洛伦兹变换

贡献者： _Eden_; 叶月2_; JierPeter; addis; ACertainUser

预备知识　时间的变换

1. 洛伦兹变换

　　在时间的变换与钟慢效应一节中，我们自然而然地推导出了一维空间中的洛伦兹变换：

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} x_{2} = \frac{x_{1} - v t_{1}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} \\ t_{2} = \frac{t_{1} - v x_{1} / c^{2}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} . \end{aligned} \end{matrix}

　　当然，由于没有哪个惯性系更特殊，考虑到 $K_{1}$ 相对 $K_{2}$ 的速度是 $- v$ ，我们有：

\begin{matrix} (2) & {\begin{aligned} x_{1} = \frac{x_{2} + v t_{2}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} \\ t_{1} = \frac{t_{2} + v x_{2} / c^{2}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} . \end{aligned} \end{matrix}

当然了，这一逆变换也是可以手动从式 1 中解出来的。

例 1　垂直方向上的洛伦兹变换

　　依然考虑火车模型。现在在火车和铁轨的原点都树一根杆子，从铁轨系看来两根杆子高度相同。请说明为什么从火车系看来两根杆子高度依然相同。（提示：竖直的杆子和水平的杆子本质区别是什么？利用同时性的相对性说明一下。你可能需要考虑 “两个事件的同时性不是绝对的” 以及 “同一个事件在任何参考系都是同一个事件”。）

　　例 1 的结果说明，尺缩效应和同时性的相对性只发生在火车运动的方向上。这就是说，垂直于火车的坐标轴不会因为火车的运动而发生变化。这就引出了完整版的三维空间中——或者说四维时空中的洛伦兹变换：

图 1：S 与 S'系示意图。参考了安宇等人的《大学物理》

\begin{matrix} (3) & {\begin{aligned} x^{'} = \frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} \\ y^{'} = y \\ z^{'} = z \\ t^{'} = \frac{t - v x / c^{2}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}}, \end{aligned} {\begin{aligned} x = \frac{x^{'} + v t^{'}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} \\ y = y^{'} \\ z = z^{'} \\ t = \frac{t^{'} + v x^{'} / c^{2}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} \end{aligned} \end{matrix}

可以与经典变换（伽利略变换）做对比：

{\begin{cases} x^{'} = x - v t \\ y^{'} = y \\ z^{'} = z \\ t^{'} = t . \end{cases}

这里我们应用了多数资料中使用的字母习惯，避免读者造成混淆。在上式中，

x_{1} = x

，

t_{1} = t

，

x_{2} = x^{'}

，

t_{2} = t^{'}

。

2. 矩阵表示

　　洛伦兹变换也可以用矩阵表示为：

\begin{matrix} (4) & L = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} & - \frac{v / c^{2}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} & 0 & 0 \\ - \frac{v}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} & \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) . \end{matrix}

　　将 $L$ 称为洛伦兹矩阵或洛伦兹变换矩阵。

　　如果一个事件在 $K_{1}$ 和 $K_{2}$ 中的坐标分别是 $(\begin{matrix} t \\ x \\ y \\ z \end{matrix})$ 和 $(\begin{matrix} t^{'} \\ x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{matrix})$ ，那么有

\begin{matrix} (5) & (\begin{matrix} t^{'} \\ x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{matrix}) = L (\begin{matrix} t \\ x \\ y \\ z \end{matrix}), \end{matrix}

　　为了使洛伦兹变换矩阵更具有对称性，我们用 $c t$ 代替 $t$ ，这样 $c t, x, y, z$ 的量纲就是相同的了。式 1 变成了以下形式：

\begin{matrix} (6) & {\begin{aligned} x_{2} = \frac{x_{1} - v c t_{1} / c}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} \\ c t_{2} = \frac{c t_{1} - v x_{1} / c}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} . \end{aligned} \end{matrix}

此时变换矩阵为（设

γ = 1 / \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}, β = v / c

）

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} L & = (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} & - \frac{v / c}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} & 0 & 0 \\ - \frac{v / c}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} & \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} γ & - γ β & 0 & 0 \\ - γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　如果将时空坐标写成四矢量： $x^{μ} = (c t, x, y, z)$ ，洛伦兹变换就可以写成协变形式（为了避免指标混乱，下面记 $(c t^{'}, x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 为 $S^{'}$ 系中的时空坐标， $(c t, x, y, z)$ 为 $S$ 系中的时空坐标）：

\begin{matrix} (8) & x^{' μ} = {L^{μ}}_{ν} x^{ν}, \end{matrix}

其中

{L^{μ}}_{ν}

对应矩阵式 7 中

μ

行

ν

列的元素。

　　仅仅作为一个不大成熟的类比，我们把伽利略变换写成类似的形式： $L = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ - β & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$

rapidity 表示法

　　因为 $0 < v / c < 1$ ，我们可以令 $\frac{v}{c} = \tanh θ$ ，式 4 便可以简洁表示为

\begin{matrix} (9) & L_{x} = (\begin{array}{cccc} \cosh θ & - \sinh θ & 0 & 0 \\ - \sinh θ & \cosh θ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}), \end{matrix}

