张量的对称化和交错化

贡献者：零穹

预备知识 1　张量的坐标，置换群

　　张量可按选出来的共变或逆变指标的集合来讨论对称性和斜对称性。由于张量的共变和逆变指标的对称性（即共边和逆变或矢量和对偶矢量的区别仅在于原矢量空间的选择），在讨论张量的对称性和斜对称性时可直接将张量限制在 $(p, 0)$ 型或 $(0, p)$ 型张量，而不减少一般性。比如：讨论张量 $T^{i_{1} i_{2} \dots i_{p}}$ 和 ${S_{i_{1}}}^{i_{2} \dots i_{p}}$ 在指标 ${i_{1}, i_{2}}$ 上的对称性质没有任何区别，只需将 $T$ 的上指标 $i_{1}$ 当作下指标即可移值到张量 $S$ 。故在本文里，我们总是将张量限制为 $(p, 0)$ 型张量。并且讨论的是这 $p$ 个指标的对称性和斜对称性，而不是它的一部分（因为在讨论某些指标的（斜）对称性质的时候，只需将其它指标当作固定的就变成这里讨论的情形）。

　　本节将引入对称化映射和交错化映射，并证明在这两映射作用下，张量将变为对称张量和斜对称张量。张量的对称性和斜对称性的概念事实上已在对称/反对称多线性映射中指出。

1. 张量的对称化

　　设 $T \in T_{p}^{0} (V)$ （定义 2 ），即

\begin{matrix} (1) & T = \sum_{i_{1}, \dots, i_{p}} T_{i_{1}, \dots, i_{p}} e^{i_{1}} \otimes \dots \otimes e^{i_{p}}, \end{matrix}

而

S_{p}

是作用在指标集合

{1, 2, \dots, p}

上的

p

阶置换群。

　　对任意置换 $π \in S_{p}$ ，定义映射：

\begin{matrix} (2) & f_{π} (T) (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{p}) := T (x_{π 1}, \dots, x_{π p}), \end{matrix}

其中，

x_{i}

是以

i

为指标的矢量。

定理 1　

　　 $\forall π, σ \in S_{p}$ 都有

\begin{matrix} (3) & f_{π} (T) \in T_{p}^{0}, \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & f_{π} \circ f_{σ} = f_{π σ}, \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & f_{π} (T) = \sum_{i_{1} \dots i_{p}} T_{i_{π 1} \dots i_{π p}} e^{i_{1}} \otimes \dots \otimes e^{i_{p}} . \end{matrix}

上式等价于

\begin{matrix} (6) & f_{π} (T) = \sum_{i_{1} \dots i_{p}} T_{i_{1} \dots i_{p}} e^{i_{π^{- 1} 1}} \otimes \dots \otimes e^{i_{π^{- 1} p}} . \end{matrix}

　　 证明：

　　 1。 $f_{π} (T) \in T_{p}^{0}$

　　不失一般性，设 $π k = 1$ ，那么由式 2

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} f_{π} (T) (α x_{1} + β y_{1}, x_{2}, \dots, x_{p}) & = T (x_{π 1}, \dots, α x_{1} + β y_{1}, \dots, x_{π p}) \\ = α T (x_{π 1}, \dots, x_{1}, \dots, x_{π p}) + β T (x_{π 1}, \dots, y_{1}, \dots, x_{π p}) \\ = α f_{π} (T) (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{p}) + β f_{π} (T) (y_{1}, x_{2}, \dots, x_{p}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　 2. $f_{π} \circ f_{σ} = f_{π σ}$

　　由式 2 和函数的复合，有

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} f_{π} \circ f_{σ} (T) (x_{1}, \dots, x_{p}) & = f_{π} (f_{σ} (T)) (x_{1}, \dots, x_{p}) \\ = f_{σ} (T) (x_{π 1}, \dots, x_{π p}) \\ = T (x_{π σ 1}, \dots, x_{π σ p}) \\ = f_{π σ} (T) (x_{1}, \dots, x_{p}) . \end{aligned} \end{matrix}

上面第三个等式来源于式 2 ，注意式 2 中左边括号内的变量从左到右恒为按从 1 开始依次增大的顺序编号的。

　　 3.式 5 ，式 6 的证明：

　　由张量坐标的定义（定义 1 ）

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} f_{π} (T)_{i_{1} \dots i_{p}} & = f_{π} (T) (e_{i_{1}}, \dots, e_{i_{p}}) = T (e_{i_{π 1}}, \dots, e_{i_{π p}}) = T_{i_{π 1} \dots i_{π p}} . \end{aligned} \end{matrix}

