约化光速

                     

贡献者: JierPeter; addis

预备知识 斜坐标系表示洛伦兹变换,无单位的物理公式

1. 约去量纲

   物理量运算的规则有一个约束,合法的带单位多项式中,相加减的必然是相同的物理量。在无单位的物理公式中我们知道,当单位统一时,可以将物理量的单位和数值分开计算。详见物理量和单位转换

例 1 约去量纲的例子

   不考虑相对论效应。一辆火车以速度 $3.6 \operatorname {km/h}$ 向东行驶,车上有一个小朋友以速度 $4 \operatorname {m/s}$ 向东奔跑,那么小朋友相对铁轨的速度就是 $3.6\times\frac{ \operatorname {km}}{ \operatorname {h}}+4\times\frac{ \operatorname {m}}{ \operatorname {s}}=3.6\times\frac{1000\cdot \operatorname {m}}{3600 \operatorname {s}}+4\times\frac{ \operatorname {m}}{ \operatorname {s}}=(3.6\times\frac{1000}{3600}+4)\frac{ \operatorname {m}}{ \operatorname {s}}=5\frac{ \operatorname {m}}{ \operatorname {s}}=5 \operatorname {m/s}$。

2. 约去光速

   如果取长度单位为 $ \operatorname {m}$,时间单位为 $ \operatorname {\tau}=299792458 \operatorname {s}$,那么光速就可以写为 $1 \operatorname {m/\tau}$。用 $ \operatorname {\tau}$ 取代 $ \operatorname {s}$ 作为时间单位,那么一切涉及光速的等式中,我们都可以把光速的数值写为 $1$,大大简化计算,而光速的量纲 $[ \operatorname {m/s}]=[ \operatorname {m/\tau}]$ 是独立于数值进行计算的。在这种写法中,$0.1$ 倍光速就可以写为 $0.1 \operatorname {m/\tau}$。

   所以,在具体数值的计算中,使用上述单位制,则任何地方的光速的数值都可以视为 $1$。当然,任何物理量都可以通过选择适当的单位制,来让其数值上等于 $1$,但在狭义相对论中只有令光速的数值为 $1$ 是最方便的,因为任何惯性系中光速都不变。

   如果任何数值计算中都可以把光速设为 $1$,那么我们可以干脆把这个规律一般化,把光速本身就当成 $1$,没有量纲;或者说,这种情况下,我们把长度和时间看成同一个物理量,其换算关系是 $1 \operatorname {m}=299792458 \operatorname {s}$,正如长度的换算关系 $1 \operatorname {km}=1000 \operatorname {m}$ 一样。使用这种技巧,那么狭义相对论中的一切公式都会简洁得多。

   当然,实际应用中我们还是要把长度和时间分开来看的,这就要求我们在适当的地方要能够把光速的具体数值代回去,使得量纲和物理量相符,并且相加减的项具有相同的量纲,方式是进行量纲分析。我将用例子解释如下:

例 2 

  • 如果约去光速后,某长度的表达式为 $xv$,那么在国际单位制下,这个长度应该是 $xv/c$。
  • 如果 $tv^2+x$ 表示某个长度,那么在国际单位制下,这个长度应该是 $tv^2/c+x$。
  • 如果 $tv^2+x$ 表示某个加速度,那么在国际单位制下,无论如何都没法把 $c$ 添加回去以得到合适的量纲,因此这个表达式不可能表示加速度。

   更进一步,我们也可以认为所有物理量都不含量纲,详见 “无单位的物理公式” 以及 “自然单位制”。

3. 约去光速后洛伦兹变换的表达

   约去光速后,洛伦兹变换变得高度对称。

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2}}\\ &y'= y\\ &z' = z\\ &t' = \frac{t - vx}{\sqrt{1 - v^2}} \end{aligned}\right. ~, \qquad \left\{\begin{aligned} &x = \frac{x' + vt'}{\sqrt{1 - v^2}}\\ &y = y'\\ &z = z'\\ &t = \frac{t' + vx'}{\sqrt{1 - v^2}} \end{aligned}\right. ~. \end{equation}

   同时洛伦兹矩阵也变为:

\begin{equation} L= \left[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}& -\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}& 0& 0\\ -\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}& \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}& 0& 0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{matrix}\right]~. \end{equation}

   回归国际单位制也很简单。考虑到 $x'$ 是长度,结合 “相加减项必然有相同的量纲”,可以在适当位置添加光速以满足这两个条件,得到 $x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$。同样,考虑到 $t'$ 是时间,可以得到 $t' = \frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$。

   由此可见,约去光速的表达可以很自然地转化为国际单位制的表达,但是前者更加简洁优美,计算也不那么繁琐了。事实上,理论物理学家几乎不会真的用上 $c=299792458 \operatorname {m/s}$,而是都默认 $c=1$。今后,我们将沿用 $c=1$ 的表达方法,约去 $c$;如果你不习惯的话,不妨在见到每一个表达式的时候,练习一下该如何适当添加 $c$ 以回归国际单位制。

   注意,在约去光速后,速度 $v$ 的取值范围是 $[0,1]$,应理解为光速的倍数。

习题 1 

   将事件与尺缩效应时间的变换与钟慢效应洛伦兹变换斜坐标系表示洛伦兹变换中的所有推导,在约去光速的条件下重新进行一遍,体会约去光速的便捷性1


1. ^ 事实上,笔者在推导这些文章中的公式时,就是使用了约去光速的技巧,再在结果中把光速添加回去而得到的。


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