张量的对称化和交错化

                     

贡献者: 零穹

预备知识 张量的坐标,置换群

   张量可按选出来的共变或逆变指标的集合来讨论对称性和斜对称性.由于张量的共边和逆变指标的对称性(即共边和逆变或矢量和对偶矢量的区别仅在于原矢量空间的选择),在讨论张量的对称性和斜对称性时可直接将张量限制在 $(p,0)$ 型或 $(0,p)$ 型张量,而不减少一般性.比如:讨论张量 $T^{i_1 i_2\cdots i_p}$ 和 ${S_{i_1}}^{i_2\cdots i_p}$ 在指标 $\{i_1,i_2\}$ 上的对称性质没有任何区别,只需将 $T$ 的上指标 $i_1$ 当作下指标即可移值到张量 $S$.故在本词条里,我们总是将张量限制为 $(p,0)$ 型张量.并且讨论的是这 $p$ 个指标的对称性和斜对称性,而不是它的一部分(因为在讨论某些指标的(斜)对称性质的时候,只需将其它指标当作固定的就变成这里讨论的情形).

   本节将引入对称化映射和交错化映射,并证明在这两映射作用下,张量将变为对称张量和斜对称张量.张量的对称性和斜对称性的概念事实上已在多重线性映射中指出.

1. 张量的对称化

   设 $T\in \mathbb{T}_p^0(V)$(定义 2 ),即

\begin{equation} T=\sum_{i_1,\cdots,i_p}T_{i_1,\cdots,i_p}e^{i_1}\otimes\cdots\otimes e^{i_p} \end{equation}
而 $S_p$ 是作用在指标集合 $\{1,2,\cdots,p\}$ 上的 $p$ 阶置换群

   对任意置换 $\pi\in S_p$,定义映射:

\begin{equation} f_\pi(T)(x_1,x_2,\cdots,x_p):=T(x_{\pi1},\cdots,x_{\pi p}) \end{equation}
其中,$x_i$ 是以 $i$ 为指标的矢量.

定理 1 

   $\forall \pi,\sigma\in S_p$ 都有

\begin{equation} f_{\pi}(T)\in\mathbb{T}_p^0 \end{equation}
\begin{equation} f_\pi \circ f_\sigma=f_{\pi\sigma} \end{equation}
\begin{equation} f_{\pi}(T)=\sum_{i_1\cdots i_p}T_{i_{\pi1}\cdots i_{\pi p}}e^{i_1}\otimes\cdots\otimes e^{i_p} \end{equation}
上式等价于
\begin{equation} f_{\pi}(T)=\sum_{i_1\cdots i_p}T_{i_1\cdots i_p}e^{i_{\pi^{-1}1}}\otimes\cdots\otimes e^{i_{\pi^{-1}p}} \end{equation}

   证明:

   1.$f_\pi(T)\in\mathbb{T}_p^0$

   不失一般性,设 $\pi k=1$,那么由式 2

\begin{equation} \begin{aligned} f_\pi(T)(\alpha x_1+\beta y_1,x_2,\cdots,x_p)&=T(x_{\pi1},\cdots,\alpha x_1+\beta y_1,\cdots,x_{\pi p})\\ &=\alpha T(x_{\pi1},\cdots,x_1,\cdots,x_{\pi p})+\beta T(x_{\pi1},\cdots,y_1,\cdots,x_{\pi p})\\ &=\alpha f_{\pi}(T)(x_1,x_2,\cdots,x_p)+\beta f_{\pi}(T)(y_1,x_2,\cdots,x_p) \end{aligned} \end{equation}

   2. $f_\pi \circ f_\sigma=f_{\pi\sigma}$

   由式 2 和函数的复合,有

\begin{equation} \begin{aligned} f_\pi\circ f_\sigma(T)(x_1,\cdots,x_p)&=f_\pi\circ T(x_{\sigma1},\cdots,x_{\sigma p})=f_\pi(T)(x_{\sigma1},\cdots,x_{\sigma p})\\ &=T(x_{\pi\sigma1},\cdots,x_{\pi\sigma p})=f_{\pi\sigma}(T)(x_1,\cdots,x_p) \end{aligned} \end{equation}

