洛伦兹变换

贡献者： _Eden_; 叶月2_; JierPeter; addis; ACertainUser

预备知识　时间的变换

1. 洛伦兹变换

　　在时间的变换与钟慢效应一节中，我们自然而然地推导出了一维空间中的洛伦兹变换：

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x_2 = \frac{x_1 - vt_1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\ &t_2 = \frac{t_1 - vx_1/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}~. \end{aligned}\right. \end{equation}

　　当然，由于没有哪个惯性系更特殊，考虑到 $K_1$ 相对 $K_2$ 的速度是 $-v$，我们有：

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x_1 = \frac{x_2 + vt_2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\ &t_1 = \frac{t_2 + vx_2/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}~. \end{aligned}\right. \end{equation}

当然了，这一逆变换也是可以手动从式 1 中解出来的。

例 1　垂直方向上的洛伦兹变换

　　依然考虑火车模型。现在在火车和铁轨的原点都树一根杆子，从铁轨系看来两根杆子高度相同。请说明为什么从火车系看来两根杆子高度依然相同。（提示：竖直的杆子和水平的杆子本质区别是什么？利用同时性的相对性说明一下。你可能需要考虑 “两个事件的同时性不是绝对的” 以及 “同一个事件在任何参考系都是同一个事件”。）

　　例 1 的结果说明，尺缩效应和同时性的相对性只发生在火车运动的方向上。这就是说，垂直于火车的坐标轴不会因为火车的运动而发生变化。这就引出了完整版的三维空间中——或者说四维时空中的洛伦兹变换：

图 1：S 与 S'系示意图。参考了安宇等人的《大学物理》

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\ &y'= y\\ &z' = z\\ &t' = \frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}~, \end{aligned}\right. \qquad\quad \left\{\begin{aligned} &x = \frac{x' + vt'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\ &y = y'\\ &z = z'\\ &t = \frac{t' + vx'/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \end{aligned}\right. \end{equation}

可以与经典变换（伽利略变换）做对比： $$ \begin{cases} x' = x - vt\\ y' = y\\ z' = z\\ t' = t~. \end{cases} $$ 这里我们应用了多数资料中使用的字母习惯，避免读者造成混淆。在上式中，$x_1=x$，$t_1=t$，$x_2=x'$，$t_2=t'$。

2. 矩阵表示

　　洛伦兹变换也可以用矩阵表示为：

\begin{equation} L= \left(\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& -\frac{v/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& 0& 0\\ -\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& 0& 0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{matrix}\right)~. \end{equation}

　　将 $L$ 称为洛伦兹矩阵或洛伦兹变换矩阵。

　　如果一个事件在 $K_1$ 和 $K_2$ 中的坐标分别是 $\left(\begin{matrix} t\\x\\y\\z \end{matrix}\right)$ 和 $\left(\begin{matrix} t'\\x'\\y'\\z' \end{matrix}\right)$，那么有

\begin{equation} \left(\begin{matrix} t'\\x'\\y'\\z' \end{matrix}\right) = L \left(\begin{matrix} t\\x\\y\\z \end{matrix}\right)~, \end{equation}

　　为了使洛伦兹变换矩阵更具有对称性，我们用 $ct$ 代替 $t$，这样 $ct,x,y,z$ 的量纲就是相同的了。式 1 变成了以下形式：

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x_2 = \frac{x_1 - vct_1/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\ &ct_2 = \frac{ct_1 - vx_1/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}~. \end{aligned}\right. \end{equation}

此时变换矩阵为（设 $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}, \boldsymbol{\mathbf{\beta}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} /c$）

\begin{equation} \begin{aligned} L&= \left(\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& -\frac{v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& 0& 0\\ -\frac{v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& 0& 0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{matrix}\right)\\ &= \left(\begin{matrix} \gamma& -\gamma\beta& 0& 0\\ -\gamma\beta& \gamma& 0& 0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{matrix}\right)~. \end{aligned} \end{equation}

　　如果将时空坐标写成四矢量：$x^{\mu}=(ct,x,y,z)$，洛伦兹变换就可以写成协变形式（为了避免指标混乱，下面记 $(ct',x',y',z')$ 为 $S'$ 系中的时空坐标，$(ct,x,y,z)$ 为 $S$ 系中的时空坐标）：

\begin{equation} x'^{\mu}={L^\mu}_\nu x^\nu~, \end{equation}

其中 ${L^\mu}_\nu$ 对应矩阵式 7 中 $\mu$ 行 $\nu$ 列的元素。

　　仅仅作为一个不大成熟的类比，我们把伽利略变换写成类似的形式： $$ L=\left(\begin{matrix} 1& 0& 0& 0\\ -\beta& 1& 0& 0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{matrix}\right)~. $$

rapidity 表示法

　　因为 $0< v/c<1$，我们可以令 $\frac{v}{c}= \operatorname {tanh}{\theta}$，式 4 便可以简洁表示为

\begin{equation} L_x=\left(\begin{array}{cccc} \operatorname {cosh}\theta & - \operatorname {sinh}\theta & 0 & 0 \\ - \operatorname {sinh}\theta & \operatorname {cosh}\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) ~,\end{equation}

