洛伦兹变换的代数推导

             

预备知识 约化光速,伽利略变换

   火车模型对于初学者建立狭义相对论的直观理解有很大帮助,但它在逻辑上其实较为繁琐,需要推导出尺缩效应,再以此推导出时间的变换,才能得到洛伦兹变换.本节采用更紧凑的初等代数方法重新推导一遍洛伦兹变换,更为直接,同时也可以当作约化光速表示法的一个实例.

1. 洛伦兹变换

   为方便讨论,设 $t = 0$ 时两参考系 $S$ 与 $S'$ 的原点重合,$x, y, z$ 轴方向相同.$S'$ 系相对 $S$ 系沿 $x$ 轴方向以速度 $v$ 匀速运动.$S$ 系中的坐标 $(x, y, z, t)$ 一一对应到 $S'$ 系中的坐标 $(x', y', z', t')$.每一个坐标等价于在这个坐标上发生的一个事件.

   洛伦兹变换的另一个假设是,事件的四个坐标在不同惯性系中的变换一定是线性变换,这对应着我们在火车模型中所提到的,尺缩效应是均匀的,以及由此推导而得的时间变换的线性性.这也称作物理定律的平移对称及时间对称.

   可以证明,满足上述要求的线性变换为

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\ &y'= y\\ &z' = z\\ &t' = \frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \end{aligned}\right. \qquad \left\{\begin{aligned} &x = \frac{x' + vt'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\ &y = y'\\ &z = z'\\ &t = \frac{t' + vx'/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \end{aligned}\right. \end{equation}
该变换被称为洛伦兹变换.下面,我们就来具体推导这个变换.

2. 推导

   由于两个参考系是完全对称的,根据相对性原理,它们之间的坐标变换应该具有完全相同的形式.式 1 中的变换和逆变换有个别符号上的差异,因为习惯上的坐标系的定义使得 $S'$ 相对 $S$ 的速度是正的,而 $S$ 相对于 $S'$ 速度却是负的.为了保持绝对的镜像对称我们只需把 $S'$ 的 $x$ 轴取反方向.

   先考虑 $(x, t)$ 两个坐标,令线性变换为

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x' &= ax + bt\\ t' &= mx + nt \end{aligned}\right. \end{equation}
解得逆变换为
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x &= \frac{nx' - bt'}{an - bm}\\ t &= \frac{mx' - at'}{bm - an} \end{aligned}\right. \end{equation}
由相对性原理,正变换和逆变换的系数必须完全相同,对比系数并化简得
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &a = -n\\ &bm - an = 1 \end{aligned}\right. \end{equation}

   为了书写方便,我们使用约化光速的表示,令 $c=1$(无单位).

   由光速不变原理,当某点延 $x$ 轴以光速运动,即 $ \mathrm{d}{x}/\mathrm{d}{t} = 1$ 时,它在另一个参考系中的速度必须也是光速,即 $ \mathrm{d}{x'}/\mathrm{d}{t'} = -1$(注意两个参考系中 $x$ 轴方向相反).所以

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{x'}}{\mathrm{d}{t'}} = \frac{a \,\mathrm{d}{x} + b \,\mathrm{d}{t} }{m \,\mathrm{d}{x} + n \,\mathrm{d}{t} } = \frac{a + b}{m + n} = -1 \end{equation}

   根据定义,$S$ 系中的任意不动点($ \mathrm{d}{x}/\mathrm{d}{t} = 0$)在 $S'$ 系中速度为 $v$,所以

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{x'}}{\mathrm{d}{t'}} = \frac{a \,\mathrm{d}{x} + b \,\mathrm{d}{t} }{m \,\mathrm{d}{x} + n \,\mathrm{d}{t} } = \frac{b}{n} = v \end{equation}

   根据两坐标系定义,我们要求 $t$ 不变时,$x$ 增加 $x'$ 减少,所以

\begin{equation} a < 0 \end{equation}

   联立式 4 式 7 可解得所有系数

\begin{equation} a = - \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} \qquad b = \frac{v}{\sqrt{1-v^2}} \qquad m = - \frac{v}{\sqrt{1-v^2}} \qquad n = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} \end{equation}

   所以变换和逆变换为

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x' = - \frac{x + vt}{\sqrt{1 - v^2}}\\ &t' = \frac{t + vx}{\sqrt{1 - v^2}} \end{aligned}\right. \qquad \left\{\begin{aligned} &x = -\frac{x' + vt'}{\sqrt{1 - v^2}}\\ &t = \frac{t' + vx'}{\sqrt{1 - v^2}} \end{aligned}\right. \end{equation}
若按照一般的坐标系习惯,把 $x'$ 改成 $-x'$,就与式 1 一致了1

   下面再来考虑其他维度,设

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2}} + ay + bz\\ &t' = \frac{t - vx}{\sqrt{1 - v^2}} + cy + ez \end{aligned}\right. \end{equation}
求逆变换,对比系数,得出 $a, b, c, e$ 为零.同理可得
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} y' &= y\\ z' &= z \end{aligned}\right. \end{equation}
至此我们就完全推导出了洛伦兹变换.


1. ^ 要从该式得到国际单位的公式,只需把 $x, x', v, v'$ 都替换为国际单位的物理量除以转换常数 $c$ 即可

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