贡献者： 零穹
如子节 3 所说，存在及唯一定理是对标准常微分方程组所证明的，而一般常微分方程组都可化为这一方程组，本节就来给出这一转化程序。
1. 一个常微分方程化为标准微分方程组
在仅含一个常微分方程的情形，即将一般常微分方程
\begin{equation}
F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0~.
\end{equation}
化为具有标准常微分方程组
定义 1 的形式：
\begin{equation}
y_i'=f_i(x,y_i,\cdots,y_m),\quad i=1,\cdots,m~
\end{equation}
我们总可以从方程式 1 的已解出最高阶导数的方程开始，即
\begin{equation}
y^{(n)}=f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})~.
\end{equation}
这是因为，从
式 1 到
式 3 的过程不属于微分方程领域，而属于函数论领域。这一过程中，某些问题被归结为微分方程领域，比如
式 1 中关于 $y^{(n)}$ 是二次的，因此 $y^{(n)}$ 是其余变量的二值函数（假设这二值不同），实际上得到的是两个形如
式 3 的微分方程组 $y_1^{(n)},y_2^{(n)}$。但是，
式 1 将 $y_1,y_2$ 并成一个 $y$ 了，不能分解成两个形如
式 3 的方程组，这就需要讨论
式 1 。关于这种方程的研究，引向微分方程的
奇解概念，而我们并不讨论这一问题。故这里只需记住，从
式 1 总能获得
式 3 。
定理 1
方程
\begin{equation}
y^{(n)}=f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})~.
\end{equation}
与标准方程组
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&z_1'=z_2\\
&z_2'=z_3\\
&\cdots\\
&z_{n-1}'=z_n\\
&z_n'=f(x,z_1,\cdots,z_n)
\end{aligned}\right. ~
\end{equation}
等价。
其中，
\begin{equation}
z_1=y~,\;z_2=y'~,\;\cdots~,\;z_n=y^{(n-1)}~.
\end{equation}
证明：
1。式 4 $\Rightarrow$ 式 5
设 $y$ 满足式 4 ，对式 6 求导，得到
\begin{equation}
z_i'=y^{(i)}~,\quad i=1~,\cdots,n~
\end{equation}
将
式 6 和
式 4 代入
式 7 右端，即得
式 5 。
2。式 5 $\Rightarrow$ 式 4
设 $z_1,\cdots,z_n$ 满足式 5 ，取 $z_1=y$，得
\begin{equation}
z_2=y'~.
\end{equation}
如此迭代入
式 5 ，就有
\begin{equation}
z_i=y^{(i-1)}~,\quad i=1,\cdots,n~
\end{equation}
代入
式 5 最后一式，即得
式 4 。
证毕！
2. 一般常微分方程组化为标准微分方程组
基于同样的理由，对于一般的常微分方程，我们总能从解出最高阶导数的方程组出发，即
\begin{equation}
\begin{aligned}
&y_i^{(n_i)}=f_i \left(x,y_1,y_1',\cdots,y_1^{(n_1-1)},\cdots,y_m,y_m',\cdots,y_m^{(n_m-1)} \right) ~\\
& i=1,\cdots m~
\end{aligned}~,
\end{equation}
对一般的情形，有下面的定理成立
定理 2
方程组
\begin{equation}
\begin{aligned}
&y_i^{(n_i)}=f_i \left(x,y_1,y_1',\cdots,y_1^{(n_1-1)},\cdots,y_m,y_m',\cdots,y_m^{(n_m-1)} \right) ~,\\
& i=1,\cdots m
\end{aligned}~
\end{equation}
等价于标准方程组
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&z_1'=z_2\\
&z_2'=z_3\\
&\cdots\\
&z_{n_1-1}'=z_{n_1}\\
&z_{n_1}'=f_1(x,z_1,\cdots,z_{\sum_{i=1}^{m}n_i})\\
&\cdots\\
&z_{\sum_{i=1}^{m-1}n_i+1}'=z_{\sum_{i=1}^{m-1}n_i+2}\\
&z_{\sum_{i=1}^{m-1}n_i+2}'=z_{\sum_{i=1}^{m-1}n_i+3}\\
&\cdots\\
&z_{\sum_{i=1}^{m}n_i-1}'=z_{\sum_{i=1}^{m}n_i}\\
&z_{\sum_{i=1}^{m}n_i}'=f_m(x,z_1,\cdots,z_{\sum_{i=1}^{m}n_i})
\end{aligned}\right. ~
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&z_1=y_1,\cdots,z_{n_1}=y_1^{(n_1-1)}\\
&z_{n_1+1}=y_2,\cdots,z_{n_1+n_2}=y_2^{(n_2-1)}\\
&\cdots\\
&z_{\sum_{i}^{m-1}n_i+1}=y_m,\cdots,z_{\sum_{i}^{m}n_i}=y_m^{(n_m-1)}
\end{aligned}\right. ~
\end{equation}
证明和定理 1 完全类似。
由常微分方程组阶的定义子节 1 ，可知方程组式 11 是 $m$ 个关于 $y_i$ 为 $n_i$ 阶的 $\sum\limits_{i=1}^{m}n_i$ 阶微分方程组，而式 13 是 $\sum\limits_{i=1}^{m}n_i$ 个关于 $z_i$ 为 1 阶的 $\sum\limits_{i=1}^m n_i$ 阶的微分方程组。而这两方程组等价。
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