   3.式 5 式 6 的证明:

   由张量坐标的定义(定义 1

\begin{equation} \begin{aligned} f_{\pi}(T)_{i_1\cdots i_p}&=f_{\pi}(T)(e_{i_1},\cdots,e_{i_p})=T(e_{i_{\pi1}},\cdots,e_{i_{\pi p}})=T_{i_{\pi1}\cdots i_{\pi p}} \end{aligned} \end{equation}
于是由定理 1 ,即得式 5 ,将式 5 指标中的 $i$ 换为 $\pi^{-1} i$,即得式 6

   证毕!

   若设 $f_\pi(\alpha T+\beta T')=\alpha f(T)+\beta f_\pi(T')$,则任意 $\pi \in S_p$ 引导出非退化的线性算子 $f_\pi:\mathbb{T}_p^0\rightarrow\mathbb{T}_p^0$.

定义 1 对称,对称化

   称 $(p,0)$ 型张量 $T$ 是对称的,如果 $\forall \pi\in S_p$ 都有 $f_{\pi}(T)=T$.称映射

\begin{equation} S=\frac{1}{p!}\sum_{\pi\in S_p} f_\pi:\mathbb{T}_p^0\rightarrow\mathbb{T}_p^0 \end{equation}
为 $\mathbb{T}_p^0(V)$ 上矢量的对称化映射.

定理 2 张量的对称化

   每个张量经 $S$ 的作用后都是对称的,即 $\forall \pi\in S_p$,都有 $f_\pi(S(T))=S(T)$.

   证明:

\begin{equation} f_\pi(S(T))=\frac{1}{p!}\sum_{\sigma\in S_p} f_\pi(f_\sigma(T))=\frac{1}{p!}\sum_{\sigma\in S_p} f_{\pi\sigma}(T) \end{equation}
由于 $S_p$ 是个群,则其上任一个元素 $\pi$ 都是其上的一个双射.即当 $\sigma$ 取遍 $S_p$ 时,$\pi\sigma$ 也取遍 $S_p$.所以上式变为
\begin{equation} f_\pi(S(T))=\frac{1}{p!}\sum_{\tau\in S_p} f_{\tau}(T)=S(T) \end{equation}
证毕!

习题 1 

   试证明:$\mathbb{T}_p^0(V)$ 上所有对称张量构成一个子空间(矢量空间).

定义 2 对称张量子空间

   $\mathbb{T}_p^0(V)$ 中全体对称张量构成的子空间记作 $\mathbb{T}_p^+(V)$.

习题 2 

   试证明:若 $T\in\mathbb{T}_p^+(V)$,则 $S(T)=T$.

   由于 $\mathbb{T}_p^0$ 型张量共 $p$ 个指标,每个指标所在处需放一个数字,这些数字在 $\{1,\cdots,n\}$ 中选取.对 $\mathbb{T}_p^0$ 的对称张量,独立分量的个数相当于从 $n$ 个数字中一次选 $p$ 个的重复组合(定义 6 ),该个数为 $ \left(\begin{aligned} &n+p-1\\&\qquad p \end{aligned} \right) $.

2. 张量的交错化

预备知识 置换的奇偶性

定义 3 斜对称张量

   称张量 $T$ 是斜对称(反对称)的,若 $\forall \pi\in S_p$,都有

\begin{equation} f_\pi(T)=\epsilon_\pi T \end{equation}
其中 $\epsilon_\pi$ 是置换 $\pi$ 的(奇偶性)符号.

   式 13 等价为

\begin{equation} f_\tau(T)=-T \end{equation}
其中,$\tau$ 是 $S_p$ 上的对换.

