数学归纳法(高中)

                     

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预备知识 数列

   数列可以被视为一个从自然数集合到实数集合的映射,其中每个自然数 $n$ 唯一对应一个实数 $a_n$。数列的通项公式不仅提供了这种对应关系的计算规则,还可以理解为一种筛选机制。筛选的过程就是通过不断验证命题 “自然数 $n$ 与其对应的 $a_n$ 满足通项公式 $a_n = f(n)$ ” 是否为真来找到数列的每个值。例如,若通项公式定义为 $a_n = 2n + 1$,选择 $n = 3$。设对应的 $a_3 = 6$,代入公式则得 $2 \cdot 3 + 1 = 7 \neq 6$,命题为假,说明 $a_3 = 6$ 不满足公式;设取对应的 $a_3 = 7$,代入验证有 $2 \cdot 3 + 1 = 7$,命题为真,表明 $a_3 = 7$ 满足公式。因此 $a_3=7$。

   由此可见,通项公式就像一系列逻辑命题,通过逐一验证自然数的取值,从庞大实数集合中筛选出符合定义的值,从而构成数列。这种 “逐一验证” 的思想可以进一步推广到更广泛的命题形式,包括等式、不等式,以及没有明确代数表达的陈述。只要命题与自然数相关,就可以类比数列的逐一验证过程,设计一个系统化的证明方法。这种证明方法在数学中被称为数学归纳法。数学归纳法不仅在数列的研究中具有重要作用,还广泛应用于多项式、几何等领域的证明。作为高中数学的核心工具之一,数学归纳法能够证明几乎所有与自然数相关的命题,展现出数学的强大力量和广泛适用性。

   针对高中考试,数学归纳法通过将复杂的证明过程转化为对最终结果的猜想,提供了一种高效且直观的方法。其特点在于,学生可以绕过繁琐的推导,通过 “猜想” 直接得出结论。即使跳过了完整的推理过程,仍然可以利用数学归纳法对结果的正确性加以验证。这种方式不仅简化了复杂问题的解决,也为学生提供了应对考试中证明题的有效策略。同时,数学归纳法对 “如何猜” 提出了更高要求。这一过程体现了学生的数学观察和推断能力,常见的猜想方法包括:通过观察题目中的模式、利用待定系数法、计算几项具体值以总结规律,甚至借助超纲方法来得到初步结论。这些方法不仅是解题的工具,也在训练中帮助学生深化对数学本质的理解。

1. 数学归纳法

   在介绍数学归纳法之前,先来看一种常见的连锁效应——多米诺骨牌。多米诺骨牌由一块块大小相同的长方体木块组成,每块木块通常只有几厘米高,几毫米厚。这些木块在平坦的桌面上可以独立站立,但由于形状特点,它们极易受力倒下。人们将这些骨牌按照一定的间距排列成一列或更复杂的图案,使得每块骨牌既能独立站立,又能相互影响。当第一块骨牌倒下并恰好撞倒第二块时,第二块继续撞倒第三块,依此类推,整排骨牌便会连续倒下,形成一个连锁反应。

   设想一下,如果要描述这一过程,最简单的方案是什么?一个直观的设计是让每块骨牌与下一块保持足够近的距离,并确保倒下的方向能够推倒下一块。这时,只需要推倒第一块骨牌,就可以触发整个过程。这种设计的关键在于,每块骨牌的倒下虽然只影响下一块,但通过前后传递的机制,最终能够让整排骨牌依次倒下。

   这种 “传递性” 的现象正是数学归纳法背后的核心思想。数学归纳法的逻辑和多米诺骨牌非常相似:首先检查命题对某个特定起始点(通常是最小值)是否成立;然后假设命题在任意选取的某个自然数 $k$ 成立,再来验证在此前提下命题对自然数 $k+1$ 是否成立。只要成立,就可以推导出整排骨牌都会倒下,或者说某个规律适用于所有情况。

定义 1 数学归纳法

   对某个与自然数相关的命题 $P(n)$,利用数学归纳法(mathematical induction)证明 $P(n)$ 成立的过程分为三步:

  1. 验证:命题 $P(0)$ 成立成立。
  2. 假设:假设 $n = k$ 时,命题 $P(k)$ 成立。
  3. 归纳:证明命题在假设的前提下,可以推导命题 $P(k+1)$ 也成立。