表示沿

x

轴的推促变换，并称

θ

为快度（rapidity）。同理可得沿其他轴的推促变换形式：

\begin{matrix} (10) & L_{y} = (\begin{matrix} \cosh θ & 0 & - \sinh θ & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - \sinh θ & 0 & \cosh θ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}), L_{z} = (\begin{array}{cccc} \cosh θ & 0 & 0 & - \sinh θ \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - \sinh θ & 0 & 0 & \cosh θ \end{array}) . \end{matrix}

　　这种表示手段还具有 “结合性”，读者可验证， $L_{i} (θ_{1}) L_{i} (θ_{2}) = L_{i} (θ_{1} + θ_{2}), i = x, y, z$ 。

3. 任意方向的洛伦兹变换

　　设参考系 $S^{'}$ 以速度 $v$ 相对于参考系 $S$ 运动。那么 $S$ 参考系中时空坐标 $(t, r)$ 在 $S^{'}$ 参考系中的坐标为 $(t^{'}, r^{'})$ 。可以将 $r$ 和 $r^{'}$ 平行于 $v$ 的分量和垂直于 $v$ 的分量分别考虑，根据洛伦兹变换，有

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} r_{⊥}^{'} = r_{⊥}, \\ r_{∥}^{'} = γ (r_{∥} - β c t), \\ c t^{'} = γ (c t - β r_{∥}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　可以用点乘等矢量运算表示出 $r_{∥}$ 和 $r_{⊥}$ ：

\begin{matrix} (12) & r_{∥} = \frac{(r \cdot v) v}{v^{2}}, r_{⊥} = r - \frac{(r \cdot v) v}{v^{2}} . \end{matrix}

　　因此洛伦兹变换公式可以改写成

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} r^{'} = r - γ β c t + (γ - 1) \frac{(r \cdot v) v}{v^{2}}, \\ c t^{'} = γ c t - γ \frac{r \cdot v}{c} = γ c t - γ r \cdot β . \end{aligned} \end{matrix}

相应的洛伦兹矩阵为（以

(c t, r)

为时空坐标）

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} {L^{μ}}_{ν} & = (\begin{array}{c} γ & - γ v_{1} / c & - γ v_{2} / c & - γ v_{3} / c \\ - γ v_{1} / c & 1 + (γ - 1) v_{1} v_{1} / v^{2} & (γ - 1) v_{2} v_{1} / v^{2} & (γ - 1) v_{3} v_{1} / v^{2} \\ - γ v_{2} / c & (γ - 1) v_{1} v_{2} / v^{2} & 1 + (γ - 1) v_{2} v_{2} / v^{2} & (γ - 1) v_{3} v_{2} / v^{2}) \\ - γ v_{3} / c & (γ - 1) v_{1} v_{3} / v^{2}) & (γ - 1) v_{3} v_{2} / v^{2} & 1 + (γ - 1) v_{3} v_{3} / v^{2} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} γ & - γ v_{j} / c \\ - γ v_{i} / c & δ_{i j} + (γ - 1) v_{i} v_{j} / v^{2} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} γ & - γ β_{j} \\ - γ β_{i} & δ_{i j} + (γ - 1) v_{i} v_{j} / v^{2} \end{array}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　对于两个四矢量 $p^{μ}, q^{μ}$ ，可以构造洛伦兹不变量 $p^{μ} q_{μ} = η_{μ, ν} p^{μ} q^{ν}$ ，代表的意义是 $p$ 和 $q$ 的 “点乘”，只不过是闵可夫斯基空间度规下的点乘。以 $x^{μ}$ 为例， $\sqrt{- x^{μ} x_{μ}} = \sqrt{c^{2} t^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2}}$ 是洛伦兹不变量，其物理意义是原点到 $x^{μ}$ 的时空距离。由于 $η_{μ ν} p^{μ} q^{ν}$ 在洛伦兹变换下是保持不变的，所以有

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} η_{μ ν} p^{' μ} q^{' ν} & = η_{μ ν} ({L^{μ}}_{ρ} p^{ρ}) ({L^{ν}}_{σ} q^{σ}) \\ = η_{μ ν} {L^{μ}}_{ρ} {L^{ν}}_{σ} p^{ρ} q^{σ} \\ = η_{ρ σ} p^{ρ} q^{σ} . \end{aligned} \end{matrix}

上式对任意的四矢量

p^{μ}, q^{μ}

都成立，这体现了洛伦兹变换的一个性质：

\begin{matrix} (16) & η_{μ ν} {L^{μ}}_{ρ} {L^{ν}}_{σ} = η_{ρ σ}, \end{matrix}

即洛伦兹变换是保度规的。

　　我们上面讨论的洛伦兹变换是不含转动的，仅仅涉及到 boost¹。可以对洛伦兹变换进行推广。一个普通的洛伦兹变换需要满足的唯一要求是式 16 。这样的变换除了 boost 以外，还包括三维空间的转动（当然也包括单位元）。所有这样的变换构成一个群，我们把它称为洛伦兹群。

1. ^ 一些参考书将其译为 “推促”，表示一个参考系以速度 $v$ 相对于另一参考系运动。