方程 $y^{(N)}=f(x)$

             

预备知识 高阶导数,常微分方程

   在常微分方程中,我们曾提到形如 $y^{(N)}=f(x)$ 的 $N$ 阶微分方程可通过 $N$ 次积分求得通解.为了之后引入记号方法方便,本节将具体讨论该方程.

   方程

\begin{equation} y^{(N)}=f(x) \end{equation}
的通解具有形式
\begin{equation} y=y_1+\sum_{i=0}^{N-1}C_ix^i \end{equation}
其中,$y_1$ 是式 1 的任意一个特殊解.

   特殊地,若式 1 满足下列零初始条件

\begin{equation} y|_{x=x_0}=0,\quad y'|_{x=x_0}=0\quad\cdots \quad y^{(N-1)}|_{x=x_0}=0 \end{equation}
式 1 满足初始条件式 3 的解 $y_1(x)$ 为
\begin{equation} y_1(x)=\frac{1}{(N-1)!}\int_{x_0}^x(x-t)^{N-1}f(t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
方程式 1 的通解则为
\begin{equation} y(x)=\frac{1}{(N-1)!}\int_{x_0}^x(x-t)^{N-1}f(t) \,\mathrm{d}{t} +\sum_{i=0}^{N-1}C_ix^i \end{equation}

1. 证明

   先来求方程式 1 的一般积分公式.设 $y_1(x)$ 是方程式 1 的任何一个解,就是

\begin{equation} y_1^{(N)}=f(x) \end{equation}
引入未知函数 $z$
\begin{equation} y=y_1(x)+z \end{equation}
代入式 1 ,得到一个关于 $z$ 的方程
\begin{equation} y_1^{(N)}+z^{(N)}=f(x) \end{equation}
根据恒等式式 6
\begin{equation} z^{(N)}=0 \end{equation}
这意味着函数 $z$ 是具有任何常系数的 $N-1$ 次多项式
\begin{equation} z=\sum_{i=0}^{N-1}C_ix^i \end{equation}
于是式 7 给出方程式 1 的一般积分
\begin{equation} y=y_1+\sum_{i=0}^{N-1}C_ix^i \end{equation}
即方程式 1 的一般积分是这方程的任何一个特殊解与具有任意常系数的 $N-1$ 次多项式之和.

   这样,剩下的任务就是证明方程式 1 满足初始条件式 3 的解为式 4 .为此,将 $y(x)$ 写成余项具有积分形式的泰勒公式式 17

\begin{equation} y(x)=\sum_{i=0}^{N-1}\frac{y^{(i)}(x_0)}{i!} \left(x-x_0 \right) ^{i}+\frac{1}{(N-1)!}\int_{x_0}^{x}(x-t)^{N-1}y^{(N)}(t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
代入初始条件式 3 式 1 到上式,即得式 4 .

   正如所说的,方程式 1 的解可通过 $N$ 次积分求得,那么满足初值条件式 3 的解为

\begin{equation} y=\int_{x_0}^x \,\mathrm{d}{x} \int_{x_0}^x \,\mathrm{d}{x} \cdots\int_{x_0}^{x} \,\mathrm{d}{x} \int_{x_0}^{x}f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   这样,式 4 给出了 $N$ 次积分式 13 的一次积分形式的表达式.

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