无量纲的物理公式

             

预备知识 万有引力,物理量和单位转换

   与数学公式不同,物理公式中的变量(这里姑且称为物理量)通常既包含数值又包含单位,如 $x = 10 \,\mathrm{cm} $.一个形象的比喻是把所谓 “物理量” 比作一个几何矢量,它本身不是一个单纯的数字,而是一个基底乘以一个数字.但有时候我们需要将含有单位的公式转换为不含单位的物理公式.例如数值计算时,或者为了书写简单(常见于量子力学,见原子单位).我们通过几个例子来说明转换过程.

例 1 牛顿第二定律

   国际单位制下的牛顿第二定律公式为

\begin{equation} F = ma \end{equation}
我们先定义几个含单位的物理量常量例如 $\beta_{F} = 1 \,\mathrm{N} $,$\beta_{m} = 1 \,\mathrm{kg} $,$\beta_{a} = 1 \,\mathrm{m/s^2} $.把不含单位的的力,质量和加速度分别记为 $F_0, m_0, a_0$,它们都是数字.则有
\begin{equation} F = F_0 \beta_F \qquad m = m_0 \beta_{m} \qquad a = a_0 \beta_{a} \end{equation}
代入式 1
\begin{equation} F_0 = \frac{\beta_m \beta_a}{\beta_F} m_0 a_0 \end{equation}
由于国际单位定义 $1 \,\mathrm{N} = 1 \,\mathrm{kg} \cdot \,\mathrm{m/s^2} $,上式中 $\beta_m \beta_a/\beta_F = 1$,所以不含单位的牛顿第二定律为
\begin{equation} F_0 = m_0 a_0 \end{equation}
以上的做法看起来似乎并没有什么意义,这是因为我们把每个常量 $\beta$ 都定义为一个相应的国际单位.事实上,只要保证 $\beta_m \beta_a/\beta_F = 1$,这三个常量是可以任取的.例如令 $\beta_m = 4 \,\mathrm{g} $,$\beta_a = 25 \,\mathrm{cm/s^2} $,$\beta_F = 10^{-3} \,\mathrm{N} $,上式仍然成立.有了这个变换,有时候我们只需要做一次计算就能得到不同参数下的结果.

例 2 万有引力公式

   国际单位下的万有引力公式为

\begin{equation} F = G\frac{Mm}{r^2} \end{equation}
其中 $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \,\mathrm{m^3 kg^{-1} s^{-2}} $.在例 1 的基础上定义 $r = \beta_x r_0$,则有
\begin{equation} F_0 = \frac{G\beta_m^2}{\beta_F \beta_x^2} \frac{M_0 m_0}{r_0^2} \end{equation}
我们若想让新的不含单位的万有引力公式也不含 $G$ 以减少计算量,即
\begin{equation} F_0 = \frac{M_0 m_0}{r_0^2} \end{equation}
只需令所有的 $\beta$ 满足 $G\beta_m^2/(\beta_F\beta_x^2) = 1$,例如 $\beta_x = 1 \,\mathrm{m} $,$\beta_m = 1.224 \times 10^{5} \,\mathrm{kg} $,$\beta_F = 1 \,\mathrm{N} $.

   这种通过希望得到的公式来规定转换常数的方法是很常见的.

   注意无单位的物理公式和有单位的物理公式(无论用什么单位)存在本质的不同,例如在式 4 中,如果受力物体的质量恰好等于 $\beta_m$,那么公式可以直接写为

\begin{equation} F_0 = a_0 \end{equation}
而这种写法对含单位的公式来说是错误的,因为单位不同的两个物理量不可以相等(或相加).我们也可以直接把数字和无单位的物理量相加,如 $1 + x_0$.

   在不至于混淆的情况下(例如通篇都使用无量纲公式),我们就可以把以上的角标 $0$ 去掉.

1. 无单位公式转换为含单位公式

   对某个物理量 $Q$,有

\begin{equation} Q = \beta_Q Q_0 \end{equation}
要把无单位公式变为含单位公式,就把式中所有 $Q_0$ 用 $Q/\beta_Q$ 替换即可.以式 7 为例,替换后得
\begin{equation} F = \frac{\beta_F\beta_x^2}{\beta_m^2} \frac{Mm}{r^2} = G\frac{Mm}{r^2} \end{equation}

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