例 1 

   式 13 式 14 等价性的证明

   证明: 根据定理 1 ,置换都可分解成轮换的乘积,而由定理 2 ,轮换都可分解成对换的乘积,而奇偶性不变,即最终置换都能写成对换的乘积,而奇偶性不变,而对换都是奇置换,那么由 式 13 可得式 14 ;同样由式 14 ,任意对换 $\tau$ 的符号 $\epsilon_\tau=-1$,那么对任意置换 $\pi$,有

\begin{equation} \begin{aligned} &\pi=\tau_1\cdots\tau_{2n}, \quad &\text{ $\pi$ 为偶置换}\\ &\pi=\tau_1\cdots\tau_{2n+1}, &\quad \text{ $\pi$ 为奇置换} \end{aligned} \end{equation}
于是由式 4 式 14
\begin{equation} \begin{aligned} &f_\pi(T)=f_{\tau_1}\cdots f_{\tau_{2n}}(T)=(-1)^{2n}T=\epsilon_\pi T,\quad&\text{$\pi$ 是偶置换}\\ &f_\pi(T)=f_{\tau_1}\cdots f_{\tau_{2n+1}}(T)=(-1)^{2n+1}T=\epsilon_\pi T,\quad&\text{$\pi$ 是奇置换} \end{aligned} \end{equation}
即由式 14 得到式 13

   证毕!

习题 3 

   试证明:若 $T$ 是斜对称的,则 $T_{i_{\pi1}\cdots i_{\pi p}}=\epsilon_\pi T_{i_1\cdots i_p}$,特别的,$ T_{i_1\cdots i_p}$ 在任两指标相同时为 0.

   由习题 3 ,对于 $p$ 个数字构成的所有排列中,只要确定了一个排列下的坐标即可.而 $p$ 个指标中有两个相同则该坐标为 0,所以独立的坐标个数相当于从 $n$ 个数中选择 $p$ 个不同的数的个数,即共有 $\left(\begin{aligned} &n\\ &p \end{aligned}\right)$ 个独立的指标.

定义 4 张量的交错化

   称映射

\begin{equation} A=\frac{1}{p!}\sum_{\pi\in S_p}\epsilon_\pi f_\pi:\mathbb{T}_p^0(V)\rightarrow\mathbb{T}_p^0(V) \end{equation}
为 $\mathbb{T}_p^0(V)$ 上矢量的交错化映射.

定理 3 

   $\mathbb{T}_p^0(V)$ 上所有斜对称张量的集合构成 $\mathbb{T}_p^0(V)$ 的一个子空间.

   证明:结合律、单位元显然,封闭性证明如下:

\begin{equation} \begin{aligned} f_\pi P=\epsilon_\pi P,\quad&f_\pi R=\epsilon_\pi R\\ &\Downarrow\\ f_\pi(\alpha P+\beta R)&=\alpha f_\pi P+\beta f_\pi R\\ &=\alpha \epsilon_\pi P+\beta \epsilon_\pi R \end{aligned} \end{equation}
斜对称张量的逆元由 $f_\pi$ 的线性易证也是斜对称张量.

   证毕!

定义 5 斜对称张量子空间

   $\mathbb{T}_p^0(V)$ 上所有斜对称张量构成的子空间记作 $\Lambda^p(V^*)$.

   之所以记作 $\Lambda^p(V^*)$ 而非 $\Lambda^p(V)$ 是因为 $\Lambda^p(V^*)$ 的元素是 $p$ 个 $V^*$ 上的元素的张量积,$V^*$ 就暗示了这一点,而 $\Lambda^p(V)$ 则是 $\mathbb{T}_0^p(V)$ 的斜对称张量子空间.

定理 4 

   交错化映射 $A$ 是个线性算子,且满足:

  1. $A^2=A$;
  2. $\mathrm{Im} A=\Lambda^p(V^*)$;
  3. $Af_\sigma=f_\sigma A=\epsilon_\sigma A$.

