斜坐标系表示洛伦兹变换

             

预备知识 洛伦兹变换,斜坐标系

1. 洛伦兹变换的斜坐标表示

   一维空间的洛伦兹变换表述为

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\ &t' = \frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \end{aligned}\right. \end{equation}

   如果把 $(x,t)$ 作为直角坐标系,尝试用斜坐标系来表示 $x'$ 和 $t'$,那么我们需要确定四个关键参数:斜坐标轴的斜率 $T_x$ 和 $T_t$,以及其拉伸比例 $r_x$ 和 $r_t$.

习题 1 

   如果用直角坐标表示铁轨系中的事件坐标,那么这些事件在火车系中的坐标可以一个斜坐标系来表示.将一维空间洛伦兹变换的表达式和斜坐标系的坐标转换进行比较,推导出这个斜坐标系的坐标轴斜率和拉伸比例.

   答案如图所示.

图
图 1:洛伦兹变换的斜坐标表达,其中 $\tan{\theta}=v/c$,两坐标轴的拉伸比例均为 $\sqrt{(1+v^2/c^2)}/\sqrt{(1-v^2/c^2)}$.
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