约化光速

             

预备知识 斜坐标系表示洛伦兹变换,无单位的物理公式

1. 约去量纲

   物理量运算的规则有一个约束,合法的带单位多项式中,相加减的必然是相同的物理量.在无单位的物理公式中我们知道,当单位统一时,可以将物理量的单位和数值分开计算.详见物理量和单位转换

例 1 约去量纲的例子

   不考虑相对论效应.一辆火车以速度 $3.6 \operatorname {km/h}$ 向东行驶,车上有一个小朋友以速度 $4 \operatorname {m/s}$ 向东奔跑,那么小朋友相对铁轨的速度就是 $3.6\times\frac{ \operatorname {km}}{ \operatorname {h}}+4\times\frac{ \operatorname {m}}{ \operatorname {s}}=3.6\times\frac{1000\cdot \operatorname {m}}{3600 \operatorname {s}}+4\times\frac{ \operatorname {m}}{ \operatorname {s}}=(3.6\times\frac{1000}{3600}+4)\frac{ \operatorname {m}}{ \operatorname {s}}=5\frac{ \operatorname {m}}{ \operatorname {s}}=5 \operatorname {m/s}$.

2. 约去光速

   如果取长度单位为 $ \operatorname {m}$,时间单位为 $ \operatorname {\tau}=299792458 \operatorname {s}$,那么光速就可以写为 $1 \operatorname {m/\tau}$.用 $ \operatorname {\tau}$ 取代 $ \operatorname {s}$ 作为时间单位,那么一切涉及光速的等式中,我们都可以把光速的数值写为 $1$,大大简化计算,而光速的量纲 $[ \operatorname {m/s}]=[ \operatorname {m/\tau}]$ 是独立于数值进行计算的.在这种写法中,$0.1$ 倍光速就可以写为 $0.1 \operatorname {m/\tau}$.

   所以,在具体数值的计算中,使用上述单位制,则任何地方的光速的数值都可以视为 $1$.当然,任何物理量都可以通过选择适当的单位制,来让其数值上等于 $1$,但在狭义相对论中只有令光速的数值为 $1$ 是最方便的,因为任何惯性系中光速都不变.

   如果任何数值计算中都可以把光速设为 $1$,那么我们可以干脆把这个规律一般化,把光速本身就当成 $1$,没有量纲;或者说,这种情况下,我们把长度和时间看成同一个物理量,其换算关系是 $1 \operatorname {m}=299792458 \operatorname {s}$,正如长度的换算关系 $1 \operatorname {km}=1000 \operatorname {m}$ 一样.使用这种技巧,那么狭义相对论中的一切公式都会简洁得多.

   当然,实际应用中我们还是要把长度和时间分开来看的,这就要求我们在适当的地方要能够把光速的具体数值代回去,使得量纲和物理量相符,并且相加减的项具有相同的量纲,方式是进行量纲分析.我将用例子解释如下:

例 2 

  • 如果约去光速后,某长度的表达式为 $xv$,那么在国际单位制下,这个长度应该是 $xv/c$.
  • 如果 $tv^2+x$ 表示某个长度,那么在国际单位制下,这个长度应该是 $tv^2/c+x$.
  • 如果 $tv^2+x$ 表示某个加速度,那么在国际单位制下,无论如何都没法把 $c$ 添加回去以得到合适的量纲,因此这个表达式不可能表示加速度.

   更进一步,我们也可以认为所有物理量都不含量纲,详见 “无单位的物理公式” 以及 “自然单位制”.

3. 约去光速后洛伦兹变换的表达

   约去光速后,洛伦兹变换变得高度对称.

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2}}\\ &y'= y\\ &z' = z\\ &t' = \frac{t - vx}{\sqrt{1 - v^2}} \end{aligned}\right. \qquad \left\{\begin{aligned} &x = \frac{x' + vt'}{\sqrt{1 - v^2}}\\ &y = y'\\ &z = z'\\ &t = \frac{t' + vx'}{\sqrt{1 - v^2}} \end{aligned}\right. \end{equation}

   同时洛伦兹矩阵也变为:

\begin{equation} L= \left[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}& -\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}& 0& 0\\ -\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}& \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}& 0& 0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{matrix}\right] \end{equation}

   回归国际单位制也很简单.考虑到 $x'$ 是长度,结合 “相加减项必然有相同的量纲”,可以在适当位置添加光速以满足这两个条件,得到 $x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.同样,考虑到 $t'$ 是时间,可以得到 $t' = \frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.

   由此可见,约去光速的表达可以很自然地转化为国际单位制的表达,但是前者更加简洁优美,计算也不那么繁琐了.事实上,理论物理学家几乎不会真的用上 $c=299792458 \operatorname {m/s}$,而是都默认 $c=1$.今后,我们将沿用 $c=1$ 的表达方法,约去 $c$;如果你不习惯的话,不妨在见到每一个表达式的时候,练习一下该如何适当添加 $c$ 以回归国际单位制.

   注意,在约去光速后,速度 $v$ 的取值范围是 $[0,1]$,应理解为光速的倍数.

习题 1 

   将事件与尺缩效应、时间的变换与钟慢效应、洛伦兹变换和斜坐标系表示洛伦兹变换中的所有推导,在约去光速的条件下重新进行一遍,体会约去光速的便捷性1


1. ^ 事实上,笔者在推导这些词条中的公式时,就是使用了约去光速的技巧,再在结果中把光速添加回去而得到的.

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