柱坐标与直角坐标的转换

             

预备知识 柱坐标系

   当我们讨论柱坐标和直角坐标的转换时,通常令两个原点和 $z$ 轴重合,$\theta = 0$,$z = 0$ 为 $x$ 轴的正方向,$\theta = \pi/2$,$z = 0$ 为 $y$ 轴的正方向.这时两种坐标之间的变换关系为.

\begin{equation} \begin{cases} x = r\cos \theta \\ y = r\sin \theta \\ z = z \end{cases} \end{equation}
\begin{equation} \begin{cases} r = \sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \operatorname{Arctan} (y,x) \\ z = z \end{cases} \end{equation}
其中 $ \operatorname {Arctan}$ 是四象限反正切函数,也记为 $ \operatorname {atan2}$.注意根据式 1 ,同一个直角坐标可以对应不同的极坐标,例如将 $\theta$ 增加 $2\pi$ 的整数倍,直角坐标不变.但根据式 2 ,我们可以找到两种坐标间的一一对应关系.

1. 矢量变换

   两组基底之间的变换关系为

\begin{equation} \begin{cases} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = R_{11} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R_{12} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + R_{13} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = R_{21} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R_{22} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + R_{23} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = R_{31} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R_{32} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + R_{33} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{cases} \end{equation}
\begin{equation} \begin{cases} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = R_{11} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + R_{21} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + R_{31} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = R_{12} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + R_{22} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + R_{32} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = R_{13} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + R_{23} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + R_{33} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{cases} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 是关于角度 $\theta$ 的三维旋转矩阵
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0\\ -\sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation}

   若任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在直角坐标系和球坐标系中分别表示为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = v_x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + v_y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + v_z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = v_r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + v_\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + v_z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
则坐标变换关系可以用矩阵乘法表示
\begin{equation} \begin{pmatrix}v_r \\ v_\theta \\ v_z\end{pmatrix} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \begin{pmatrix}v_x \\ v_y \\ v_z\end{pmatrix} \end{equation}
\begin{equation} \begin{pmatrix}v_x \\ v_y \\ v_z\end{pmatrix} = \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \begin{pmatrix}v_r \\ v_\theta \\ v_z\end{pmatrix} \end{equation}

2. 推导

   空间中一点 $P$ 的位矢在 $xy$ 平面的分量为 $r$.其可以进而分解成 $x$ 分量 和 $y$ 分量 $x = r\cos \theta$, $y = r\sin \theta$,而点 $P$ 垂直分量即为 $z$,这就得到了式 1 .有了式 1 中的三条关系,就可以很容易解出式 2 中的三条关系.

   现在推导变换关系式 3 .由于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 都是关于 $(r, \theta, z)$ 的函数,所以在考察一点 $(r, \theta, z)$ 时,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 的柱坐标是 $(1, \theta, 0)$, 根据式 1 变换到直角坐标为

\begin{equation} (\cos \theta,\,\sin \theta,\,0) \end{equation}
写成矢量的形式,就是
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \cos \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \end{equation}
至于式 3 的第二条式子,在同一个柱坐标 $(r,\theta ,z)$ 处,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 的柱坐标为 $(1, \theta + \pi /2, 0)$,根据式 1 变换到直角坐标再化简就得到直角坐标和对应的矢量形式为
\begin{equation} (-\sin \theta ,\,\cos \theta , \,0) \end{equation}
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = -\sin \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \end{equation}
对于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $,容易看出
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
将基底变换式 3 式 4 分别代入式 7 式 6 得坐标变换式 9 式 8 ,详见 “三维旋转矩阵”.

3. 两方向的夹角

预备知识 内积

   若已知柱坐标系中两个方向分别为 $(\sqrt{1-z_1^2}, \theta_1, z_1)$ 和 $(\sqrt{1-z_2^2}, \theta_2, z_2)$,如何求它们之间的夹角 $\alpha$ 呢?我们可以先计算两个单位矢量的直角坐标,然后对它们进行内积即可得到两矢量夹角的余弦值.由式 1 ,两矢量的直角坐标分别为

\begin{equation} (\sqrt{1-z_1^2}\cos\theta_1,\ \sqrt{1-z_1^2}\sin\theta_1,\ z_1) \qquad (\sqrt{1-z_2^2}\cos\theta_2,\ \sqrt{1-z_2^2}\sin\theta_2,\ z_2) \end{equation}
利用三角恒等式(式 4 ),得
\begin{equation} \begin{aligned} \cos\alpha &= \sqrt{1-z_1^2}\sqrt{1-z_2^2}\cos\theta_1\cos\theta_2 + \sqrt{1-z_1^2}\sqrt{1-z_2^2}\sin\theta_1\sin\theta_2 + z_1z_2\\ &=\sqrt{(1-z_1^2)(1-z_2^2)}\cos\theta_1\cos\theta_2 + \sqrt{(1-z_1^2)(1-z_2^2)}\sin\theta_1\sin\theta_2 + z_1z_2 \end{aligned} \end{equation}

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