洛伦兹变换

                     

贡献者: _Eden_; 叶月2_; JierPeter; addis; ACertainUser

预备知识 时间的变换

1. 洛伦兹变换

   在时间的变换与钟慢效应一节中,我们自然而然地推导出了一维空间中的洛伦兹变换:

(1){x2=x1vt11v2/c2t2=t1vx1/c21v2/c2 .

   当然,由于没有哪个惯性系更特殊,考虑到 K1 相对 K2 的速度是 v,我们有:

(2){x1=x2+vt21v2/c2t1=t2+vx2/c21v2/c2 .
当然了,这一逆变换也是可以手动从式 1 中解出来的。

例 1 垂直方向上的洛伦兹变换

   依然考虑火车模型。现在在火车和铁轨的原点都树一根杆子,从铁轨系看来两根杆子高度相同。请说明为什么从火车系看来两根杆子高度依然相同。(提示:竖直的杆子和水平的杆子本质区别是什么?利用同时性的相对性说明一下。你可能需要考虑 “两个事件的同时性不是绝对的” 以及 “同一个事件在任何参考系都是同一个事件”。)

   例 1 的结果说明,尺缩效应和同时性的相对性只发生在火车运动的方向上。这就是说,垂直于火车的坐标轴不会因为火车的运动而发生变化。这就引出了完整版的三维空间中——或者说四维时空中的洛伦兹变换:

图
图 1:S 与 S'系示意图。参考了安宇等人的《大学物理》

(3){x=xvt1v2/c2y=yz=zt=tvx/c21v2/c2 ,{x=x+vt1v2/c2y=yz=zt=t+vx/c21v2/c2
可以与经典变换(伽利略变换)做对比: {x=xvty=yz=zt=t . 这里我们应用了多数资料中使用的字母习惯,避免读者造成混淆。在上式中,x1=xt1=tx2=xt2=t

2. 矩阵表示

   洛伦兹变换也可以用矩阵表示为:

(4)L=(11v2/c2v/c21v2/c200v1v2/c211v2/c20000100001) .

   将 L 称为洛伦兹矩阵洛伦兹变换矩阵

   如果一个事件在 K1K2 中的坐标分别是 (txyz)(txyz),那么有

(5)(txyz)=L(txyz) ,

   为了使洛伦兹变换矩阵更具有对称性,我们用 ct 代替 t,这样 ct,x,y,z 的量纲就是相同的了。式 1 变成了以下形式:

(6){x2=x1vct1/c1v2/c2ct2=ct1vx1/c1v2/c2 .
此时变换矩阵为(设 γ=1/1v2/c2,β=v/c
(7)L=(11v2/c2v/c1v2/c200v/c1v2/c211v2/c20000100001)=(γγβ00γβγ0000100001) .

   如果将时空坐标写成四矢量xμ=(ct,x,y,z),洛伦兹变换就可以写成协变形式(为了避免指标混乱,下面记 (ct,x,y,z)S 系中的时空坐标,(ct,x,y,z)S 系中的时空坐标):

(8)xμ=Lμνxν ,
其中 Lμν 对应矩阵式 7 μν 列的元素。

   仅仅作为一个不大成熟的类比,我们把伽利略变换写成类似的形式: L=(1000β10000100001) .

rapidity 表示法

   因为 0<v/c<1,我们可以令 vc=tanhθ式 4 便可以简洁表示为

(9)Lx=(coshθsinhθ00sinhθcoshθ0000100001) ,
表示沿 x 轴的推促变换,并称 θ快度(rapidity)。同理可得沿其他轴的推促变换形式:
(10)Ly=(coshθ0sinhθ00100sinhθ0coshθ00001),Lz=(coshθ00sinhθ01000010sinhθ00coshθ) .

   这种表示手段还具有 “结合性”,读者可验证,Li(θ1)Li(θ2)=Li(θ1+θ2),i=x,y,z

3. 任意方向的洛伦兹变换

   设参考系 S 以速度 v 相对于参考系 S 运动。 那么 S 参考系中时空坐标 (t,r)S 参考系中的坐标为 (t,r)。可以将 rr 平行于 v 的分量和垂直于 v 的分量分别考虑,根据洛伦兹变换,有

(11)r=r ,r=γ(rβct) ,ct=γ(ctβr) .

   可以用点乘等矢量运算表示出 rr

(12)r=(rv)vv2,r=r(rv)vv2 .

   因此洛伦兹变换公式可以改写成

(13)r=rγβct+(γ1)(rv)vv2 ,ct=γctγrvc=γctγrβ .
相应的洛伦兹矩阵为(以 (ct,r) 为时空坐标)
(14)Lμν=(γγv1/cγv2/cγv3/cγv1/c1+(γ1)v1v1/v2(γ1)v2v1/v2(γ1)v3v1/v2γv2/c(γ1)v1v2/v21+(γ1)v2v2/v2(γ1)v3v2/v2)γv3/c(γ1)v1v3/v2)(γ1)v3v2/v21+(γ1)v3v3/v2)=(γγvj/cγvi/cδij+(γ1)vivj/v2)=(γγβjγβiδij+(γ1)vivj/v2) .

   对于两个四矢量 pμ,qμ,可以构造洛伦兹不变量 pμqμ=ημ,νpμqν,代表的意义是 pq 的 “点乘”,只不过是闵可夫斯基空间度规下的点乘。以 xμ 为例,xμxμ=c2t2x2y2z2 是洛伦兹不变量,其物理意义是原点到 xμ 的时空距离。由于 ημνpμqν 在洛伦兹变换下是保持不变的,所以有

(15)ημνpμqν=ημν(Lμρpρ)(Lνσqσ)=ημνLμρLνσpρqσ=ηρσpρqσ .
上式对任意的四矢量 pμ,qμ 都成立,这体现了洛伦兹变换的一个性质:
(16)ημνLμρLνσ=ηρσ ,
即洛伦兹变换是保度规的。

   我们上面讨论的洛伦兹变换是不含转动的,仅仅涉及到 boost1。可以对洛伦兹变换进行推广。一个普通的洛伦兹变换需要满足的唯一要求是 式 16 。这样的变换除了 boost 以外,还包括三维空间的转动(当然也包括单位元)。所有这样的变换构成一个群,我们把它称为洛伦兹群


1. ^ 一些参考书将其译为 “推促”,表示一个参考系以速度 v 相对于另一参考系运动。


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