的逻辑漏洞或不完整证明。此外，在应用归纳法之前，需要明确命题的适用范围，确保归纳法适用于问题的所有自然数或其子集。另一个容易被忽视的问题是，证明过程中可能会引入未经验证的假设，或者错误地认为某些条件 “显然成立”。这些未经严谨论证的假设可能破坏证明的逻辑性。同时，在推理过程中，还需注意可能存在的特殊情况，例如某些特殊值导致推论不成立。这些隐患可能影响归纳法的应用效果，需要在实际使用中仔细排查。

　　数学归纳法的意义主要体现在两个方面。一是它确保自然数的完备性，可以验证某一性质对所有自然数都成立，而不必逐一检查每一个自然数。二是它为递归定义提供了严格的验证工具，能够证明递归定义的正确性，从而确保数学推导的严谨性。这些特点使得数学归纳法成为数学证明中极为重要的一种方法。

2. 应用实例

　　前面介绍的数学归纳法虽然逻辑清晰，但由于其作为一种公理模式比较抽象，而且这一概念也可能让初次接触的读者对实际使用感到陌生。为了帮助更直观地理解数学归纳法的应用，下面将通过几个实例展示它的具体使用方法。在学习这些实例时，请特别留意初始条件的验证为何如此简单，同时观察归纳步骤中如何正确地假设条件并推导结论。关注它与以往的证明方法相比，思路上的独特之处。学习这些实例后，读者可以进一步尝试利用数学归纳法证明 “恒等式与恒成立不等式” 中的表达式，体验这一方法在解决与自然数相关问题中的强大之处。

证明恒等式

　　下面的例题曾经在等比数列中给出证明。通常，这类恒等式都可以利用数学归纳法加以证明。

例 1　证明：对于任意自然数 $n$ 都有 $a^{n} - b^{n} = (a - b) \sum_{i = 0}^{n - 1} a^{i} b^{n - i}$ 。

　　证明：

　　当 $n = 0$ 时¹：

\begin{matrix} (1) & a^{0} - b^{0} = 1 - 1 = 0 = (a - b) \times 0 . \end{matrix}

因此，命题在

n = 0

时成立。

　　假设命题对 $n = k$ 成立，即：

\begin{matrix} (2) & a^{k} - b^{k} = (a - b) (a^{k - 1} + a^{k - 2} b + \dots + b^{k - 1}) . \end{matrix}

需证明命题对

n = k + 1

成立，代入假设有：

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} a^{k + 1} - b^{k + 1} & = a^{k + 1} - a b^{k} + a b^{k} - b^{k + 1} \\ = a \cdot (a^{k} - b^{k}) + b^{k} (a - b) \\ = a \cdot (a - b) (a^{k - 1} + a^{k - 2} b + \dots + b^{k - 1}) + b^{k} (a - b) \\ = (a - b) [a \cdot (a^{k - 1} + a^{k - 2} b + \dots + b^{k - 1}) + b^{k}] \\ = (a - b) (a^{k} + a^{k - 1} b + \dots + a b^{k - 1} + b^{k}) . \end{aligned} \end{matrix}

与题设形式一致。

　　综上由数学归纳法可知：

\begin{matrix} (4) & a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + b^{n - 1}) . \end{matrix}

对所有自然数成立。

不等式恒成立

　　有些不等式问题的结论并不显而易见。在使用数学归纳法证明此类问题时，代入验证或推导过程中，往往需要结合题目中的其他已知条件进行适当的放缩或转化。

例 2　证明 $e^{n} \geq n + 1$ 对所有自然数成立。

　　证明：

　　当 $n = 0$ 时， $e^{0} = 1 \geq 0 + 1$ ，成立。

　　假设 $e^{k} \geq k + 1$ 成立。需要证明 $n = k + 1$ 时命题也成立。由于 $e > 2$ 且 $k \geq 0$ ，有：

\begin{matrix} (5) & (k + 1) \cdot e > (k + 1) \cdot 2 = 2 k + 2 \geq k + 2 . \end{matrix}

根据假设，可得：

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} e^{k + 1} & = e \cdot e^{k} \\ \geq e (k + 1) \\ \geq k + 2 . \end{aligned} \end{matrix}