于是由定理 1 ，即得式 5 ，将式 5 指标中的

i

换为

π^{- 1} i

，即得式 6 。

　　 证毕！

　　若设 $f_{π} (α T + β T^{'}) = α f (T) + β f_{π} (T^{'})$ ，则任意 $π \in S_{p}$ 引导出非退化的线性算子 $f_{π} : T_{p}^{0} \to T_{p}^{0}$ 。

定义 1　对称，对称化

　　称 $(p, 0)$ 型张量 $T$ 是对称的，如果 $\forall π \in S_{p}$ 都有 $f_{π} (T) = T$ 。称映射

\begin{matrix} (10) & S = \frac{1}{p!} \sum_{π \in S_{p}} f_{π} : T_{p}^{0} \to T_{p}^{0} \end{matrix}

为

T_{p}^{0} (V)

上矢量的对称化映射。

定理 2　张量的对称化

　　每个张量经 $S$ 的作用后都是对称的，即 $\forall π \in S_{p}$ ，都有 $f_{π} (S (T)) = S (T)$ 。

　　 证明：

\begin{matrix} (11) & f_{π} (S (T)) = \frac{1}{p!} \sum_{σ \in S_{p}} f_{π} (f_{σ} (T)) = \frac{1}{p!} \sum_{σ \in S_{p}} f_{π σ} (T) . \end{matrix}

由于

S_{p}

是个群，则其上任一个元素

π

都是其上的一个双射。即当

σ

取遍

S_{p}

时，

π σ

也取遍

S_{p}

。所以上式变为

\begin{matrix} (12) & f_{π} (S (T)) = \frac{1}{p!} \sum_{τ \in S_{p}} f_{τ} (T) = S (T) . \end{matrix}

证毕！

习题 1　

　　试证明： $T_{p}^{0} (V)$ 上所有对称张量构成一个子空间（矢量空间）。

定义 2　对称张量子空间

　　 $T_{p}^{0} (V)$ 中全体对称张量构成的子空间记作 $T_{p}^{+} (V)$ 。

习题 2　

　　试证明：若 $T \in T_{p}^{+} (V)$ ，则 $S (T) = T$ 。

　　由于 $T_{p}^{0}$ 型张量共 $p$ 个指标，每个指标所在处需放一个数字，这些数字在 ${1, \dots, n}$ 中选取。对 $T_{p}^{0}$ 的对称张量，独立分量的个数相当于从 $n$ 个数字中一次选 $p$ 个的重复组合（定义 6 ），该个数为 $(\begin{aligned} n + p - 1 \\ p \end{aligned})$ 。

2. 张量的交错化

预备知识 2　置换的奇偶性

定义 3　斜对称张量

　　称张量 $T$ 是斜对称（反对称）的，若 $\forall π \in S_{p}$ ，都有

\begin{matrix} (13) & f_{π} (T) = ϵ_{π} T, \end{matrix}

其中

ϵ_{π}

是置换

π

的（奇偶性）符号。

　　式 13 等价为

\begin{matrix} (14) & f_{τ} (T) = - T, \end{matrix}

其中，

τ

是

S_{p}

上的对换。

例 1　

　　式 13 和式 14 等价性的证明

　　 证明： 根据定理 1 ，置换都可分解成轮换的乘积，而由定理 2 ，轮换都可分解成对换的乘积，而奇偶性不变，即最终置换都能写成对换的乘积，而奇偶性不变，而对换都是奇置换，那么由式 13 可得式 14 ；同样由式 14 ，任意对换 $τ$ 的符号 $ϵ_{τ} = - 1$ ，那么对任意置换 $π$ ，有

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} π = τ_{1} \dots τ_{2 n} & (π 为偶置换) \\ π = τ_{1} \dots τ_{2 n + 1} & (π 为奇置换), \end{aligned} \end{matrix}

于是由式 4 和式 14

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} f_{π} (T) = f_{τ_{1}} \dots f_{τ_{2 n}} (T) = (- 1)^{2 n} T = ϵ_{π} T & (π 是偶置换) \\ f_{π} (T) = f_{τ_{1}} \dots f_{τ_{2 n + 1}} (T) = (- 1)^{2 n + 1} T = ϵ_{π} T & (π 是奇置换) . \end{aligned} \end{matrix}

