事件与尺缩效应

             

预备知识 狭义相对论的基本假设

1. 事件

   在和时空相关的理论中,当我们描述一件事的时候,我们并不关心这件事具体是什么,只关心它发生在何时何地.因此为了将来的讨论,我们首先需要定义 “事件” 的概念.

   一个事件(event)是指在时空坐标系中的一个点.事件所发生的时间、地点,就是事件作为一个点的坐标.

2. 对事件的观测

   狭义相对论的核心是光.在任何参考系中,光速不变.光的其它性质并不能保证一定不变,如光强的分布,偏振的角度等.

   除了光速以外,事件本身也是不随惯性系变化的.这就是说,在任何惯性系 $K_1$ 中同时同地发生的事情,在任何惯性系 $K_2$ 中也是同时同地发生的.鉴于我们已经为了简便,将事件简单表达为它所发生的时间和地点,那么同时同地发生的事件都应看成同一个事件.

   更进一步,由于讨论事件时我们只关心其发生的时间和位置,即只关心其时空坐标,因此也可以直接用事件的时空坐标来指代事件本身

   光速和事件的不变性,是目前我们观测事件的最基本工具.我们将在实践中体会利用光速不变和事件不变来观测事件的方法.

3. 同时性的相对性

   考虑一根的铁轨,向左向右都无限延伸.在这铁轨上取一个点作为原点,向右作为正方向,可以画一个 $x_1$ 轴,用来测量和铁轨静止的参考系中的事件位置,这个参考系称作铁轨系,记为 $K_1$.

   现在,铁轨上从左到右开过一辆火车.和火车静止的参考系也可以沿着铁轨画一个 $x_2$ 轴,只不过它是用来描述火车参考系中事件位置的,称作火车系,记为 $K_2$.

   在铁轨系中,如果某时刻看到火车的两个不重叠的轮子同时发光,那么这两道光会在铁轨上的两个发光点的中点相遇,而 “相遇” 也是一个事件.从发光到相遇,两束光通过了相同的路程,由于光速不变,它们经过了相同的时间,由此反推可知发光的时间是一样的.但是同样的三个事件在火车系看来是不一样的:在火车系中,“相遇” 发生在更靠近后轮的位置,也就是说,在火车看来前轮所发的光走过了更长的路程,花了更长的时间,从 “相遇” 的时间反推回去,可知在火车眼里是前轮先发光.

图
图 1:在铁路系中所看到的三个事件,分别用三个点表示.上图是两个轮子同时发光的两个事件;下图是一段时间以后,火车运动了一段距离,而两束光相遇的事件.

   事实上,在 $K_1$ 中同时但不同地发生的事情,在 $K_2$ 中必然不同时发生.“同时” 这一概念并非绝对,两个事件是否同时,取决于从什么参考系来观察它们.

习题 1 火车系中的事件

   图 1 中是以铁轨的视角,选取了两个时刻,描述了 “前轮发光”、“后轮发光” 和 “光束相遇” 这三个事件.请你尝试画出火车的视角下三个事件的先后关系.提示:你需要三个关键时刻,依次是 “前轮发光” 时,“后轮发光” 时和 “光束相遇” 时.

4. 尺缩效应

   我们还是使用上一节定义的火车系 $K_2$ 和铁轨系 $K_1$.如果说,在铁轨上标记了两个点 $A$ 和 $B$,使得前轮通过 $B$ 时发光,后轮通过 $A$ 时发光.在 $K_1$ 中,前轮和后轮分别同时通过这两个点,也就是说,在 $K_1$ 中,火车两轮的间距和 $A$、$B$ 的间距一样;但是在 $K_2$ 中来看,前轮先发光,后轮后发光,这就意味着火车两轮的间距比 $A$、$B$ 的间距要长.

   这说明,运动的物体应该比静止时看起来要短.由于没有任何点是特殊的,所以这种运动造成的收缩在每一个地方都是一样的,或者说,运动造成的尺缩效应是均匀的.那么运动造成的收缩的比例应该怎么计算呢?

图
图 2:尺缩效应配图

   把 $A$、$B$ 的间距看成 $AB$ 的长度,车轮间距看成火车的长度.设 $AB$ 的静止长度(在 $K_1$ 中的长度)为 $2S$,而火车的静止长度(在 $K_2$ 中的长度)为 $2L$.

   记火车相对铁轨的运动速度为(沿着 $x$ 正方向)$v$,考虑到两个参考系中没有哪个更特殊,则铁轨相对火车的运动速度为 $-v$;同样,火车在铁轨系中的收缩比例,也应该和铁轨在火车系中的收缩比例相等.记这个收缩比例是 $m\in(0,1)$,那么 “在铁轨系中火车和 $AB$ 长度一样” 意味着:

\begin{equation} 2mL=2S \end{equation}

   在火车系中,火车的长度是 $2L$,大于 $AB$ 的长度 $2mS$,所以前轮先碾过 $B$ 点发光,然后才轮到后轮碾过 $A$ 点发光.前后轮发光各自是一个独立的事件,所以它们是否同时取决于参考系的选择;但是有一个东西在两个参考系中都是一样的,那就是两束光相遇的位置,因为两束光的相遇是一个单独的事件.

   我们来考察一下,在两个参考系中,光相遇的位置对应于车上的哪个地方.如下图所示,在 $K_1$ 中,设相遇点到火车后轮的距离是 $a_1$,到火车前轮的距离是 $b_1$;在 $K_2$ 中,设相遇点到火车后轮的距离是 $a_2$,到火车前轮的距离是 $b_2$.由于收缩是均匀的,相遇点在两个参考系中都是同一个点,因此

\begin{equation} \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2} \end{equation}

   根据两个场景的不同,具体计算一下 $a_1$,$b_1$,$a_2$,$b_2$,得到1

\begin{equation} a_1=S-v\cdot\frac{S}{c},b_1=S+v\cdot\frac{S}{c},a_2+b_2=2L,\frac{b_2-a_2}{c}=\frac{2L-2mS}{v} \end{equation}

   整理式 3 并代入式 1 得:

\begin{equation} \frac{a_1}{b_1}=\frac{c-v}{c+v} \end{equation}
\begin{equation} \frac{a_2}{b_2}=\frac{v-c(1-m^2)}{v+c(1-m^2)} \end{equation}

   把式 2 代入式 4 式 5 中得:

\begin{equation} \frac{c-v}{c+v}=\frac{v-c(1-m^2)}{v+c(1-m^2)} \end{equation}

   在等式右边上下同乘以 $c/v$ 得:

\begin{equation} \frac{c-v}{c+v}=\frac{c-\frac{c^2}{v}(1-m^2)}{c+\frac{c^2}{v}(1-m^2)} \end{equation}

   这样就可以直接得到:

\begin{equation} v=\frac{c^2}{v}(1-m^2) \end{equation}

   解得

\begin{equation} m=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \end{equation}

   结论就是,如果一个物体静止时的长度为 $L$,那么在某一惯性系中若它沿着自身长度的方向运动速度为 $v$,则在此参考系中它的长度是 $\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot L < L$.


1. ^ 第四个等式两端都是 $K_2$ 中两个轮子发光的时间间隔

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