   如果以上三步都完成,就可以得出结论:该命题对所有自然数 $n$ 都成立。

   虽然数学归纳法的名称包含 “归纳” 一词,但它并非通常意义上的归纳推理,而是一种完全严谨的演绎推理方法。数学归纳法通过递归式的证明,从特殊情况推导出一般性结论。与反证法等其他证明方法相比,数学归纳法更适用于递推关系明确的问题。

   从理论上讲,数学归纳法是一种基于公理的模式,其本身的正确性无法被进一步证明,其实,它是定义自然数时的一个基本公理。这意味着,只要自然数的概念成立,数学归纳法就天然适用,并且在与自然数相关的证明中具有不可或缺的地位。

   在使用数学归纳法时,需要注意一些常见的误区。首先,基础验证是关键的一步,如果未验证初始情况是否成立,整个证明将缺乏起点支撑,无法完整进行。其次,归纳步骤必须严谨,需从归纳假设 $P(k)$ 完整推导出 $P(k+1)$,避免推理过程中的逻辑漏洞或不完整证明。此外,在应用归纳法之前,需要明确命题的适用范围,确保归纳法适用于问题的所有自然数或其子集。另一个容易被忽视的问题是,证明过程中可能会引入未经验证的假设,或者错误地认为某些条件 “显然成立”。这些未经严谨论证的假设可能破坏证明的逻辑性。同时,在推理过程中,还需注意可能存在的特殊情况,例如某些特殊值导致推论不成立。这些隐患可能影响归纳法的应用效果,需要在实际使用中仔细排查。

   数学归纳法的意义主要体现在两个方面。一是它确保自然数的完备性,可以验证某一性质对所有自然数都成立,而不必逐一检查每一个自然数。二是它为递归定义提供了严格的验证工具,能够证明递归定义的正确性,从而确保数学推导的严谨性。这些特点使得数学归纳法成为数学证明中极为重要的一种方法。

2. 应用实例

   前面介绍的数学归纳法虽然逻辑清晰,但由于其作为一种公理模式比较抽象,而且这一概念也可能让初次接触的读者对实际使用感到陌生。为了帮助更直观地理解数学归纳法的应用,下面将通过几个实例展示它的具体使用方法。在学习这些实例时,请特别留意初始条件的验证为何如此简单,同时观察归纳步骤中如何正确地假设条件并推导结论。关注它与以往的证明方法相比,思路上的独特之处。学习这些实例后,读者可以进一步尝试利用数学归纳法证明 “恒等式与恒成立不等式” 中的表达式,体验这一方法在解决与自然数相关问题中的强大之处。

证明恒等式

   下面的例题曾经在等比数列中给出证明。通常,这类恒等式都可以利用数学归纳法加以证明。

例 1 证明:对于任意自然数 $n$ 都有 $\displaystyle a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\sum_{i=0}^{n-1}a^{i}b^{n-i}$。

   证明:

   当 $n = 0$ 时1

\begin{equation} a^0 - b^0 = 1-1=0=(a - b)\times0~. \end{equation}
因此,命题在 $n = 0$ 时成立。

   假设命题对 $n = k$ 成立,即:

\begin{equation} a^k - b^k = (a - b)\left(a^{k-1} + a^{k-2}b + \cdots + b^{k-1}\right)~. \end{equation}
需证明命题对 $n = k+1$ 成立,代入假设有:
\begin{equation} \begin{aligned} a^{k+1} - b^{k+1} &= a^{k+1}-ab^k+ab^k - b^{k+1}\\ &= a \cdot (a^k - b^k) + b^k(a - b)\\ &=a \cdot (a - b)\left(a^{k-1} + a^{k-2}b + \cdots + b^{k-1}\right) + b^k(a - b)\\ &=(a - b)\left[a \cdot \left(a^{k-1} + a^{k-2}b + \cdots + b^{k-1}\right) + b^k\right]\\ &=(a - b)\left(a^{k} + a^{k-1}b + \cdots + ab^{k-1} + b^k\right)~. \end{aligned} \end{equation}
与题设形式一致。

   综上由数学归纳法可知:

\begin{equation} a^n - b^n = (a - b)\left(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + b^{n-1}\right)~. \end{equation}
对所有自然数成立。

不等式恒成立

   有些不等式问题的结论并不显而易见。在使用数学归纳法证明此类问题时,代入验证或推导过程中,往往需要结合题目中的其他已知条件进行适当的放缩或转化。

例 2 证明 $ \mathrm{e} ^n \geq n+1$ 对所有自然数成立。

   证明:

   当 $n = 0$ 时,$ \mathrm{e} ^0 = 1\geq 0+1$,成立。

   假设 $ \mathrm{e} ^k \geq k+1$ 成立。需要证明 $n = k+1$ 时命题也成立。 由于 $ \mathrm{e} >2$ 且 $k\geq0$,有:

\begin{equation} (k + 1) \cdot \mathrm{e} > (k + 1) \cdot 2 = 2k + 2 \geq k + 2~. \end{equation}
根据假设,可得:
\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{e} ^{k+1} &= \mathrm{e} \cdot \mathrm{e} ^k\\ &\geq \mathrm{e} (k+1)\\ &\geq k+2~. \end{aligned} \end{equation}
与命题的形式一致。综上,利用数学归纳法,可以证明 $ \mathrm{e} ^n \geq n+1$ 对所有整数 $n \geq 0$ 都成立。

整除问题

   整除是一个与自然数密切相关的性质,因此,许多与整除有关的命题都可以利用数学归纳法进行证明。

例 3 证明:对任意自然数 $n$,$9^{n} - 1$ 能被 $8$ 整除。

   证明:

   当 $n = 0$ 时:$9^0 - 1 = 1 - 1 = 0$。由于 $0$ 能被任何整数整除,显然命题在 $n = 0$ 时成立。

   假设当 $n = k$ 时,命题成立,这意味着存在整数 $m$,使得:

\begin{equation} 9^k - 1 = 8m~. \end{equation}
当 $n = k+1$ 时,代入假设,有:
\begin{equation} \begin{aligned} 9^{k+1} - 1 &= 9\cdot9^{k} - 1\\ &= 9\cdot(8m+1)- 1\\ &= 8\cdot9m+9- 1\\ &= 8\cdot(9m+1)~. \end{aligned} \end{equation}
显然,$9^{k+1} - 1$ 是 $8$ 的倍数,所以能被 $8$ 整除。

   由数学归纳法可知,对所有正整数 $n$,$9^{n} - 1$ 能被 $8$ 整除。

   除上述例子外,从数列的递推公式得到通项公式、多边形内角和公式以及排列组合或其他算法的递归性质上,都可以窥见数学归纳法的身影。数学归纳法不仅是一种证明工具,还为许多过去被认为 “显然成立” 的命题赋予了严谨的逻辑依赖。

   在更广泛的数学研究中,若需证明某个命题对所有实数成立,通常可以分阶段处理:首先利用数学归纳法证明该命题对自然数成立,然后扩展到有理数,最后通过极限方法推广到实数。数学归纳法由此成为许多数学命题证明的起点,为逻辑推导提供了坚实的基础和规范的框架。

3. 数学归纳法的变式

   数学归纳法是证明命题的一种基本方法,但在实际应用中,可以根据问题特点进行一些变式。这些变式本质上依然基于数学归纳法,或者说,他们都可以由数学归纳法证明有效。只是在证明时附加了额外的条件,利用新的模式可以简化证明过程。

   这些数学归纳法的变式提供了更加灵活的证明工具。在具体应用中,选择合适的变式能够让证明过程更加简单和高效。虽然除了 “从 $n_0$ 开始的数学归纳法” 之外,在高中阶段不作要求,但理解它们有助于开阔视野。

从 $n_0$ 开始的数学归纳法

   尽管本文给出的数学归纳法以 $n = 0$ 为起点,但在实际应用中,许多问题的起点并非 $n = 0$,而可能是 $n = 1$ 或更大的自然数 $n_0$。高中教材中给出的数学归纳法的定义也是从 $n_0$ 开始验证,并证明命题在 $n \geq n_0$ 的范围内成立的归纳法。这种形式更加灵活,适用于起点不同的问题。

定义 2 从 $n_0$ 开始的数学归纳法

   对某个与自然数相关的命题 $P(n)$,利用数学归纳法证明 $P(n)$ 在 $n \geq n_0$ 范围内成立的过程分为以下三步:

  1. 验证:证明命题在 $n = n_0$ 时成立;
  2. 假设:假设当 $n = k$ 时,命题 $P(k)$ 成立;
  3. 归纳:在假设的前提下,证明命题 $P(k+1)$ 也成立。

   如果以上三步都完成,就可以得出结论:命题对所有 $n \geq n_0$ 的自然数成立。

   这一形式与标准数学归纳法的区别仅在于基础验证的起点不同。例如,若某命题仅从 $n = 2$ 起才有意义,则需要验证命题在 $n = 2$ 时成立,并假设对 $n = k$ 成立,然后推导出对 $n = k+1$ 也成立。

