时间的变换与钟慢效应

             

预备知识 尺缩效应

   伽利略变换中时间是绝对而独立的,和空间无关.但我们在事件与尺缩效应词条中已经知道,引入光速不变原理之后会发现,两个独立事件1是否同时,取决于观察的惯性系是哪个.

1. 测量事件发生时间

   在一个一维空间中,发生了一个事件,我们自然能知道这个事件发生的位置.实际上,因为我们要求事件发生的时候都同时发射一道球面光,在空间各个地方布满光感探测器以后,就可以通过探测的结果来反推球面光的形状,进而计算出球心位置.当然,我们没必要真的这么麻烦地计算,因为毕竟我们是在做思想实验,只需要明确 “球面波的形状可测量”,进而得出 “事件发生的位置是可知的” 就行了.

   但是事件发生的时间需要一点技巧去求得.很容易想到,利用光速不变原理就可以把对位置的知识转化成对时间的知识:首先让时间和空间的原点处($t=0, x=0$)发生一个事件,不妨称之为参考事件.在某时某地发生了另一个需要我们观测的事件,那么参考事件的球面光和待观测事件的球面光相遇也是一个事件.相遇事件发生的位置到原点的距离,除以光速,就可以得到相遇事件发生的时间;同理也可以得到相遇事件和待观测事件所发生的时间差,进而计算出待观测事件发生的时间.

图
图 1:测量待观测事件发生的时间.相遇事件发生的时间是 $a/c$,它和待观测事件的时间间隔是 $-b/c$.也就是说,在如图所示的情形下,待观测事件发生的时间是 $(a-b)/c=[2a-(a+b)]/c$.注意待观测事件的位置不是 $b$,而是 $a+b$.

   这个方法在我们推导两个惯性系中时间的变换时非常好用.注意一点:我们要求相遇事件是参考事件的光球和待观测事件的光球相切的时候,不论是内切还是外切.外切可能出现在待观测事件是在负的时间上发生的的情况下——这时我们需要拓展事件光球的概念,在事件发生以前,光球向事件发生地收缩,在发生的那一刻收缩为点,重新发散出去.

2. 时间的变换

   沿用铁轨系 $K_1$ 和火车系 $K_2$ 的设定,令 $K_2$ 相对 $K_1$ 以速度 $v$ 运动.我们现在想计算一下,在 $K_1$ 中任意点 $(x_1,t_1)$ 发生的事件,在 $K_2$ 中应该对应哪个坐标 $(x_2,t_2)$.由于这里的 $x_1$ 是任意的,我们就需要火车无限长,不妨直接把火车和铁轨都抽象为一根无限长的坐标轴.

   令两个坐标系的原点在各自的 $t_1=0$,$t_2=0$ 时刻重合.我们可以任意指定一个事件,定义它在两个坐标系中的时空坐标都是 $(0,0)$,从而实现 “重合” 的要求.这样一来,在两个坐标系的时空原点处发生的参考事件就成了同一个事件.

   待观测事件在 $K_1$ 中的坐标是 $(x_1, t_1)$,意味着相遇事件在 $K_1$ 中的坐标是 $(t_1c+\frac{x_1-t_1c}{2}, t_1+\frac{x_1-t_1c}{2c})=(\frac{x_1+t_1c}{2},\frac{x_1+t_1c}{2c})$.注意相遇事件的时间和空间坐标中间只差了一个因子 $c$,这是因为相遇事件必然在参考事件的光球上.由上一个小节知,利用相遇事件和待观测事件的空间坐标,就可以算出待观测事件的时间坐标;虽然我们已经知道了 $t_1$,但你仍然可以验算一下,当作练习.

图
图 2:相遇事件在两个坐标轴中的表示.$a$ 是 $K_2$ 中相遇事件的位置,$b$ 是 $K_2$ 中待观测事件的位置.这个图是在 $K_1$ 的视角下绘制的,请注意 $K_2$ 坐标轴的尺缩效应使得 $K_2$ 的尺子看起来更密集了一些.

   同样地,我们知道相遇事件在 $K_2$ 中待观测事件的位置是 $(x_1-vt_1)/\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$2;类似地,相遇事件的位置3 是 $(\frac{x_1+t_1c}{2}-v\frac{x_1+t_1c}{2c})/\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{x_1+t_1c}{2}\cdot(1-\frac{v}{c})/\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

   代入图 1 的结果,可知 $K_2$ 中待观测事件的时间是 $ \left[(x_1+t_1c)\cdot(1-\frac{v}{c})/\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-(x_1-vt_1)/\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \right] \cdot \frac{1}{c}=\frac{t_1-\frac{v}{c^2}x_1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$.

   由此,我们得出了时间的变换:$K_1$ 中的事件 $(x_1, t_1)$,在 $K_2$ 中的坐标是 $((x_1-vt_1)/\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}, (t_1-\frac{v}{c^2}x_1)/\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}})$.这就是一维空间中的洛伦兹变换

3. 钟慢效应和双生子悖论

   我们依然考虑火车系 $K_2$ 和铁轨系 $K_1$.在两个参考系的空间原点处放一只钟表,精确地记录着流逝的时间.火车上的钟表由于跟着火车一起运动,从铁轨系的视角来看,它的坐标随着时间 $t_1$ 变化:$(vt_1, t_1)$.应用上一节的结论,可以计算出该钟表在火车系中的坐标:$(0, t_1\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}})$.空间坐标恒为零是肯定的,因为我们把它挂在了火车的原点上;时间坐标正比于 $t_1$,但是乘以了一个小于 $1$ 的因子 $\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$.也就是说,在 $K_1$ 看来,火车上的时间始终要过得比 $K_1$ 中慢.

   两个坐标系并没有哪个更特殊,所以可以简单地把钟慢效应理解为:以速度 $v$ 运动的物体,其时间的流逝速度只有静止观察者手上那块表的时间流逝速度的 $\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$.这里的时间流逝是最基本的物理性质,意味着如果一艘飞船相对你运动,在你看来飞船上的一切物理活动都变慢了,化学反应速率也以相同的比例变慢,质子衰变的速率也如此.

   基于这个效应,人们自然提出了一个问题:如果有一对同年同月同日生的双生子,一个人留在地球上,另一个人乘飞船高速远航.若干年后宇航双生子回到地球,两人拥抱在一起.这时候,谁的年龄更大?

   对于此问题的解答,请参见双生子佯谬词条.


1. ^ 注意,我们已经声明过将同时同地的事件都看作同一个,因此此处的 “独立事件” 不可能是同时同地的.
2. ^ 直接由尺缩效应得.$x_1-vt_1$ 部分是在 $K_1$ 中看到的 $K_2$ 的原点和待观测事件的距离.
3. ^ 可以用 $\frac{x_1+t_1c}{2}$ 代替 $x_1$,$\frac{x_1+t_1c}{2c}$ 代替 $t_1$,代入 $(x_1-vt_1)/\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ 得到.

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