约化光速
贡献者: JierPeter; addis
预备知识 斜坐标系表示洛伦兹变换
,无单位的物理公式
1. 约去量纲
物理量运算的规则有一个约束,合法的带单位多项式中,相加减的必然是相同的物理量。在无单位的物理公式中我们知道,当单位统一时,可以将物理量的单位和数值分开计算。详见物理量和单位转换。
例 1 约去量纲的例子
不考虑相对论效应。一辆火车以速度 向东行驶,车上有一个小朋友以速度 向东奔跑,那么小朋友相对铁轨的速度就是 。
2. 约去光速
如果取长度单位为 ,时间单位为 ,那么光速就可以写为 。用 取代 作为时间单位,那么一切涉及光速的等式中,我们都可以把光速的数值写为 ,大大简化计算,而光速的量纲 是独立于数值进行计算的。在这种写法中, 倍光速就可以写为 。
所以,在具体数值的计算中,使用上述单位制,则任何地方的光速的数值都可以视为 。当然,任何物理量都可以通过选择适当的单位制,来让其数值上等于 ,但在狭义相对论中只有令光速的数值为 是最方便的,因为任何惯性系中光速都不变。
如果任何数值计算中都可以把光速设为 ,那么我们可以干脆把这个规律一般化,把光速本身就当成 ,没有量纲;或者说,这种情况下,我们把长度和时间看成同一个物理量,其换算关系是 ,正如长度的换算关系 一样。使用这种技巧,那么狭义相对论中的一切公式都会简洁得多。
当然,实际应用中我们还是要把长度和时间分开来看的,这就要求我们在适当的地方要能够把光速的具体数值代回去,使得量纲和物理量相符,并且相加减的项具有相同的量纲,方式是进行量纲分析。我将用例子解释如下:
例 2
- 如果约去光速后,某长度的表达式为 ,那么在国际单位制下,这个长度应该是 。
- 如果 表示某个长度,那么在国际单位制下,这个长度应该是 。
- 如果 表示某个加速度,那么在国际单位制下,无论如何都没法把 添加回去以得到合适的量纲,因此这个表达式不可能表示加速度。
更进一步,我们也可以认为所有物理量都不含量纲,详见 “无单位的物理公式” 以及 “自然单位制”。
3. 约去光速后洛伦兹变换的表达
约去光速后,洛伦兹变换变得高度对称。
同时洛伦兹矩阵也变为:
回归国际单位制也很简单。考虑到 是长度,结合 “相加减项必然有相同的量纲”,可以在适当位置添加光速以满足这两个条件,得到 。同样,考虑到 是时间,可以得到 。
由此可见,约去光速的表达可以很自然地转化为国际单位制的表达,但是前者更加简洁优美,计算也不那么繁琐了。事实上,理论物理学家几乎不会真的用上 ,而是都默认 。今后,我们将沿用 的表达方法,约去 ;如果你不习惯的话,不妨在见到每一个表达式的时候,练习一下该如何适当添加 以回归国际单位制。
注意,在约去光速后,速度 的取值范围是 ,应理解为光速的倍数。
1. ^ 事实上,笔者在推导这些文章中的公式时,就是使用了约去光速的技巧,再在结果中把光速添加回去而得到的。
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