事件与尺缩效应

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　狭义相对论的基本假设

1. 事件

　　在和时空相关的理论中，当我们描述一件事的时候，我们并不关心这件事具体是什么，只关心它发生在何时何地。因此为了将来的讨论，我们首先需要定义 “事件” 的概念。

　　一个事件（event）是指在时空坐标系中的一个点。事件所发生的时间、地点，就是事件作为一个点的坐标。

2. 对事件的观测

　　狭义相对论的核心是光。在任何参考系中，光速不变。光的其它性质并不能保证一定不变，如光强的分布，偏振的角度等。

　　除了光速以外，事件本身也是不随惯性系变化的。这就是说，在任何惯性系 $K_1$ 中同时同地发生的事情，在任何惯性系 $K_2$ 中也是同时同地发生的。鉴于我们已经为了简便，将事件简单表达为它所发生的时间和地点，那么同时同地发生的事件都应看成同一个事件。

　　更进一步，由于讨论事件时我们只关心其发生的时间和位置，即只关心其时空坐标，因此也可以直接用事件的时空坐标来指代事件本身。

　　光速和事件的不变性，是目前我们观测事件的最基本工具。我们将在实践中体会利用光速不变和事件不变来观测事件的方法。

3. 同时性的相对性

　　考虑一根的铁轨，向左向右都无限延伸。在这铁轨上取一个点作为原点，向右作为正方向，可以画一个 $x_1$ 轴，用来测量和铁轨静止的参考系中的事件位置，这个参考系称作铁轨系，记为 $K_1$。

　　现在，铁轨上从左到右开过一辆火车。和火车静止的参考系也可以沿着铁轨画一个 $x_2$ 轴，只不过它是用来描述火车参考系中事件位置的，称作火车系，记为 $K_2$。

　　在铁轨系中，如果某时刻看到火车的两个不重叠的轮子同时发光，那么这两道光会在铁轨上的两个发光点的中点相遇，而 “相遇” 也是一个事件。从发光到相遇，两束光通过了相同的路程，由于光速不变，它们经过了相同的时间，由此反推可知发光的时间是一样的。但是同样的三个事件在火车系看来是不一样的：在火车系中，“相遇” 发生在更靠近后轮的位置，也就是说，在火车看来前轮所发的光走过了更长的路程，花了更长的时间，从 “相遇” 的时间反推回去，可知在火车眼里是前轮先发光。

图 1：在铁路系中所看到的三个事件，分别用三个点表示。上图是两个轮子同时发光的两个事件；下图是一段时间以后，火车运动了一段距离，而两束光相遇的事件。

　　事实上，在 $K_1$ 中同时但不同地发生的事情，在 $K_2$ 中必然不同时发生。“同时” 这一概念并非绝对，两个事件是否同时，取决于从什么参考系来观察它们。

习题 1　火车系中的事件

　　图 1 中是以铁轨的视角，选取了两个时刻，描述了 “前轮发光”、“后轮发光” 和 “光束相遇” 这三个事件。请你尝试画出火车的视角下三个事件的先后关系。提示：你需要三个关键时刻，依次是 “前轮发光” 时，“后轮发光” 时和 “光束相遇” 时。

4. 尺缩效应

　　我们还是使用上一节定义的火车系 $K_2$ 和铁轨系 $K_1$。如果说，在铁轨上标记了两个点 $A$ 和 $B$，使得前轮通过 $B$ 时发光，后轮通过 $A$ 时发光。在 $K_1$ 中，前轮和后轮分别同时通过这两个点，也就是说，在 $K_1$ 中，火车两轮的间距和 $A$、$B$ 的间距一样；但是在 $K_2$ 中来看，前轮先发光，后轮后发光，这就意味着火车两轮的间距比 $A$、$B$ 的间距要长。

　　这说明，运动的物体应该比静止时看起来要短。由于没有任何点是特殊的，所以这种运动造成的收缩在每一个地方都是一样的，或者说，运动造成的尺缩效应是均匀的。那么运动造成的收缩的比例应该怎么计算呢？

图 2：尺缩效应配图

　　把 $A$、$B$ 的间距看成 $AB$ 的长度，车轮间距看成火车的长度。设 $AB$ 的静止长度（在 $K_1$ 中的长度）为 $2S$，而火车的静止长度（在 $K_2$ 中的长度）为 $2L$。

　　记火车相对铁轨的运动速度为（沿着 $x$ 正方向）$v$，考虑到两个参考系中没有哪个更特殊，则铁轨相对火车的运动速度为 $-v$；同样，火车在铁轨系中的收缩比例，也应该和铁轨在火车系中的收缩比例相等。记这个收缩比例是 $m\in(0,1)$，那么 “在铁轨系中火车和 $AB$ 长度一样” 意味着：

\begin{equation} 2mL=2S~. \end{equation}

　　在火车系中，火车的长度是 $2L$，大于 $AB$ 的长度 $2mS$，所以前轮先碾过 $B$ 点发光，然后才轮到后轮碾过 $A$ 点发光。前后轮发光各自是一个独立的事件，所以它们是否同时取决于参考系的选择；但是有一个东西在两个参考系中都是一样的，那就是两束光相遇的位置，因为两束光的相遇是一个单独的事件。

　　我们来考察一下，在两个参考系中，光相遇的位置对应于车上的哪个地方。如下图所示，在 $K_1$ 中，设相遇点到火车后轮的距离是 $a_1$，到火车前轮的距离是 $b_1$；在 $K_2$ 中，设相遇点到火车后轮的距离是 $a_2$，到火车前轮的距离是 $b_2$。由于收缩是均匀的，相遇点在两个参考系中都是同一个点，因此

\begin{equation} \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}~. \end{equation}

　　根据两个场景的不同，具体计算一下 $a_1$，$b_1$，$a_2$，$b_2$，得到¹：

\begin{equation} a_1=S-v\cdot\frac{S}{c},b_1=S+v\cdot\frac{S}{c},a_2+b_2=2L,\frac{b_2-a_2}{c}=\frac{2L-2mS}{v}~. \end{equation}

　　整理式 3 并代入式 1 得：

\begin{equation} \frac{a_1}{b_1}=\frac{c-v}{c+v}~, \end{equation}

\begin{equation} \frac{a_2}{b_2}=\frac{v-c(1-m^2)}{v+c(1-m^2)}~. \end{equation}

　　把式 2 代入式 4 和式 5 中得：

\begin{equation} \frac{c-v}{c+v}=\frac{v-c(1-m^2)}{v+c(1-m^2)}~. \end{equation}

　　在等式右边上下同乘以 $c/v$ 得：

\begin{equation} \frac{c-v}{c+v}=\frac{c-\frac{c^2}{v}(1-m^2)}{c+\frac{c^2}{v}(1-m^2)}~. \end{equation}

　　这样就可以直接得到：

\begin{equation} v=\frac{c^2}{v}(1-m^2)~, \end{equation}

　　解得

\begin{equation} m=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}~. \end{equation}

　　结论就是，如果一个物体静止时的长度为 $L$，那么在某一惯性系中若它沿着自身长度的方向运动速度为 $v$，则在此参考系中它的长度是 $\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot L< L$。

1. ^ 第四个等式两端都是 $K_2$ 中两个轮子发光的时间间隔