记号方法

             

预备知识 方程 $y^{(N)}=f(x)$

   记号方法用于求解常系数线性方程(组),适当推广该方法,也可以用于比较复杂的问题.该方法要点在于把对自变量 $x$ 求微商的运算记号记作因子 $D$,写在需要求微商的函数的左边,于是若 $y$ 是 $x$ 的某一个函数,则

\begin{equation} Dy= \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \end{equation}

1. 运算法则

定义 1 记号因子的方幂

   $D^ny=D(D^{n-1}y)\quad(n\in\mathbb{Z^{+}})$

定义 2 记号因子的负幂

   若 $D^sy=f(x)$ 且方程满足零初条件

\begin{equation} y|_{x=x_0}=y'|_{x=x_0}=\cdots=y^{s-1}|_{x=x_0}=0\quad{s\in\mathbb{Z^{+}}} \end{equation}
则记
\begin{equation} D^{-s}f(x)=y \end{equation}

   记号因子的负幂之所以这样定义,是为了使得记号 $D^{-s}f(x)$ 有确定的意义.

   根据式 4

\begin{equation} D^{-s}f(x)=\frac{1}{(s-1)!}\int_{x_0}^x(x-t)^{s-1}f(t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
则方程 $D^sy=f(x)$ 一般解为式 2
\begin{equation} y=D^{-s}f(x)+P_{s-1}(x)=\frac{1}{(s-1)!}\int_{x_0}^x(x-t)^{s-1}f(t) \,\mathrm{d}{t} +P_{s-1}(x) \end{equation}
其中 $P_{s-1}(x)$ 是 $x$ 的具有任意系数的 $s-1$ 次多项式.

定义 3 记号因子的加减法

\begin{equation} (D^{n_1}+D^{n_2})y=D^{n_1}y+D^{n_2}y\quad(n_1,n_2\in \mathbb{Z^{+ }}) \end{equation}

定义 4 记号因子的数乘

\begin{equation} (aD)y=a\cdot(Dy)\quad(a\in\mathbb{C}) \end{equation}

   显然,形如 $aD^n(n\in \mathbb{Z},a\in\mathbb{C})$ 的所有记号因子构成的集合 $\{aD^n|n\in \mathbb{Z},a\in\mathbb{C}\}$ 为域 $\mathbb C$ 上的线性空间,而 集合中的元素 $aD^n$ 自然叫作该空间中的向量.

   利用上面的定义,容易证明以下几条性质

  1. \begin{equation} D^sy= \frac{\mathrm{d}^{s}{y}}{\mathrm{d}{x}^{s}} \end{equation}
  2. \begin{equation} D^{n_1}(D^{n_2}y)=D^{n_1+n_2}y \end{equation}
  3. 记号因子与任意常数因子可交换,即若 $a$ 为常数,则
    \begin{equation} aD^sy=D^s(ay) \end{equation}
  4. 若 $F(D)$ 是 $D$ 的具有常系数的多项式
    \begin{equation} F(D)=\sum_{i=0}^{n}a_iD^{n-i} \end{equation}
    \begin{equation} F(D)y=\sum_{i=0}^{n}a_iD^{n-i}y,\quad F(D)ay=aF(D)y \end{equation}
  5. 若 $\varphi_1(D),\varphi_2(D)$ 是两个多项式,$\varphi(D)$ 是它们乘积,则
    \begin{equation} \varphi_1(D) \left[\varphi_2(D)y \right] =\varphi(D)y,\quad \left[\varphi_1(D)+\varphi_2(D) \right] y=\varphi_1(D)y+\varphi_2(D)y \end{equation}
    并且因子 $\varphi_1(D),\varphi_2(D)$ 可交换.
  6. \begin{equation} F(D)(e^{mx}y)=e^{mx}F(D+m)y \end{equation}

   前 5 条性质是显然的,我们仅来证明最后一条性质.

   证明:表达式 $F(D)(e^{mx}y)$ 由形为 $a_{i}D^{n-i}(e^{mx}y)$ 的项组成,于是只需证明对于每一个这样的项式 14 成立,即只需证明

\begin{equation} D^{n-i}(e^{mx}y)=e^{mx}(D+m)^{n-i}y \end{equation}
应用求乘积微商的莱布尼茨公式式 2
\begin{equation} \begin{aligned} D^{(n-i)}(e^{mx}y)&=\sum_{s=0}^{n-i}C_{n-i}^s \left(e^{mx} \right) ^{(s)}y^{(n-i-s)}=e^{mx}\sum_{s=0}^{n-i}C_{n-i}^sm^sy^{(n-i-s)}\\ &=e^{mx}\sum_{s=0}^{n-i}C_{n-i}^sm^sD^{n-i-s}y \end{aligned} \end{equation}
应用二项式定理式 1 ,有
\begin{equation} \sum_{s=0}^{n-i}C_{n-i}^sm^sD^{n-i-s}=(D+m)^{n-i} \end{equation}
式 17 代入式 16 即得式 15 . 于是便证明了式 14

例 1 

   求解方程

\begin{equation} (D-\alpha)^sy=f(x) \quad (s\in \mathbb{Z}^{+}) \end{equation}
的一般解. 为求这个解,引用新的未知数 $z$ 以代替 $y$
\begin{equation} y=e^{\alpha t}z \end{equation}
式 19 代入到式 18 并由性质 6式 14
\begin{equation} D^sz=e^{-\alpha t}f(x) \end{equation}
则由定义 2 ,$D^{-s}e^{-\alpha t}f(x)$ 确定这个方程式 20 的满足条件
\begin{equation} z|_{x=x_0}=z'|_{x=x_0}=\cdots=z^{(s-1)}|_{x=x_0}=0 \end{equation}
的解,其可以由式 4 确定,只需将 $f(x)$ 用 $e^{-\alpha x}f(x)$ 替代
\begin{equation} z=\frac{1}{(s-1)!}\int_{x_0}^x(x-t)^{s-1}e^{-\alpha t}f(t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
将方程式 20 的一般解乘以 $e^{-\alpha t}$ , 就得到方程式 18 一般解.由式 2 ,这个方程的一般解是
\begin{equation} \begin{aligned} y&=(D-\alpha)^{-s}f(x)+e^{\alpha x}P_{s-1}(x)\\ &=\frac{e^{\alpha x}}{(s-1)!}\int_{x_0}^x(x-t)^{s-1}e^{-\alpha t}f(t) \,\mathrm{d}{t} +e^{\alpha t}P_{s-1}(x) \end{aligned} \end{equation}
其中,$P_{s-1}(x)$ 是 $x$ 的具有任意系数的 $s-1$ 次多项式.

   特别的,$f(x)=0$ 时,得到方程

\begin{equation} (D-\alpha)^sy=0 \end{equation}
的一般解的形状
\begin{equation} y=e^{\alpha t}P_{s-1}(x) \end{equation}

   利用该方法的例子,可参见欧拉方程的求解.

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