   从理论上看,从 $n_0$ 开始的数学归纳法可以等价地转化为标准数学归纳法。将要证明的命题 $P(n)$(定义于 $n \geq n_0$)重新定义为 $Q(n) = P(n + n_0)$(定义于 $n \geq 0$)。在这种转换下,证明 $P(n)$ 成立的问题就变为 $Q(n)$ 的标准数学归纳问题。这种等价转化表明,从 $n_0$ 开始的数学归纳法与标准形式本质上一致,仅仅在验证的起点上有所不同。

   这一结论还说明,对于自然数来说,起点的选择并不影响数学归纳法的适用性。重要的是自然数之间的关系,而非具体从哪里开始。这也是为什么关于自然数的起点,有些定义从 $0$ 开始,有些从 $1$ 开始,但无论选择哪一种,都不会影响自然数的基本性质。尽管看似 “起点” 是自然数体系的根基问题,实际上这一选择并没有被严格固定,而是依赖于具体的数学背景和使用习惯。

*强归纳法

   强归纳法是一种扩展形式的数学归纳法。与标准数学归纳法相比,强归纳法的假设部分更为全面:它不仅假设命题对某个 $n = k$ 成立,还假设命题对所有 $n< k$ 都成立。这种方法通常用于递推关系依赖多个前面情况的问题。

定义 3 强归纳法

   对某个与自然数相关的命题 $P(n)$,利用强归纳法(Strong principle of induction)证明 $P(n)$ 成立的过程分为三步:

  1. 验证:命题 $P(0)$ 成立成立。
  2. 假设:假设 $n\leq k$ 时,命题 $P(n)$ 成立。
  3. 归纳:证明命题在假设的前提下,可以推导命题 $P(k+1)$ 也成立。

   如果以上三步都完成,就可以得出结论:该命题对所有自然数 $n$ 都成立。

   与前面的例子类似,强归纳法也可以形式化地转化为数学归纳法,不过证明稍微困难。如果需要证明命题 $P(n)$,可以将其转化为命题 $Q(n)$,定义为 $Q(n) := \{\forall m_0 \leq m < n, P(m) = \text{True}\}$。在这种定义下,强归纳法的步骤本质上等价于数学归纳法,只是将命题的假设扩展为一个更广泛的范围,从而更适应递推关系复杂的问题。

例 4 证明:任何整数 $n>1$ 都可以唯一分解为若干个素数的乘积。

   证明:

   当 $n = 2$,因为 $n = 2$ 本身是素数,显然成立。

   假设对于所有 $2 \leq n \leq k$,命题成立,即 $n$ 可以唯一分解为素数的乘积。

   对 $n = k+1$,分两种情况:

  1. 若 $k+1$ 是素数,则分解唯一,命题成立。
  2. 若 $k+1$ 是合数,则存在 $a$ 和 $b$,使得 $k+1=a \cdot b$,其中 $2 \leq a, b < k+1$。根据假设,$a$ 和 $b$ 都可以唯一分解为素数的乘积,因此 $k+1$ 的分解也是唯一的。

   综上,由数学归纳法可知,任意 $n>1$ 的整数都可以唯一分解为素数的乘积。

*逆归纳法

   逆归纳法是一种从后向前的归纳证明方法,主要用于处理有限集合的问题。与通常的正向归纳法不同,逆归纳法从最后的给定的数字开始,假设命题在 $n$ 较大值时成立,然后逐步向较小的值推导,直至验证起始点。这种方法特别适用于需要反向验证的情况,例如某些与时间相关的命题,已知当前状态,推知之前的状态。

定义 4 逆归纳法

   对某个与自然数相关的命题 $P(n)$,利用逆归纳法(Reverse Induction)证明 $P(n)$ 对 $0\leq n\leq N$ 成立的过程分为三步:

  1. 验证:命题 $P(N)$ 成立成立。
  2. 假设:假设 $n = k+1$ 时,命题 $P(k+1)$ 成立。
  3. 归纳:证明命题在假设的前提下,可以推导命题 $P(k)$ 也成立。

   如果以上三步都完成,就可以得出结论:该命题对整数 $0\leq n\leq N$ 都成立。

   同样地,逆归纳法也可以形式化地转化为数学归纳法,假设这里要证明的 $P(n)$,那么对应到数学归纳法,证明的命题就是 $Q(n):=P(n-N)$。


1. ^ 关于成立原因,参见求和符号


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