微分方程 $y^{(N)}=f(x)$

                     

贡献者： 零穹; addis

　　 在常微分方程中，我们曾提到形如 $y^{(N)}=f(x)$ 的 $N$ 阶微分方程可通过 $N$ 次积分求得通解。为了之后引入记号方法方便，本节将具体讨论该方程。

　　 方程

的通解具有形式 其中，$y_1$ 是式 1 的任意一个特殊解。

　　 特殊地，若式 1 满足下列零初始条件

则式 1 满足初始条件式 3 的解 $y_1(x)$ 为 方程式 1 的通解则为

1. 证明

　　 先来求方程式 1 的一般积分公式。设 $y_1(x)$ 是方程式 1 的任何一个解，就是

引入未知函数 $z$ 代入式 1 ，得到一个关于 $z$ 的方程 根据恒等式式 6 这意味着函数 $z$ 是具有任何常系数的 $N$ 次多项式 于是式 7 给出方程式 1 的一般积分 即方程式 1 的一般积分是这方程的任何一个特殊解与具有任意常系数的 $N-1$ 次多项式之和。

　　 这样，剩下的任务就是证明方程式 1 满足初始条件式 3 的解为式 4 。为此，将 $y(x)$ 写成余项具有积分形式的泰勒公式（式 18 ）

代入初始条件式 3 和式 1 到上式，即得式 4 .

　　 正如所说的，方程式 1 的解可通过 $N$ 次积分求得，那么满足初值条件式 3 的解为

这样，式 4 给出了 $N$ 次积分式 13 的一次积分形式的表达式。