约化光速

                     

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　斜坐标系表示洛伦兹变换，无单位的物理公式

1. 约去量纲

　　 物理量运算的规则有一个约束，合法的带单位多项式中，相加减的必然是相同的物理量。在无单位的物理公式中我们知道，当单位统一时，可以将物理量的单位和数值分开计算。详见物理量和单位转换。

例 1　约去量纲的例子

　　 不考虑相对论效应。一辆火车以速度 $3.6 \operatorname {km/h}$ 向东行驶，车上有一个小朋友以速度 $4 \operatorname {m/s}$ 向东奔跑，那么小朋友相对铁轨的速度就是 $3.6\times\frac{ \operatorname {km}}{ \operatorname {h}}+4\times\frac{ \operatorname {m}}{ \operatorname {s}}=3.6\times\frac{1000\cdot \operatorname {m}}{3600 \operatorname {s}}+4\times\frac{ \operatorname {m}}{ \operatorname {s}}=(3.6\times\frac{1000}{3600}+4)\frac{ \operatorname {m}}{ \operatorname {s}}=5\frac{ \operatorname {m}}{ \operatorname {s}}=5 \operatorname {m/s}$。

2. 约去光速

　　 如果取长度单位为 $ \operatorname {m}$，时间单位为 $ \operatorname {\tau}=299792458 \operatorname {s}$，那么光速就可以写为 $1 \operatorname {m/\tau}$。用 $ \operatorname {\tau}$ 取代 $ \operatorname {s}$ 作为时间单位，那么一切涉及光速的等式中，我们都可以把光速的数值写为 $1$，大大简化计算，而光速的量纲 $[ \operatorname {m/s}]=[ \operatorname {m/\tau}]$ 是独立于数值进行计算的。在这种写法中，$0.1$ 倍光速就可以写为 $0.1 \operatorname {m/\tau}$。

　　 所以，在具体数值的计算中，使用上述单位制，则任何地方的光速的数值都可以视为 $1$。当然，任何物理量都可以通过选择适当的单位制，来让其数值上等于 $1$，但在狭义相对论中只有令光速的数值为 $1$ 是最方便的，因为任何惯性系中光速都不变。

　　 如果任何数值计算中都可以把光速设为 $1$，那么我们可以干脆把这个规律一般化，把光速本身就当成 $1$，没有量纲；或者说，这种情况下，我们把长度和时间看成同一个物理量，其换算关系是 $1 \operatorname {m}=299792458 \operatorname {s}$，正如长度的换算关系 $1 \operatorname {km}=1000 \operatorname {m}$ 一样。使用这种技巧，那么狭义相对论中的一切公式都会简洁得多。

　　 当然，实际应用中我们还是要把长度和时间分开来看的，这就要求我们在适当的地方要能够把光速的具体数值代回去，使得量纲和物理量相符，并且相加减的项具有相同的量纲，方式是进行量纲分析。我将用例子解释如下：

例 2　

  • 如果约去光速后，某长度的表达式为 $xv$，那么在国际单位制下，这个长度应该是 $xv/c$。
  • 如果 $tv^2+x$ 表示某个长度，那么在国际单位制下，这个长度应该是 $tv^2/c+x$。
  • 如果 $tv^2+x$ 表示某个加速度，那么在国际单位制下，无论如何都没法把 $c$ 添加回去以得到合适的量纲，因此这个表达式不可能表示加速度。

　　 更进一步，我们也可以认为所有物理量都不含量纲，详见 “无单位的物理公式” 以及 “自然单位制”。

3. 约去光速后洛伦兹变换的表达

　　 约去光速后，洛伦兹变换变得高度对称。

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2}}\\ &y'= y\\ &z' = z\\ &t' = \frac{t - vx}{\sqrt{1 - v^2}} \end{aligned}\right. ~, \qquad \left\{\begin{aligned} &x = \frac{x' + vt'}{\sqrt{1 - v^2}}\\ &y = y'\\ &z = z'\\ &t = \frac{t' + vx'}{\sqrt{1 - v^2}} \end{aligned}\right. ~. \end{equation}

　　 同时洛伦兹矩阵也变为：

\begin{equation} L= \left[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}& -\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}& 0& 0\\ -\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}& \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}& 0& 0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{matrix}\right]~. \end{equation}

　　 回归国际单位制也很简单。考虑到 $x'$ 是长度，结合 “相加减项必然有相同的量纲”，可以在适当位置添加光速以满足这两个条件，得到 $x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$。同样，考虑到 $t'$ 是时间，可以得到 $t' = \frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$。

　　 由此可见，约去光速的表达可以很自然地转化为国际单位制的表达，但是前者更加简洁优美，计算也不那么繁琐了。事实上，理论物理学家几乎不会真的用上 $c=299792458 \operatorname {m/s}$，而是都默认 $c=1$。今后，我们将沿用 $c=1$ 的表达方法，约去 $c$；如果你不习惯的话，不妨在见到每一个表达式的时候，练习一下该如何适当添加 $c$ 以回归国际单位制。

　　 注意，在约去光速后，速度 $v$ 的取值范围是 $[0,1]$，应理解为光速的倍数。

习题 1　

　　 将事件与尺缩效应、时间的变换与钟慢效应、洛伦兹变换和斜坐标系表示洛伦兹变换中的所有推导，在约去光速的条件下重新进行一遍，体会约去光速的便捷性1。

1. ^ 事实上，笔者在推导这些文章中的公式时，就是使用了约去光速的技巧，再在结果中把光速添加回去而得到的。


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