洛伦兹变换的代数推导

贡献者： addis; JierPeter

预备知识　约化光速，伽利略变换

　　火车模型对于初学者建立狭义相对论的直观理解有很大帮助，但它在逻辑上其实较为繁琐，需要推导出尺缩效应，再以此推导出时间的变换，才能得到洛伦兹变换。本节采用更紧凑的初等代数方法重新推导一遍洛伦兹变换，更为直接，同时也可以当作约化光速表示法的一个实例。

1. 洛伦兹变换

　　为方便讨论，设 $t = 0$ 时两参考系 $S$ 与 $S^{'}$ 的原点重合， $x, y, z$ 轴方向相同。 $S^{'}$ 系相对 $S$ 系沿 $x$ 轴方向以速度 $v$ 匀速运动。 $S$ 系中的坐标 $(x, y, z, t)$ 一一对应到 $S^{'}$ 系中的坐标 $(x^{'}, y^{'}, z^{'}, t^{'})$ 。每一个坐标等价于在这个坐标上发生的一个事件。

　　洛伦兹变换的另一个假设是，事件的四个坐标在不同惯性系中的变换一定是线性变换，这对应着我们在火车模型中所提到的，尺缩效应是均匀的，以及由此推导而得的时间变换的线性性。这也称作物理定律的平移对称及时间对称。

　　可以证明，满足上述要求的线性变换为

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} x^{'} = \frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} \\ y^{'} = y \\ z^{'} = z \\ t^{'} = \frac{t - v x / c^{2}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} \end{aligned}, {\begin{aligned} x = \frac{x^{'} + v t^{'}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} \\ y = y^{'} \\ z = z^{'} \\ t = \frac{t^{'} + v x^{'} / c^{2}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} \end{aligned}, \end{matrix}

该变换被称为洛伦兹变换。下面，我们就来具体推导这个变换。

2. 推导

　　由于两个参考系是完全对称的，根据相对性原理，它们之间的坐标变换应该具有完全相同的形式。式 1 中的变换和逆变换有个别符号上的差异，因为习惯上的坐标系的定义使得 $S^{'}$ 相对 $S$ 的速度是正的，而 $S$ 相对于 $S^{'}$ 速度却是负的。为了保持绝对的镜像对称我们只需把 $S^{'}$ 的 $x$ 轴取反方向。

　　先考虑 $(x, t)$ 两个坐标，令线性变换为

\begin{matrix} (2) & {\begin{aligned} x^{'} & = a x + b t \\ t^{'} & = m x + n t \end{aligned} . \end{matrix}

解得逆变换为

\begin{matrix} (3) & {\begin{aligned} x & = \frac{n x^{'} - b t^{'}}{a n - b m} \\ t & = \frac{m x^{'} - a t^{'}}{b m - a n} \end{aligned} . \end{matrix}

由相对性原理，正变换和逆变换的系数必须完全相同，对比系数并化简得

\begin{matrix} (4) & {\begin{aligned} a = - n \\ b m - a n = 1 \end{aligned} . \end{matrix}

　　为了书写方便，我们使用约化光速的表示，令 $c = 1$ （无单位）。

　　由光速不变原理，当某点延 $x$ 轴以光速运动，即 $d x / d t = 1$ 时，它在另一个参考系中的速度必须也是光速，即 $d x^{'} / d t^{'} = - 1$ （注意两个参考系中 $x$ 轴方向相反）。所以

\begin{matrix} (5) & \frac{d x^{'}}{d t^{'}} = \frac{a d x + b d t}{m d x + n d t} = \frac{a + b}{m + n} = - 1 . \end{matrix}

　　根据定义， $S$ 系中的任意不动点（ $d x / d t = 0$ ）在 $S^{'}$ 系中速度为 $v$ ，所以

\begin{matrix} (6) & \frac{d x^{'}}{d t^{'}} = \frac{a d x + b d t}{m d x + n d t} = \frac{b}{n} = v . \end{matrix}

　　根据两坐标系定义，我们要求 $t$ 不变时， $x$ 增加 $x^{'}$ 减少，所以

\begin{matrix} (7) & a < 0 . \end{matrix}

　　联立式 4 到式 7 可解得所有系数

\begin{matrix} (8) & a = - \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}, b = \frac{v}{\sqrt{1 - v^{2}}}, m = - \frac{v}{\sqrt{1 - v^{2}}}, n = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}} . \end{matrix}

　　所以变换和逆变换为

\begin{matrix} (9) & {\begin{aligned} x^{'} = - \frac{x + v t}{\sqrt{1 - v^{2}}} \\ t^{'} = \frac{t + v x}{\sqrt{1 - v^{2}}} \end{aligned}, {\begin{aligned} x = - \frac{x^{'} + v t^{'}}{\sqrt{1 - v^{2}}} \\ t = \frac{t^{'} + v x^{'}}{\sqrt{1 - v^{2}}} \end{aligned} . \end{matrix}

若按照一般的坐标系习惯，把

x^{'}

改成

- x^{'}

，就与式 1 一致了¹。

　　下面再来考虑其他维度，设

\begin{matrix} (10) & {\begin{aligned} x^{'} = \frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^{2}}} + a y + b z \\ t^{'} = \frac{t - v x}{\sqrt{1 - v^{2}}} + c y + e z \end{aligned} . \end{matrix}

求逆变换，对比系数，得出

a, b, c, e

为零。同理可得

\begin{matrix} (11) & {\begin{aligned} y^{'} & = y \\ z^{'} & = z \end{aligned} . \end{matrix}

至此我们就完全推导出了洛伦兹变换。

1. ^ 要从该式得到国际单位的公式，只需把 $x, x^{'}, v, v^{'}$ 都替换为国际单位的物理量除以转换常数 $c$ 即可

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