莱布尼兹公式
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设函数 $u=u(x), v=v(x)$ 均有 $n$ 阶导数，形如 $y=uv$ 的函数的 $n$ 阶导数，可由莱布尼兹（Leibniz）公式求出。
不加推导的给出莱布尼兹公式，可用数学归纳法证明。
\begin{equation}
\begin{aligned}
(uv)^{(n)}=&u^{(n)}v+nu^{(n-1)}v'+\frac{n(n-1)}{2!}u^{(n-2)}v'' \\
&+ \cdots +\frac{n(n-1) \cdots (n-k+1)}{k!}u^{(n-k)}v^{(k)}+\cdots+uv^{(n)}~.
\end{aligned}
\end{equation}
规定一个函数的零阶导数等于函数本身，即 $u^{(0)}=u$，于是莱布尼兹公式可以写成如下的形式
\begin{equation}
(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}~.
\end{equation}
例 1 求函数 $y=xe^{-x}$ 的 $n$ 阶导数
可以通过莱布尼兹方程对该函数直接求 $n$ 阶导数。
\begin{equation}
\begin{aligned}
(x \mathrm{e} ^{-x})^{(n)}&=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}( \mathrm{e} ^{-x})^{(n-k)}\\
&=x( \mathrm{e} ^{-x})^{(n)}+n( \mathrm{e} ^{(-x)})^{(n-1)}\\
&=x(-1)^n \mathrm{e} ^{-x}+n(-1)^{n-1} \mathrm{e} ^{-x}\\
&=(-1)^{n-1}(n-x) \mathrm{e} ^{-x}~.
\end{aligned}
\end{equation}
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