即由式 14 得到式 13

　　 证毕！

习题 3　

　　试证明：若 $T$ 是斜对称的，则 $T_{i_{π 1} \dots i_{π p}} = ϵ_{π} T_{i_{1} \dots i_{p}}$ ，特别的， $T_{i_{1} \dots i_{p}}$ 在任两指标相同时为 0。

　　由习题 3 ，对于 $p$ 个数字构成的所有排列中，只要确定了一个排列下的坐标即可。而 $p$ 个指标中有两个相同则该坐标为 0，所以独立的坐标个数相当于从 $n$ 个数中选择 $p$ 个不同的数的个数，即共有 $(\begin{aligned} n \\ p \end{aligned})$ 个独立的指标。

定义 4　张量的交错化

　　称映射

\begin{matrix} (17) & A = \frac{1}{p!} \sum_{π \in S_{p}} ϵ_{π} f_{π} : T_{p}^{0} (V) \to T_{p}^{0} (V) \end{matrix}

为

T_{p}^{0} (V)

上矢量的交错化映射。

定理 3　

　　 $T_{p}^{0} (V)$ 上所有斜对称张量的集合构成 $T_{p}^{0} (V)$ 的一个子空间。

　　 证明：结合律、单位元显然，封闭性证明如下：

\begin{matrix} (18) & \begin{aligned} f_{π} P = ϵ_{π} P, & f_{π} R = ϵ_{π} R \\ ⇓ \\ f_{π} (α P + β R) & = α f_{π} P + β f_{π} R \\ = α ϵ_{π} P + β ϵ_{π} R . \end{aligned} \end{matrix}

斜对称张量的逆元由

f_{π}

的线性易证也是斜对称张量。

　　 证毕！

定义 5　斜对称张量子空间

　　 $T_{p}^{0} (V)$ 上所有斜对称张量构成的子空间记作 $Λ^{p} (V^{*})$ 。

　　之所以记作 $Λ^{p} (V^{*})$ 而非 $Λ^{p} (V)$ 是因为 $Λ^{p} (V^{*})$ 的元素是 $p$ 个 $V^{*}$ 上的元素的张量积， $V^{*}$ 就暗示了这一点，而 $Λ^{p} (V)$ 则是 $T_{0}^{p} (V)$ 的斜对称张量子空间。

定理 4　

　　交错化映射 $A$ 是个线性算子，且满足：

$A^{2} = A$ ;
$Im A = Λ^{p} (V^{*})$ ;
$A f_{σ} = f_{σ} A = ϵ_{σ} A$ 。

　　 证明：1.由式 17

\begin{matrix} (19) & \begin{aligned} A^{2} & = \frac{1}{(p!)^{2}} \sum_{σ, π \in S_{p}} ϵ_{σ} ϵ_{π} f_{σ} \circ f_{π} = \frac{1}{(p!)^{2}} \sum_{σ, π \in S_{p}} ϵ_{σ π} f_{σ π} \end{aligned} . \end{matrix}

由于对任意

ρ \in S_{p}

，任选

σ \in S_{p}

，都有

π = σ^{- 1} ρ

，使得

ρ = σ π

。而每个

ρ

都是

S_{p}

上的双射，所以表示成

ρ = σ π

的

σ

和

π

一一对应，而

σ

共能取

| S_{p} | = p!

个，那么每一个

ρ

都有

p!

种方式被表达成

σ π

的形式。所以，若提取出式 19 中的

σ π = ρ

的项，其系数就是

p!

，因此

\begin{matrix} (20) & A^{2} = \frac{1}{(p!)} \sum_{ρ \in S_{p}} ϵ_{ρ} f_{ρ} = A . \end{matrix}

　　 2。注意 ${ϵ_{σ}}^{2} = 1$

\begin{matrix} (21) & f_{σ} (A (T)) = \frac{1}{p!} \sum_{π \in S_{p}} ϵ_{π} f_{σ} (f_{π} (T)) = ϵ_{σ} \frac{1}{p!} \sum_{π \in S_{p}} ϵ_{σ π} f_{σ π} (T) = ϵ_{σ} A (T), \end{matrix}

所以

Im A \subset Λ^{p} (V^{*})

。另外，任意

T \in Λ_{p} (V^{*})

