柱坐标与直角坐标的转换

贡献者：零穹

预备知识 1　柱坐标系

　　当我们讨论柱坐标和直角坐标的转换时，通常令两个原点和 $z$ 轴重合， $θ = 0$ ， $z = 0$ 为 $x$ 轴的正方向， $θ = π / 2$ ， $z = 0$ 为 $y$ 轴的正方向。这时两种坐标之间的变换关系为。

\begin{matrix} (1) & {\begin{cases} x = r \cos θ \\ y = r \sin θ \\ z = z \end{cases}, \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & {\begin{cases} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ θ = Arctan (y, x) \\ z = z \end{cases} . \end{matrix}

其中

Arctan

是四象限反正切函数，也记为

atan 2

。注意根据式 1 ，同一个直角坐标可以对应不同的极坐标，例如将

θ

增加

2 π

的整数倍，直角坐标不变。但根据式 2 ，我们可以找到两种坐标间的一一对应关系。

1. 矢量变换

　　两组基底之间的变换关系为

\begin{matrix} (3) & {\begin{cases} \hat{r} = R_{11} \hat{x} + R_{12} \hat{y} + R_{13} \hat{z} \\ \hat{θ} = R_{21} \hat{x} + R_{22} \hat{y} + R_{23} \hat{z} \\ \hat{z} = R_{31} \hat{x} + R_{32} \hat{y} + R_{33} \hat{z} \end{cases}, \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & {\begin{cases} \hat{x} = R_{11} \hat{r} + R_{21} \hat{θ} + R_{31} \hat{z} \\ \hat{y} = R_{12} \hat{r} + R_{22} \hat{θ} + R_{32} \hat{z} \\ \hat{z} = R_{13} \hat{r} + R_{23} \hat{θ} + R_{33} \hat{z} \end{cases} . \end{matrix}

其中

R

是关于角度

θ

的三维旋转矩阵

\begin{matrix} (5) & R = (\begin{matrix} \cos θ & \sin θ & 0 \\ - \sin θ & \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) . \end{matrix}

　　若任意矢量 $v$ 在直角坐标系和球坐标系中分别表示为

\begin{matrix} (6) & v = v_{x} \hat{x} + v_{y} \hat{y} + v_{z} \hat{z}, \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & v = v_{r} \hat{r} + v_{θ} \hat{θ} + v_{z} \hat{z} . \end{matrix}

则坐标变换关系可以用矩阵乘法表示

\begin{matrix} (8) & (\begin{matrix} v_{r} \\ v_{θ} \\ v_{z} \end{matrix}) = R (\begin{matrix} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{matrix}), \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & (\begin{matrix} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{matrix}) = R^{T} (\begin{matrix} v_{r} \\ v_{θ} \\ v_{z} \end{matrix}) . \end{matrix}

2. 推导

　　空间中一点 $P$ 的位矢在 $x y$ 平面的分量为 $r$ 。其可以进而分解成 $x$ 分量和 $y$ 分量 $x = r \cos θ$ ， $y = r \sin θ$ ，而点 $P$ 垂直分量即为 $z$ ，这就得到了式 1 。有了式 1 中的三条关系，就可以很容易解出式 2 中的三条关系。

　　现在推导变换关系式 3 。由于 $\hat{r}, \hat{θ}, \hat{z}$ 都是关于 $(r, θ, z)$ 的函数，所以在考察一点 $(r, θ, z)$ 时， $\hat{r}$ 的柱坐标是 $(1, θ, 0)$ ，根据式 1 变换到直角坐标为

\begin{matrix} (10) & (\cos θ, \sin θ, 0) . \end{matrix}

写成矢量的形式，就是

\begin{matrix} (11) & \hat{r} = \cos θ \hat{x} + \sin θ \hat{y} . \end{matrix}

至于式 3 的第二条式子，在同一个柱坐标

(r, θ, z)

处，

\hat{θ}

的柱坐标为

(1, θ + π / 2, 0)

，根据式 1 变换到直角坐标再化简就得到直角坐标和对应的矢量形式为

\begin{matrix} (12) & (- \sin θ, \cos θ, 0), \end{matrix}

\begin{matrix} (13) & \hat{θ} = - \sin θ \hat{x} + \cos θ \hat{y} . \end{matrix}

对于

\hat{z}

，容易看出

\begin{matrix} (14) & \hat{z} = \hat{z} . \end{matrix}

将基底变换式 3 和式 4 分别代入式 7 和式 6 得坐标变换式 9 和式 8 ，详见 “三维旋转矩阵”。

3. 两方向的夹角

预备知识 2　内积

　　若已知柱坐标系中两个方向分别为 $(\sqrt{1 - z_{1}^{2}}, θ_{1}, z_{1})$ 和 $(\sqrt{1 - z_{2}^{2}}, θ_{2}, z_{2})$ ，如何求它们之间的夹角 $α$ 呢？我们可以先计算两个单位矢量的直角坐标，然后对它们进行内积即可得到两矢量夹角的余弦值。由式 1 ，两矢量的直角坐标分别为

\begin{matrix} (15) & (\sqrt{1 - z_{1}^{2}} \cos θ_{1}, \sqrt{1 - z_{1}^{2}} \sin θ_{1}, z_{1}), (\sqrt{1 - z_{2}^{2}} \cos θ_{2}, \sqrt{1 - z_{2}^{2}} \sin θ_{2}, z_{2}) . \end{matrix}

利用三角恒等式（式 5 ），得

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} \cos α & = \sqrt{1 - z_{1}^{2}} \sqrt{1 - z_{2}^{2}} \cos θ_{1} \cos θ_{2} + \sqrt{1 - z_{1}^{2}} \sqrt{1 - z_{2}^{2}} \sin θ_{1} \sin θ_{2} + z_{1} z_{2} \\ = \sqrt{(1 - z_{1}^{2}) (1 - z_{2}^{2})} \cos θ_{1} \cos θ_{2} + \sqrt{(1 - z_{1}^{2}) (1 - z_{2}^{2})} \sin θ_{1} \sin θ_{2} + z_{1} z_{2} . \end{aligned} \end{matrix}

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