与命题的形式一致。综上，利用数学归纳法，可以证明

e^{n} \geq n + 1

对所有整数

n \geq 0

都成立。

整除问题

　　整除是一个与自然数密切相关的性质，因此，许多与整除有关的命题都可以利用数学归纳法进行证明。

例 3　证明：对任意自然数 $n$ ， $9^{n} - 1$ 能被 $8$ 整除。

　　证明：

　　当 $n = 0$ 时： $9^{0} - 1 = 1 - 1 = 0$ 。由于 $0$ 能被任何整数整除，显然命题在 $n = 0$ 时成立。

　　假设当 $n = k$ 时，命题成立，这意味着存在整数 $m$ ，使得：

\begin{matrix} (7) & 9^{k} - 1 = 8 m . \end{matrix}

当

n = k + 1

时，代入假设，有：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} 9^{k + 1} - 1 & = 9 \cdot 9^{k} - 1 \\ = 9 \cdot (8 m + 1) - 1 \\ = 8 \cdot 9 m + 9 - 1 \\ = 8 \cdot (9 m + 1) . \end{aligned} \end{matrix}

显然，

9^{k + 1} - 1

是

8

的倍数，所以能被

8

整除。

　　由数学归纳法可知，对所有正整数 $n$ ， $9^{n} - 1$ 能被 $8$ 整除。

　　除上述例子外，从数列的递推公式得到通项公式、多边形内角和公式以及排列组合或其他算法的递归性质上，都可以窥见数学归纳法的身影。数学归纳法不仅是一种证明工具，还为许多过去被认为 “显然成立” 的命题赋予了严谨的逻辑依赖。

　　在更广泛的数学研究中，若需证明某个命题对所有实数成立，通常可以分阶段处理：首先利用数学归纳法证明该命题对自然数成立，然后扩展到有理数，最后通过极限方法推广到实数。数学归纳法由此成为许多数学命题证明的起点，为逻辑推导提供了坚实的基础和规范的框架。

3. 数学归纳法的变式

　　数学归纳法是证明命题的一种基本方法，但在实际应用中，可以根据问题特点进行一些变式。这些变式本质上依然基于数学归纳法，或者说，他们都可以由数学归纳法证明有效。只是在证明时附加了额外的条件，利用新的模式可以简化证明过程。

　　这些数学归纳法的变式提供了更加灵活的证明工具。在具体应用中，选择合适的变式能够让证明过程更加简单和高效。虽然除了 “从 $n_{0}$ 开始的数学归纳法” 之外，在高中阶段不作要求，但理解它们有助于开阔视野。

从 $n_{0}$ 开始的数学归纳法

　　尽管本文给出的数学归纳法以 $n = 0$ 为起点，但在实际应用中，许多问题的起点并非 $n = 0$ ，而可能是 $n = 1$ 或更大的自然数 $n_{0}$ 。高中教材中给出的数学归纳法的定义也是从 $n_{0}$ 开始验证，并证明命题在 $n \geq n_{0}$ 的范围内成立的归纳法。这种形式更加灵活，适用于起点不同的问题。

定义 2　从 $n_{0}$ 开始的数学归纳法

　　对某个与自然数相关的命题 $P (n)$ ，利用数学归纳法证明 $P (n)$ 在 $n \geq n_{0}$ 范围内成立的过程分为以下三步：

验证：证明命题在 $n = n_{0}$ 时成立；
假设：假设当 $n = k$ 时，命题 $P (k)$ 成立；
归纳：在假设的前提下，证明命题 $P (k + 1)$ 也成立。

　　如果以上三步都完成，就可以得出结论：命题对所有 $n \geq n_{0}$ 的自然数成立。

　　这一形式与标准数学归纳法的区别仅在于基础验证的起点不同。例如，若某命题仅从 $n = 2$ 起才有意义，则需要验证命题在 $n = 2$ 时成立，并假设对 $n = k$ 成立，然后推导出对 $n = k + 1$ 也成立。

　　从理论上看，从 $n_{0}$ 开始的数学归纳法可以等价地转化为标准数学归纳法。将要证明的命题 $P (n)$ （定义于 $n \geq n_{0}$ ）重新定义为 $Q (n) = P (n + n_{0})$ （定义于 $n \geq 0$ ）。在这种转换下，证明 $P (n)$ 成立的问题就变为 $Q (n)$ 的标准数学归纳问题。这种等价转化表明，从 $n_{0}$ 开始的数学归纳法与标准形式本质上一致，仅仅在验证的起点上有所不同。