，都有

\begin{matrix} (22) & A (T) = \frac{1}{p!} \sum_{π \in S_{p}} ϵ_{π} f_{π} (T) = \frac{1}{p!} \sum_{π \in S_{p}} T = T, \end{matrix}

即

T \in Im A \Rightarrow Λ_{p} (V^{*}) \subset Im A

。故

Im A = Λ^{p} (V^{*})

。

　　 3。由式 21 ， $f_{σ} A = ϵ_{σ} A$ 。同样的易证 $A f_{σ} = ϵ_{σ} A$ ，故 $A f_{σ} = f_{σ} A = ϵ_{σ} A$ 。

　　 证毕！

　　定理 4 的第 2 条说明在 $A$ 的作用下张量变为斜对称张量。

定理 5　

　　对任意张量 $Q \in T_{q}^{0} (V), R \in T_{r}^{0} (V)$ ，成立

\begin{matrix} (23) & A (A (Q) \otimes R) = A (Q \otimes A (R)) = A (Q \otimes R) . \end{matrix}

　　 证明：由定义 4 ，并注意 $A (Q) \in T_{q}^{0} (V), R \in T_{r}^{0} (V) \Rightarrow A (Q) \otimes R \in T_{q + r}^{0} (V)$ 得

\begin{matrix} (24) & A (A (Q) \otimes R) = \frac{1}{(q + r)!} \sum_{π \in S_{q + r}} ϵ_{π} f_{π} (A (Q) \otimes R) . \end{matrix}

利用

A

的线性性，得到

\begin{matrix} (25) & A (A (Q) \otimes R) = \frac{1}{q!} \sum_{π \in S_{q}} ϵ_{π} A (f_{π} (Q) \otimes R) . \end{matrix}

　　定义嵌入映射 $φ : S_{q} \to S_{q + r}$ ，并记 $\tilde{π} = φ (π)$ ，其作用规则为

\begin{matrix} (26) & \tilde{π} i = {\begin{aligned} π i & (i \leq p) \\ i & (i > p), \end{aligned} \end{matrix}

那么，

f_{π} (Q) \otimes R = f_{\tilde{π}} (Q \otimes R)

，从而由定理 4 ，式 25 可写成（注意

ϵ_{\tilde{π}} = ϵ_{π}

）

\begin{matrix} (27) & \begin{aligned} A (A (Q) \otimes R) & = \frac{1}{q!} \sum_{π \in S_{q}} ϵ_{π} A (f_{\tilde{π}} (Q \otimes R)) \\ = \frac{1}{q!} \sum_{π \in S_{q}} ϵ_{π}^{2} A (Q \otimes R) \\ = A (Q \otimes R) . \end{aligned} \end{matrix}

同理，

A (Q \otimes A (R)) = A (Q \otimes R)

。

　　 证毕！

定义 6　外 $p$ 形式， $p$ 矢量

　　称共变的斜对称张量，即 $Λ^{p} (V^{*})$ 的元素为 外 $p$ 形式或 $V$ 上的 $p$ 次外形式（exterior form）。而称反变的斜对称张量，即 $Λ^{p} (V)$ 的元素为 $p$ 矢量。

　　这里， $Λ^{p} (V^{*})$ 的元素叫作 “p 次外形式”，表示的是它是 $V$ 的 $p$ 次函数，而 “函数” 通常也称作 “型”（定义 2 ），“型” 或 “形式” 都是对应英文 “form”。而 $Λ^{p} (V)$ 的元素为称为 $p$ 矢量，可理解成它是 $p$ 个 $V$ 上矢量的张量积。只不过这些专门的术语是对斜对称来说的。

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张量的对称化和交错化

1. 张量的对称化

定理 1

定义 1 对称，对称化

定理 2 张量的对称化

习题 1

定义 2 对称张量子空间

习题 2

2. 张量的交错化

定义 3 斜对称张量

例 1

习题 3

定义 4 张量的交错化

定理 3

定义 5 斜对称张量子空间

定理 4

定理 5

定义 6 外 p 形式，p 矢量

定理 1　

定义 1　对称，对称化

定理 2　张量的对称化

习题 1　

定义 2　对称张量子空间

习题 2　

定义 3　斜对称张量

例 1　

习题 3　

定义 4　张量的交错化

定理 3　

定义 5　斜对称张量子空间

定理 4　

定理 5　

定义 6　外 $p$ 形式， $p$ 矢量