记号方法

贡献者：零穹

预备知识　方程

y^{(N)} = f (x)

　　记号方法(常系数的常微分方程的算子法)用于求解常系数线性方程（组），适当推广该方法，也可以用于比较复杂的问题。该方法要点在于把对自变量 $x$ 求微商的运算记号记作因子 $D$ ，写在需要求微商的函数的左边，于是若 $y$ 是 $x$ 的某一个函数，则

\begin{matrix} (1) & D y = \frac{d y}{d x} . \end{matrix}

1. 运算法则

定义 1　记号因子的方幂

　　 $D^{n} y = D (D^{n - 1} y) (n \in Z^{+}) .$

定义 2　记号因子的负幂

　　若 $D^{s} y = f (x)$ 且方程满足零初条件

\begin{matrix} (2) & y |_{x = x_{0}} = y^{'} |_{x = x_{0}} = \dots = y^{s - 1} |_{x = x_{0}} = 0 (s \in Z^{+}), \end{matrix}

则记

\begin{matrix} (3) & D^{- s} f (x) = y . \end{matrix}

　　记号因子的负幂之所以这样定义，是为了使得记号 $D^{- s} f (x)$ 有确定的意义。

　　根据式 4

\begin{matrix} (4) & D^{- s} f (x) = \frac{1}{(s - 1)!} \int_{x_{0}}^{x} (x - t)^{s - 1} f (t) d t, \end{matrix}

则方程

D^{s} y = f (x)

一般解为式 2

\begin{matrix} (5) & y = D^{- s} f (x) + P_{s - 1} (x) = \frac{1}{(s - 1)!} \int_{x_{0}}^{x} (x - t)^{s - 1} f (t) d t + P_{s - 1} (x), \end{matrix}

其中

P_{s - 1} (x)

是

x

的具有任意系数的

s - 1

次多项式。

定义 3　记号因子的加减法

\begin{matrix} (6) & (D^{n_{1}} + D^{n_{2}}) y = D^{n_{1}} y + D^{n_{2}} y (n_{1}, n_{2} \in Z^{+}) . \end{matrix}

定义 4　记号因子的数乘

\begin{matrix} (7) & (a D) y = a \cdot (D y) (a \in C) . \end{matrix}

　　显然，形如 $\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} D^{i} (a_{i} \in C)$ 的所有记号因子构成的集合 ${\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} D^{i} | a_{i} \in C}$ 为域 $C$ 上的线性空间，而集合中的元素 $\sum_{i = 0}^{\infty} a D^{n}$ 自然叫作该空间中的向量。

　　利用上面的定义，容易证明以下几条性质

$\begin{matrix} (8) & D^{s} y = \frac{d^{s} y}{d x^{s}} . \end{matrix}$
$\begin{matrix} (9) & D^{n_{1}} (D^{n_{2}} y) = D^{n_{1} + n_{2}} y . \end{matrix}$
记号因子与任意常数因子可交换，即若 $a$ 为常数，则
$\begin{matrix} (10) & a D^{s} y = D^{s} (a y) . \end{matrix}$
若 $F (D)$ 是 $D$ 的具有常系数的多项式
$\begin{matrix} (11) & F (D) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} D^{n - i} . \end{matrix}$
则
$\begin{matrix} (12) & F (D) y = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} D^{n - i} y, F (D) a y = a F (D) y . \end{matrix}$
若 $φ_{1} (D), φ_{2} (D)$ 是两个多项式， $φ (D)$ 是它们乘积，则
$\begin{matrix} (13) & φ_{1} (D) [φ_{2} (D) y] = φ (D) y, [φ_{1} (D) + φ_{2} (D)] y = φ_{1} (D) y + φ_{2} (D) y . \end{matrix}$
并且因子 $φ_{1} (D), φ_{2} (D)$ 可交换。
$\begin{matrix} (14) & F (D) (e^{m x} y) = e^{m x} F (D + m) y . \end{matrix}$

　　前 5 条性质是显然的，我们仅来证明最后一条性质。

　　 证明：表达式 $F (D) (e^{m x} y)$ 由形为 $a_{i} D^{n - i} (e^{m x} y)$ 的项组成，于是只需证明对于每一个这样的项式 14 成立，即只需证明

\begin{matrix} (15) & D^{n - i} (e^{m x} y) = e^{m x} (D + m)^{n - i} y . \end{matrix}

应用求乘积微商的莱布尼茨公式式 2

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} D^{(n - i)} (e^{m x} y) & = \sum_{s = 0}^{n - i} C_{n - i}^{s} {(e^{m x})}^{(s)} y^{(n - i - s)} = e^{m x} \sum_{s = 0}^{n - i} C_{n - i}^{s} m^{s} y^{(n - i - s)} \\ = e^{m x} \sum_{s = 0}^{n - i} C_{n - i}^{s} m^{s} D^{n - i - s} y . \end{aligned} \end{matrix}

应用二项式定理式 1 ，有

\begin{matrix} (17) & \sum_{s = 0}^{n - i} C_{n - i}^{s} m^{s} D^{n - i - s} = (D + m)^{n - i} . \end{matrix}

式 17 代入式 16 即得式 15 . 于是便证明了式 14

例 1　

　　求解方程

\begin{matrix} (18) & (D - α)^{s} y = f (x) (s \in Z^{+}) \end{matrix}

的一般解。为求这个解，引用新的未知数

z

以代替

y

\begin{matrix} (19) & y = e^{α t} z . \end{matrix}

式 19 代入到式 18 并由性质 6式 14 得

\begin{matrix} (20) & D^{s} z = e^{- α t} f (x) . \end{matrix}

则由定义 2 ，

D^{- s} e^{- α t} f (x)

确定这个方程式 20 的满足条件

\begin{matrix} (21) & z |_{x = x_{0}} = z^{'} |_{x = x_{0}} = \dots = z^{(s - 1)} |_{x = x_{0}} = 0 \end{matrix}

的解，其可以由式 4 确定，只需将

f (x)

用

e^{- α x} f (x)

替代

\begin{matrix} (22) & z = \frac{1}{(s - 1)!} \int_{x_{0}}^{x} (x - t)^{s - 1} e^{- α t} f (t) d t . \end{matrix}

将方程式 20 的一般解乘以

e^{- α t}

, 就得到方程式 18 一般解。由式 2 ，这个方程的一般解是

\begin{matrix} (23) & \begin{aligned} y & = (D - α)^{- s} f (x) + e^{α x} P_{s - 1} (x) \\ = \frac{e^{α x}}{(s - 1)!} \int_{x_{0}}^{x} (x - t)^{s - 1} e^{- α t} f (t) d t + e^{α t} P_{s - 1} (x) . \end{aligned} \end{matrix}

其中，

P_{s - 1} (x)

是

x

的具有任意系数的

s - 1

次多项式。

　　特别的， $f (x) = 0$ 时，得到方程

\begin{matrix} (24) & (D - α)^{s} y = 0 \end{matrix}

的一般解的形状

\begin{matrix} (25) & y = e^{α t} P_{s - 1} (x) . \end{matrix}

　　利用该方法的例子，可参见欧拉方程的求解。

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记号方法

1. 运算法则

定义 1 记号因子的方幂

定义 2 记号因子的负幂

定义 3 记号因子的加减法

定义 4 记号因子的数乘

例 1

定义 1　记号因子的方幂

定义 2　记号因子的负幂

定义 3　记号因子的加减法

定义 4　记号因子的数乘

例 1　