自然单位制 普朗克单位制

             

预备知识 原子单位制

  1在高能物理和场论中,我们往往使用一套无量纲单位制,使得普朗克常数 $\hbar = 1$ 真空光速 $c = 1$,万有引力常数 $G = 1$ 以及玻尔兹曼常数 $k_B = 1$.这个单位制也称为普朗克单位制(Plank units).下面我们来进行说明,首先给出和国际单位制之间的转换常数:

表1:自然单位制的换常数,括号表示最后两位的误差,不带括号的是精确值.参考 “物理学常数”.
物理量 转换常数 $\beta$ 数值(国际单位)
长度 $x$ $\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}}$ $1.616255(18) \times 10^{-35} $
质量 $m$ $\sqrt{\dfrac{\hbar c}{G}}$ $2.176434(24) \times 10^{-8} $
时间 $t$ $\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^5}}$ $5.391247(60) \times 10^{-44} $
速度 $v$ $c$ $299792458$
力 $F$ $\dfrac{c^4}{G}$ $1.210256(27) \times 10^{44} $
能量 $E$ $\sqrt{\dfrac{c^5\hbar}{G}}$ $1.956082(22) \times 10^{9} $
角动量 $L$ $\hbar$ $1.054571817646156\ldots \times 10^{-34} $
电荷 $q$ $2\sqrt{\pi\epsilon_0 c\hbar}$ $1.87554603778(14) \times 10^{-18} $
电场 $\mathcal E$ $\dfrac{1}{2G}\sqrt{\dfrac{c^7}{\pi\epsilon_0 \hbar}}$ $6.4528172(14) \times 10^{61} $
磁感应强度 $B$ $\dfrac{1}{2G}\sqrt{\dfrac{c^5}{\pi\epsilon_0 \hbar}}$ $2.15242811(48) \times 10^{53} $
温度 $T$ $\dfrac{1}{k_B}\sqrt{\dfrac{c^5\hbar}{G}}$ $1.41678443(16) \times 10^{32} $

1. 推导

   我们先来确定三个基本转换常数 $\beta_x, \beta_m, \beta_t$.在 “原子单位制” 的一开始,为了使 $\beta_L = \hbar$(也就是所谓的 “令 $\hbar = 1$”),我们得到(式 1

\begin{equation} \beta_t = \frac{\beta_m \beta_x^2}{\hbar} \end{equation}

   现在为了让 $c = 1$,即规定速度的转换常数为光速 $\beta_v = c$.如果我们希望满足 $x = vt$,那么必须有

\begin{equation} \beta_x = \beta_v \beta _t = c\beta_t \end{equation}
至此 $\beta_x, \beta_m, \beta_t$ 中只剩一个自由度.

   为了确定力的量纲,令牛顿定律形式不变 $F = ma$,则

\begin{equation} \beta_F = \frac{\beta_m \beta_x}{\beta_t^2} \end{equation}
再令万有引力公式为(“令引力常数 $G = 1$”,见例 2
\begin{equation} F = \frac{m_1 m_2}{r^2} \end{equation}
则有
\begin{equation} \beta_x^3 = G \beta_m \beta_t^2 \end{equation}
联立式 1 式 2 式 5 就可以求出 $\beta_x, \beta_m, \beta_t$(表 1 ).另外也顺便定义了 $\beta_F$.

2. 另一种思路

   严格来说普朗克单位制中,所有转换常数都使用 $c, G, \hbar, k_B$ 来定义.例如普朗克长度(Plank length)

\begin{equation} \beta_x = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} \end{equation}
这是 $\hbar, G, c$ 使用幂的乘积拼凑出长度量纲的唯一组合:令 $\beta_x = \hbar^a G^b c^c k_B^d$ 即可解出 $a = b = 1/2$,$c = -3/2$,$d = 0$.其他的物理量的转换常数也同理可得.

3. 电磁常数

预备知识 洛伦兹力

   普朗克单位制并不规定电磁学常数,但为了方便我们可以创造一套.令以下公式成立($\epsilon_0 = 1/(4\pi), \mu_0 = 4\pi$)

\begin{align} &F = \frac{q_1q_2}{r^2} \qquad (\text{库仑定律})\\ & \boldsymbol{\mathbf{F}} = q( \boldsymbol{\mathbf{\mathcal E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \qquad (\text{广义洛伦兹力}) \end{align}

4. 热学

   国际单位中温度的定义可以根据理想气体中分子的平均动能.而自然单位中,令($k_B = 1$)

\begin{equation} \bar E_k = \frac{3}{2} T \end{equation}
\begin{equation} \beta_T = \beta_E/k_B \end{equation}


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面 以及 普朗克单位制

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