贡献者： 零穹
记号方法(常系数的常微分方程的算子法)用于求解常系数线性方程（组），适当推广该方法，也可以用于比较复杂的问题。该方法要点在于把对自变量 $x$ 求微商的运算记号记作因子 $D$，写在需要求微商的函数的左边，于是若 $y$ 是 $x$ 的某一个函数，则
\begin{equation}
Dy= \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} ~.
\end{equation}
1. 运算法则
定义 1 记号因子的方幂
$D^ny=D(D^{n-1}y)\quad(n\in\mathbb{Z^{+}})~.$
定义 2 记号因子的负幂
若 $D^sy=f(x)$ 且方程满足零初条件
\begin{equation}
y|_{x=x_0}=y'|_{x=x_0}=\cdots=y^{s-1}|_{x=x_0}=0\quad({s\in\mathbb{Z^{+}}})~,
\end{equation}
则记
\begin{equation}
D^{-s}f(x)=y~.
\end{equation}
记号因子的负幂之所以这样定义，是为了使得记号 $D^{-s}f(x)$ 有确定的意义。
根据式 4
\begin{equation}
D^{-s}f(x)=\frac{1}{(s-1)!}\int_{x_0}^x(x-t)^{s-1}f(t) \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
则方程 $D^sy=f(x)$ 一般解为
式 2
\begin{equation}
y=D^{-s}f(x)+P_{s-1}(x)=\frac{1}{(s-1)!}\int_{x_0}^x(x-t)^{s-1}f(t) \,\mathrm{d}{t} +P_{s-1}(x)~,
\end{equation}
其中 $P_{s-1}(x)$ 是 $x$ 的具有任意系数的 $s-1$ 次多项式。
定义 3 记号因子的加减法
\begin{equation}
(D^{n_1}+D^{n_2})y=D^{n_1}y+D^{n_2}y\quad(n_1,n_2\in \mathbb{Z^{+
}})~.
\end{equation}
定义 4 记号因子的数乘
\begin{equation}
(aD)y=a\cdot(Dy)\quad(a\in\mathbb{C})~.
\end{equation}
显然，形如 $\sum\limits_{i=0}^\infty a_iD^i(a_i\in\mathbb{C})$ 的所有记号因子构成的集合 $ \left\{\sum\limits_{i=0}^\infty a_iD^i|a_i\in\mathbb{C} \right\} $ 为域 $\mathbb C$ 上的线性空间，而集合中的元素 $\sum\limits_{i=0}^\infty aD^n$ 自然叫作该空间中的向量。
利用上面的定义，容易证明以下几条性质
-
\begin{equation}
D^sy= \frac{\mathrm{d}^{s}{y}}{\mathrm{d}{x}^{s}} ~.
\end{equation}
-
\begin{equation}
D^{n_1}(D^{n_2}y)=D^{n_1+n_2}y~.
\end{equation}
- 记号因子与任意常数因子可交换，即若 $a$ 为常数，则
\begin{equation}
aD^sy=D^s(ay)~.
\end{equation}
- 若 $F(D)$ 是 $D$ 的具有常系数的多项式
\begin{equation}
F(D)=\sum_{i=0}^{n}a_iD^{n-i}~.
\end{equation}
\begin{equation}
F(D)y=\sum_{i=0}^{n}a_iD^{n-i}y~,\quad F(D)ay=aF(D)y~.
\end{equation}
- 若 $\varphi_1(D),\varphi_2(D)$ 是两个多项式，$\varphi(D)$ 是它们乘积，则
\begin{equation}
\varphi_1(D) \left[\varphi_2(D)y \right] =\varphi(D)y,\quad \left[\varphi_1(D)+\varphi_2(D) \right] y=\varphi_1(D)y+\varphi_2(D)y~.
\end{equation}
-
\begin{equation}
F(D)(e^{mx}y)=e^{mx}F(D+m)y~.
\end{equation}
前 5 条性质是显然的，我们仅来证明最后一条性质。
证明：表达式 $F(D)(e^{mx}y)$ 由形为 $a_{i}D^{n-i}(e^{mx}y)$ 的项组成，于是只需证明对于每一个这样的项式 14 成立，即只需证明
\begin{equation}
D^{n-i}(e^{mx}y)=e^{mx}(D+m)^{n-i}y~.
\end{equation}
应用求乘积微商的莱布尼茨公式
式 2
\begin{equation}
\begin{aligned}
D^{(n-i)}(e^{mx}y)&=\sum_{s=0}^{n-i}C_{n-i}^s \left(e^{mx} \right) ^{(s)}y^{(n-i-s)}=e^{mx}\sum_{s=0}^{n-i}C_{n-i}^sm^sy^{(n-i-s)}\\
&=e^{mx}\sum_{s=0}^{n-i}C_{n-i}^sm^sD^{n-i-s}y~.
\end{aligned}
\end{equation}
应用二项式定理
式 1 ，有
\begin{equation}
\sum_{s=0}^{n-i}C_{n-i}^sm^sD^{n-i-s}=(D+m)^{n-i}~.
\end{equation}
代入
式 16 即得
式 15 . 于是便证明了
式 14
例 1
求解方程
\begin{equation}
(D-\alpha)^sy=f(x) \quad (s\in \mathbb{Z}^{+})~
\end{equation}
的一般解。
为求这个解，引用新的未知数 $z$ 以代替 $y$
\begin{equation}
y=e^{\alpha t}z~.
\end{equation}
代入到
式 18 并由性质 6
式 14 得
\begin{equation}
D^sz=e^{-\alpha t}f(x)~.
\end{equation}
则由
定义 2 ，$D^{-s}e^{-\alpha t}f(x)$ 确定这个方程
式 20 的满足条件
\begin{equation}
z|_{x=x_0}=z'|_{x=x_0}=\cdots=z^{(s-1)}|_{x=x_0}=0~
\end{equation}
的解，其可以由
式 4 确定，只需将 $f(x)$ 用 $e^{-\alpha x}f(x)$ 替代
\begin{equation}
z=\frac{1}{(s-1)!}\int_{x_0}^x(x-t)^{s-1}e^{-\alpha t}f(t) \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
将方程
式 20 的一般解乘以 $e^{-\alpha t}$ , 就得到方程
式 18 一般解。由
式 2 ，这个方程的一般解是
\begin{equation}
\begin{aligned}
y&=(D-\alpha)^{-s}f(x)+e^{\alpha x}P_{s-1}(x)\\
&=\frac{e^{\alpha x}}{(s-1)!}\int_{x_0}^x(x-t)^{s-1}e^{-\alpha t}f(t) \,\mathrm{d}{t} +e^{\alpha t}P_{s-1}(x)~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中，$P_{s-1}(x)$ 是 $x$ 的具有任意系数的 $s-1$ 次多项式。
特别的，$f(x)=0$ 时，得到方程
\begin{equation}
(D-\alpha)^sy=0~
\end{equation}
的一般解的形状
\begin{equation}
y=e^{\alpha t}P_{s-1}(x)~.
\end{equation}
利用该方法的例子，可参见欧拉方程的求解。
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