约化光速

贡献者： JierPeter; addis

1. 约去量纲

　　 物理量运算的规则有一个约束，合法的带单位多项式中，相加减的必然是相同的物理量。在无单位的物理公式中我们知道，当单位统一时，可以将物理量的单位和数值分开计算。详见物理量和单位转换。

2. 约去光速

　　 如果取长度单位为 $\mathrm{m}$，时间单位为 $\tau =299792458\mathrm{s}$，那么光速就可以写为 $1\mathrm{m}/\tau$。用 $\tau$ 取代 $\mathrm{s}$ 作为时间单位，那么一切涉及光速的等式中，我们都可以把光速的数值写为 $1$，大大简化计算，而光速的量纲 $[\mathrm{m}/\mathrm{s}]=[\mathrm{m}/\tau ]$ 是独立于数值进行计算的。在这种写法中，$0.1$ 倍光速就可以写为 $0.1\mathrm{m}/\tau$。

　　 所以，在具体数值的计算中，使用上述单位制，则任何地方的光速的数值都可以视为 $1$。当然，任何物理量都可以通过选择适当的单位制，来让其数值上等于 $1$，但在狭义相对论中只有令光速的数值为 $1$ 是最方便的，因为任何惯性系中光速都不变。

　　 如果任何数值计算中都可以把光速设为 $1$，那么我们可以干脆把这个规律一般化，把光速本身就当成 $1$，没有量纲；或者说，这种情况下，我们把长度和时间看成同一个物理量，其换算关系是 $1\mathrm{m}=299792458\mathrm{s}$，正如长度的换算关系 $1\mathrm{km}=1000\mathrm{m}$ 一样。使用这种技巧，那么狭义相对论中的一切公式都会简洁得多。

　　 当然，实际应用中我们还是要把长度和时间分开来看的，这就要求我们在适当的地方要能够把光速的具体数值代回去，使得量纲和物理量相符，并且相加减的项具有相同的量纲，方式是进行量纲分析。我将用例子解释如下：

　　 更进一步，我们也可以认为所有物理量都不含量纲，详见 “无单位的物理公式” 以及 “自然单位制”。

3. 约去光速后洛伦兹变换的表达

　　 约去光速后，洛伦兹变换变得高度对称。

　　 同时洛伦兹矩阵也变为：

　　 回归国际单位制也很简单。考虑到 $x^{\prime }$ 是长度，结合 “相加减项必然有相同的量纲”，可以在适当位置添加光速以满足这两个条件，得到 $x^{\prime }=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$。同样，考虑到 $t^{\prime }$ 是时间，可以得到 $t^{\prime }=\frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$。

　　 由此可见，约去光速的表达可以很自然地转化为国际单位制的表达，但是前者更加简洁优美，计算也不那么繁琐了。事实上，理论物理学家几乎不会真的用上 $c=299792458\mathrm{m}/\mathrm{s}$，而是都默认 $c=1$。今后，我们将沿用 $c=1$ 的表达方法，约去 $c$；如果你不习惯的话，不妨在见到每一个表达式的时候，练习一下该如何适当添加 $c$ 以回归国际单位制。

　　 注意，在约去光速后，速度 $v$ 的取值范围是 $[0,1]$，应理解为光速的倍数。

1. ^ 事实上，笔者在推导这些文章中的公式时，就是使用了约去光速的技巧，再在结果中把光速添加回去而得到的。