　　这一结论还说明，对于自然数来说，起点的选择并不影响数学归纳法的适用性。重要的是自然数之间的关系，而非具体从哪里开始。这也是为什么关于自然数的起点，有些定义从 $0$ 开始，有些从 $1$ 开始，但无论选择哪一种，都不会影响自然数的基本性质。尽管看似 “起点” 是自然数体系的根基问题，实际上这一选择并没有被严格固定，而是依赖于具体的数学背景和使用习惯。

*强归纳法

　　强归纳法是一种扩展形式的数学归纳法。与标准数学归纳法相比，强归纳法的假设部分更为全面：它不仅假设命题对某个 $n = k$ 成立，还假设命题对所有 $n < k$ 都成立。这种方法通常用于递推关系依赖多个前面情况的问题。

定义 3　强归纳法

　　对某个与自然数相关的命题 $P (n)$ ，利用强归纳法（Strong principle of induction）证明 $P (n)$ 成立的过程分为三步：

验证：命题 $P (0)$ 成立成立。
假设：假设 $n \leq k$ 时，命题 $P (n)$ 成立。
归纳：证明命题在假设的前提下，可以推导命题 $P (k + 1)$ 也成立。

　　如果以上三步都完成，就可以得出结论：该命题对所有自然数 $n$ 都成立。

　　与前面的例子类似，强归纳法也可以形式化地转化为数学归纳法，不过证明稍微困难。如果需要证明命题 $P (n)$ ，可以将其转化为命题 $Q (n)$ ，定义为 $Q (n) := {\forall m_{0} \leq m < n, P (m) = True}$ 。在这种定义下，强归纳法的步骤本质上等价于数学归纳法，只是将命题的假设扩展为一个更广泛的范围，从而更适应递推关系复杂的问题。

例 4　证明：任何整数 $n > 1$ 都可以唯一分解为若干个素数的乘积。

　　证明：

　　当 $n = 2$ ，因为 $n = 2$ 本身是素数，显然成立。

　　假设对于所有 $2 \leq n \leq k$ ，命题成立，即 $n$ 可以唯一分解为素数的乘积。

　　对 $n = k + 1$ ，分两种情况：

若 $k + 1$ 是素数，则分解唯一，命题成立。
若 $k + 1$ 是合数，则存在 $a$ 和 $b$ ，使得 $k + 1 = a \cdot b$ ，其中 $2 \leq a, b < k + 1$ 。根据假设， $a$ 和 $b$ 都可以唯一分解为素数的乘积，因此 $k + 1$ 的分解也是唯一的。

　　综上，由数学归纳法可知，任意 $n > 1$ 的整数都可以唯一分解为素数的乘积。

*逆归纳法

　　逆归纳法是一种从后向前的归纳证明方法，主要用于处理有限集合的问题。与通常的正向归纳法不同，逆归纳法从最后的给定的数字开始，假设命题在 $n$ 较大值时成立，然后逐步向较小的值推导，直至验证起始点。这种方法特别适用于需要反向验证的情况，例如某些与时间相关的命题，已知当前状态，推知之前的状态。

定义 4　逆归纳法

　　对某个与自然数相关的命题 $P (n)$ ，利用逆归纳法（Reverse Induction）证明 $P (n)$ 对 $0 \leq n \leq N$ 成立的过程分为三步：

验证：命题 $P (N)$ 成立成立。
假设：假设 $n = k + 1$ 时，命题 $P (k + 1)$ 成立。
归纳：证明命题在假设的前提下，可以推导命题 $P (k)$ 也成立。

　　如果以上三步都完成，就可以得出结论：该命题对整数 $0 \leq n \leq N$ 都成立。

　　同样地，逆归纳法也可以形式化地转化为数学归纳法，假设这里要证明的 $P (n)$ ，那么对应到数学归纳法，证明的命题就是 $Q (n) := P (n - N)$ 。

1. ^ 关于成立原因，参见求和符号

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数学归纳法（高中）

1. 数学归纳法

定义 1 数学归纳法

2. 应用实例

证明恒等式

例 1 证明：对于任意自然数 n 都有 an−bn=(a−b)∑i=0n−1aibn−i。

不等式恒成立

例 2 证明 en≥n+1 对所有自然数成立。

整除问题

例 3 证明：对任意自然数 n，9n−1 能被 8 整除。