莱布尼兹公式

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预备知识　高阶导数

　　设函数 $u = u (x), v = v (x)$ 均有 $n$ 阶导数，形如 $y = u v$ 的函数的 $n$ 阶导数，可由莱布尼兹（Leibniz）公式求出。

　　不加推导的给出莱布尼兹公式，可用数学归纳法证明。

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} (u v)^{(n)} = & u^{(n)} v + n u^{(n - 1)} v^{'} + \frac{n (n - 1)}{2!} u^{(n - 2)} v^{″} \\ + \dots + \frac{n (n - 1) \dots (n - k + 1)}{k!} u^{(n - k)} v^{(k)} + \dots + u v^{(n)} . \end{aligned} \end{matrix}

　　规定一个函数的零阶导数等于函数本身，即 $u^{(0)} = u$ ，于是莱布尼兹公式可以写成如下的形式

\begin{matrix} (2) & (u v)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} u^{(n - k)} v^{(k)} . \end{matrix}

例 1　求函数 $y = x e^{- x}$ 的 $n$ 阶导数

　　可以通过莱布尼兹方程对该函数直接求 $n$ 阶导数。

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} (x e^{- x})^{(n)} & = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} (e^{- x})^{(n - k)} \\ = x (e^{- x})^{(n)} + n (e^{(- x)})^{(n - 1)} \\ = x (- 1)^{n} e^{- x} + n (- 1)^{n - 1} e^{- x} \\ = (- 1)^{n - 1} (n - x) e^{- x} . \end{aligned} \end{matrix}

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莱布尼兹公式

例 1 求函数 y=xe−x 的 n 阶导数

例 1　求函数 $y = x e^{- x}$ 的 $n$ 阶导数