表示沿 $x$ 轴的推促变换，并称 $\theta$ 为快度（rapidity）。同理可得沿其他轴的推促变换形式：

\begin{equation} L_y= \begin{pmatrix} \operatorname {cosh}\theta&0&- \operatorname {sinh}\theta&0\\0&1&0&0\\- \operatorname {sinh}\theta&0& \operatorname {cosh}\theta&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} ,L_z=\left(\begin{array}{cccc} \cosh \theta & 0 & 0 & -\sinh \theta \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\sinh \theta & 0 & 0 & \cosh \theta \end{array}\right)~. \end{equation}

　　这种表示手段还具有 “结合性”，读者可验证，$L_i(\theta_1)L_i(\theta_2)=L_i(\theta_1+\theta_2),i=x,y,z$。

3. 任意方向的洛伦兹变换

　　设参考系 $S'$ 以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 相对于参考系 $S$ 运动。那么 $S$ 参考系中时空坐标 $(t, \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 在 $S'$ 参考系中的坐标为 $(t', \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$。可以将 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 平行于 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的分量和垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的分量分别考虑，根据洛伦兹变换，有

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\mathbf{r}} '_{\perp}= \boldsymbol{\mathbf{r}} _{\perp}~,\\ & \boldsymbol{\mathbf{r}} '_{\parallel}=\gamma( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{\parallel}- \boldsymbol{\mathbf{\beta}} ct)~,\\ &ct'=\gamma(ct-\beta r_{\parallel})~. \end{aligned} \end{equation}

　　可以用点乘等矢量运算表示出 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _\parallel$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _\perp$：

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _{\parallel}=\frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} }{v^2}, \boldsymbol{\mathbf{r}} _{\perp}= \boldsymbol{\mathbf{r}} -\frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} }{v^2}~. \end{equation}

　　因此洛伦兹变换公式可以改写成

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\mathbf{r}} '= \boldsymbol{\mathbf{r}} -\gamma \boldsymbol{\mathbf{\beta}} ct+(\gamma-1)\frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} }{v^2}~,\\ &ct'=\gamma ct-\gamma\frac{ \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} }{c}=\gamma ct-\gamma \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{\beta}} ~. \end{aligned} \end{equation}

相应的洛伦兹矩阵为（以 $(ct, \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 为时空坐标）

\begin{equation} \begin{aligned} {L^\mu}_\nu&= \left(\begin{matrix} \gamma& -\gamma v_1/c & -\gamma v_2/c& -\gamma v_3/c\\ -\gamma v_1/c&1+(\gamma-1)v_1v_1/v^2& (\gamma-1)v_2v_1/v^2&(\gamma-1)v_3v_1/v^2\\ -\gamma v_2/c &(\gamma-1)v_1v_2/v^2&1+(\gamma-1)v_2v_2/v^2&(\gamma-1)v_3v_2/v^2)\\ -\gamma v_3/c&(\gamma-1)v_1v_3/v^2)&(\gamma-1)v_3v_2/v^2&1+(\gamma-1)v_3v_3/v^2 \end{matrix}\right)\\ &=\left(\begin{matrix} \gamma & -\gamma v_j/c \\ -\gamma v_i/c & \delta_{ij}+(\gamma-1)v_iv_j/v^2 \end{matrix} \right)\\ &=\left(\begin{matrix} \gamma & -\gamma \beta_j \\ -\gamma \beta_i & \delta_{ij}+(\gamma-1)v_iv_j/v^2 \end{matrix} \right)~. \end{aligned} \end{equation}

　　对于两个四矢量 $p^\mu,q^\mu$，可以构造洛伦兹不变量 $p^\mu q_\mu=\eta_{\mu,\nu}p^\mu q^\nu$，代表的意义是 $p$ 和 $q$ 的 “点乘”，只不过是闵可夫斯基空间度规下的点乘。以 $x^\mu$ 为例，$\sqrt{-x^\mu x_\mu}=\sqrt{c^2t^2-x^2-y^2-z^2}$ 是洛伦兹不变量，其物理意义是原点到 $x^\mu$ 的时空距离。由于 $\eta_{\mu\nu}p^\mu q^\nu$ 在洛伦兹变换下是保持不变的，所以有

\begin{equation} \begin{aligned} \eta_{\mu\nu}p'^\mu q'^\nu&=\eta_{\mu\nu}({L^\mu}_\rho p^\rho) ({L^\nu}_\sigma q^\sigma)\\ &=\eta_{\mu\nu}{L^\mu}_\rho {L^\nu}_\sigma p^\rho q^\sigma \\ &=\eta_{\rho\sigma} p^\rho q^\sigma~. \end{aligned} \end{equation}

上式对任意的四矢量 $p^\mu,q^\mu$ 都成立，这体现了洛伦兹变换的一个性质：

\begin{equation} \eta_{\mu\nu}{L^\mu}_\rho {L^\nu}_\sigma=\eta_{\rho\sigma}~, \end{equation}

即洛伦兹变换是保度规的。

　　我们上面讨论的洛伦兹变换是不含转动的，仅仅涉及到 boost¹。可以对洛伦兹变换进行推广。一个普通的洛伦兹变换需要满足的唯一要求是式 16 。这样的变换除了 boost 以外，还包括三维空间的转动（当然也包括单位元）。所有这样的变换构成一个群，我们把它称为洛伦兹群。

1. ^ 一些参考书将其译为 “推促”，表示一个参考系以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 相对于另一参考系运动。