洛伦兹变换

             

预备知识 时间的变换

1. 洛伦兹变换

   在时间的变换与钟慢效应一节中,我们自然而然地推导出了一维空间中的洛伦兹变换:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x_2 = \frac{x_1 - vt_1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\ &t_2 = \frac{t_1 - vx_1/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \end{aligned}\right. \end{equation}

   当然,由于没有哪个惯性系更特殊,考虑到 $K_1$ 相对 $K_2$ 的速度是 $-v$,我们有:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x_1 = \frac{x_2 + vt_2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\ &t_1 = \frac{t_2 + vx_2/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \end{aligned}\right. \end{equation}

   当然了,这一逆变换也是可以手动从式 1 中解出来的.

例 1 垂直方向上的洛伦兹变换

  

   依然考虑火车模型.现在在火车和铁轨的原点都树一根杆子,从铁轨系看来两根杆子高度相同.请说明为什么从火车系看来两根杆子高度依然相同.(提示:竖直的杆子和水平的杆子本质区别是什么?利用同时性的相对性说明一下.你可能需要考虑 “两个事件的同时性不是绝对的” 以及 “同一个事件在任何参考系都是同一个事件”.)

   例 1 的结果说明,尺缩效应和同时性的相对性只发生在火车运动的方向上.这就是说,垂直于火车的坐标轴不会因为火车的运动而发生变化.这就引出了完整版的三维空间中——或者说四维时空中的洛伦兹变换:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\ &y'= y\\ &z' = z\\ &t' = \frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \end{aligned}\right. \qquad \left\{\begin{aligned} &x = \frac{x' + vt'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\ &y = y'\\ &z = z'\\ &t = \frac{t' + vx'/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \end{aligned}\right. \end{equation}

   这里我们应用了多数资料中使用的字母习惯,避免读者造成混淆.在上式中,$x_1=x$,$t_1=t$,$x_2=x'$,$t_2=t'$.

2. 矩阵表示

   洛伦兹变换也可以用矩阵表示为:

\begin{equation} L= \left[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& -\frac{v/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& 0& 0\\ -\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& 0& 0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{matrix}\right] \end{equation}

   将 $L$ 称为洛伦兹矩阵洛伦兹变换矩阵

   如果一个事件在 $K_1$ 和 $K_2$ 中的坐标分别是 $\left(\begin{matrix} t\\x\\y\\z \end{matrix}\right)$ 和 $\left(\begin{matrix} t'\\x'\\y'\\z' \end{matrix}\right)$,那么有

\begin{equation} \left(\begin{matrix} t'\\x'\\y'\\z' \end{matrix}\right) = L \left(\begin{matrix} t\\x\\y\\z \end{matrix}\right) \end{equation}

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