洛伦兹变换
贡献者: _Eden_; 叶月2_; JierPeter; addis; ACertainUser
1. 洛伦兹变换
在时间的变换与钟慢效应一节中,我们自然而然地推导出了一维空间中的洛伦兹变换:
当然,由于没有哪个惯性系更特殊,考虑到 相对 的速度是 ,我们有:
当然了,这一逆变换也是可以手动从
式 1 中解出来的。
例 1 垂直方向上的洛伦兹变换
依然考虑火车模型。现在在火车和铁轨的原点都树一根杆子,从铁轨系看来两根杆子高度相同。请说明为什么从火车系看来两根杆子高度依然相同。(提示:竖直的杆子和水平的杆子本质区别是什么?利用同时性的相对性说明一下。你可能需要考虑 “两个事件的同时性不是绝对的” 以及 “同一个事件在任何参考系都是同一个事件”。)
例 1 的结果说明,尺缩效应和同时性的相对性只发生在火车运动的方向上。这就是说,垂直于火车的坐标轴不会因为火车的运动而发生变化。这就引出了完整版的三维空间中——或者说四维时空中的洛伦兹变换:
图 1:S 与 S'系示意图。参考了安宇等人的《大学物理》
可以与经典变换(伽利略变换)做对比:
这里我们应用了多数资料中使用的字母习惯,避免读者造成混淆。在上式中,,,,。
2. 矩阵表示
洛伦兹变换也可以用矩阵表示为:
将 称为洛伦兹矩阵或洛伦兹变换矩阵。
如果一个事件在 和 中的坐标分别是 和 ,那么有
为了使洛伦兹变换矩阵更具有对称性,我们用 代替 ,这样 的量纲就是相同的了。式 1 变成了以下形式:
此时变换矩阵为(设 )
如果将时空坐标写成四矢量:,洛伦兹变换就可以写成协变形式(为了避免指标混乱,下面记 为 系中的时空坐标, 为 系中的时空坐标):
其中 对应矩阵
式 7 中 行 列的元素。
仅仅作为一个不大成熟的类比,我们把伽利略变换写成类似的形式:
rapidity 表示法
因为 ,我们可以令 ,式 4 便可以简洁表示为
表示沿 轴的推促变换,并称 为
快度(rapidity)。同理可得沿其他轴的推促变换形式:
这种表示手段还具有 “结合性”,读者可验证,。
3. 任意方向的洛伦兹变换
设参考系 以速度 相对于参考系 运动。
那么 参考系中时空坐标 在 参考系中的坐标为 。可以将 和 平行于 的分量和垂直于 的分量分别考虑,根据洛伦兹变换,有
可以用点乘等矢量运算表示出 和 :
因此洛伦兹变换公式可以改写成
相应的洛伦兹矩阵为(以 为时空坐标)
对于两个四矢量 ,可以构造洛伦兹不变量 ,代表的意义是 和 的 “点乘”,只不过是闵可夫斯基空间度规下的点乘。以 为例, 是洛伦兹不变量,其物理意义是原点到 的时空距离。由于 在洛伦兹变换下是保持不变的,所以有
上式对任意的四矢量 都成立,这体现了洛伦兹变换的一个性质:
即洛伦兹变换是保度规的。
我们上面讨论的洛伦兹变换是不含转动的,仅仅涉及到 boost1。可以对洛伦兹变换进行推广。一个普通的洛伦兹变换需要满足的唯一要求是 式 16 。这样的变换除了 boost 以外,还包括三维空间的转动(当然也包括单位元)。所有这样的变换构成一个群,我们把它称为洛伦兹群。
1. ^ 一些参考书将其译为 “推促”,表示一个参考系以速度 相对于另一参考系运动。
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