化一般常微分方程组为标准方程组(常微分方程)

                     

贡献者: 零穹

预备知识 基本知识(常微分方程)

   如子节 3 所说,存在及唯一定理是对标准常微分方程组所证明的,而一般常微分方程组都可化为这一方程组,本节就来给出这一转化程序.

1. 一个常微分方程化为标准微分方程组

   在仅含一个常微分方程的情形,即将一般常微分方程

\begin{equation} F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0 \end{equation}
化为具有标准常微分方程组定义 1 的形式:
\begin{equation} y_i'=f_i(x,y_i,\cdots,y_m),\quad i=1,\cdots,m \end{equation}

   我们总可以从方程式 1 的已解出最高阶导数的方程开始,即

\begin{equation} y^{(n)}=f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)}) \end{equation}
这是因为,从式 1 式 3 的过程不属于微分方程领域,而属于函数论领域.这一过程中,某些问题被归结为微分方程领域,比如式 1 中关于 $y^{(n)}$ 是二次的,因此 $y^{(n)}$ 是其余变量的二值函数(假设这二值不同),实际上得到的是两个形如式 3 的微分方程组 $y_1^{(n)},y_2^{(n)}$.但是,式 1 将 $y_1,y_2$ 并成一个 $y$ 了,不能分解成两个形如式 3 的方程组,这就需要讨论式 1 .关于这种方程的研究,引向微分方程的奇解概念,而我们并不讨论这一问题.故这里只需记住,从式 1 总能获得式 3

定理 1 

   方程

\begin{equation} y^{(n)}=f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)}) \end{equation}
与标准方程组
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &z_1'=z_2\\ &z_2'=z_3\\ &\cdots\\ &z_{n-1}'=z_n\\ &z_n'=f(x,z_1,\cdots,z_n) \end{aligned}\right. \end{equation}
等价.

   其中,

\begin{equation} z_1=y,\;z_2=y',\;\cdots,\;z_n=y^{(n-1)} \end{equation}

   证明: 1.式 4 $\Rightarrow$ 式 5

   设 $y$ 满足式 4 ,对式 6 求导,得到

\begin{equation} z_i'=y^{(i)},\quad i=1,\cdots,n \end{equation}
式 6 式 4 代入式 7 右端,即得式 5

   2.式 5 $\Rightarrow$ 式 4

   设 $z_1,\cdots,z_n$ 满足式 5 ,取 $z_1=y$,得

\begin{equation} z_2=y' \end{equation}
如此迭代入 式 5 ,就有
\begin{equation} z_i=y^{(i-1)},\quad i=1,\cdots,n \end{equation}
式 9 代入式 5 最后一式,即得式 4

   证毕!

2. 一般常微分方程组化为标准微分方程组

   基于同样的理由,对于一般的常微分方程,我们总能从解出最高阶导数的方程组出发,即

\begin{equation} \begin{aligned} &y_i^{(n_i)}=f_i \left(x,y_1,y_1',\cdots,y_1^{(n_1-1)},\cdots,y_m,y_m',\cdots,y_m^{(n_m-1)} \right) ,\\ & i=1,\cdots m \end{aligned} \end{equation}
对一般的情形,有下面的定理成立

定理 2 

   方程组

\begin{equation} \begin{aligned} &y_i^{(n_i)}=f_i \left(x,y_1,y_1',\cdots,y_1^{(n_1-1)},\cdots,y_m,y_m',\cdots,y_m^{(n_m-1)} \right) ,\\ & i=1,\cdots m \end{aligned} \end{equation}
等价于标准方程组
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &z_1'=z_2\\ &z_2'=z_3\\ &\cdots\\ &z_{n_1-1}'=z_{n_1}\\ &z_{n_1}'=f_1(x,z_1,\cdots,z_{\sum_{i=1}^{m}n_i})\\ &\cdots\\ &z_{\sum_{i=1}^{m-1}n_i+1}'=z_{\sum_{i=1}^{m-1}n_i+2}\\ &z_{\sum_{i=1}^{m-1}n_i+2}'=z_{\sum_{i=1}^{m-1}n_i+3}\\ &\cdots\\ &z_{\sum_{i=1}^{m}n_i-1}'=z_{\sum_{i=1}^{m}n_i}\\ &z_{\sum_{i=1}^{m}n_i}'=f_m(x,z_1,\cdots,z_{\sum_{i=1}^{m}n_i}) \end{aligned}\right. \end{equation}

   其中

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &z_1=y_1,\cdots,z_{n_1}=y_1^{(n_1-1)}\\ &z_{n_1+1}=y_2,\cdots,z_{n_1+n_2}=y_2^{(n_2-1)}\\ &\cdots\\ &z_{\sum_{i}^{m-1}n_i+1}=y_m,\cdots,z_{\sum_{i}^{m}n_i}=y_m^{(n_m-1)} \end{aligned}\right. \end{equation}

   证明和定理 1 完全类似.

   由常微分方程组阶的定义子节 1 ,可知方程组式 11 是 $m$ 个关于 $y_i$ 为 $n_i$ 阶的 $\sum\limits_{i=1}^{m}n_i$ 阶微分方程组,而式 13 是 $\sum\limits_{i=1}^{m}n_i$ 个关于 $z_i$ 为 1 阶的 $\sum\limits_{i=1}^m n_i$ 阶的微分方程组.而这两方程组等价.


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