   证明:1.由式 17

\begin{equation} \begin{aligned} A^2&=\frac{1}{(p!)^2}\sum_{\sigma,\pi\in S_p}\epsilon_\sigma\epsilon_\pi f_\sigma\circ f_\pi=\frac{1}{(p!)^2}\sum_{\sigma,\pi\in S_p}\epsilon_{\sigma\pi} f_{\sigma\pi}\\ \end{aligned} \end{equation}
由于对任意 $\rho\in S_p$,任选 $\sigma\in S_p$,都有 $\pi=\sigma^{-1}\rho$,使得 $\rho=\sigma\pi$.而每个 $\rho$ 都是 $S_p$ 上的双射,所以表示成 $\rho=\sigma\pi$ 的 $\sigma$ 和 $\pi$ 一一对应,而 $\sigma$ 共能取 $ \left\lvert S_p \right\rvert =p!$ 个,那么每一个 $\rho$ 都有 $p!$ 种方式被表达成 $\sigma \pi$ 的形式.所以,若提取出式 19 中的 $\sigma\pi=\rho$ 的项,其系数就是 $p!$,因此
\begin{equation} A^2=\frac{1}{(p!)}\sum_{\rho\in S_p}\epsilon_\rho f_\rho=A \end{equation}

   2.注意 ${\epsilon_\sigma}^2=1$

\begin{equation} f_\sigma(A(T))=\frac{1}{p!}\sum_{\pi\in S_p}\epsilon_\pi f_\sigma(f_\pi(T))=\epsilon_\sigma\frac{1}{p!}\sum_{\pi\in S_p}\epsilon_{\sigma\pi} f_{\sigma\pi}(T)=\epsilon_\sigma A(T) \end{equation}
所以 $\mathrm{Im} A\subset\Lambda^p(V^*)$.另外,任意 $T\in\Lambda_p(V^*)$,都有
\begin{equation} A(T)=\frac{1}{p!}\sum_{\pi\in S_p}\epsilon_\pi f_\pi(T)=\frac{1}{p!}\sum_{\pi\in S_p}T=T \end{equation}
即 $T\in \operatorname{Im} A\Rightarrow\Lambda_p(V^*)\subset\mathrm{Im} A$. 故 $\mathrm{Im} A=\Lambda^p(V^*)$.

   3.由式 21 ,$f_\sigma A=\epsilon_\sigma A$.同样的易证 $Af_\sigma=\epsilon_\sigma A$,故 $Af_\sigma=f_\sigma A=\epsilon_\sigma A$.

   证毕!

   定理 4 的第 2 条说明在 $A$ 的作用下张量变为斜对称张量.

定理 5 

   对任意张量 $Q\in\mathbb T_q^0(V),R\in\mathbb T_r^0(V)$,成立

\begin{equation} A(A(Q)\otimes R)=A(Q\otimes A(R))=A(Q\otimes R) \end{equation}

   证明:定义 4 ,并注意 $A(Q)\in\mathbb T_q^0(V),R\in\mathbb T_r^0(V)\Rightarrow A(Q)\otimes R\in\mathbb T_{q+r}^0(V)$ 得

\begin{equation} A(A(Q)\otimes R)=\frac{1}{(q+r)!}\sum_{\pi\in S_{q+r}}\epsilon_\pi f_{\pi}(A(Q)\otimes R) \end{equation}
利用 $A$ 的线性性,得到
\begin{equation} A(A(Q)\otimes R)=\frac{1}{q!}\sum_{\pi\in S_q}\epsilon_\pi A(f_{\pi}(Q)\otimes R) \end{equation}

   定义嵌入映射 $\varphi:S_q\rightarrow S_{q+r}$,并记 $\tilde \pi=\varphi(\pi)$,其作用规则为

\begin{equation} \tilde\pi i=\left\{\begin{aligned} &\pi i,\quad &i\leq p\\ &i,\quad &i > p \end{aligned}\right. \end{equation}
那么,$f_\pi(Q)\otimes R=f_{\tilde\pi}(Q\otimes R)$,从而由定理 4 式 25 可写成(注意 $\epsilon_{\tilde\pi}=\epsilon_\pi$)
\begin{equation} \begin{aligned} A(A(Q)\otimes R)&=\frac{1}{q!}\sum_{\pi\in S_q}\epsilon_\pi A(f_{\tilde\pi}(Q\otimes R))\\ &=\frac{1}{q!}\sum_{\pi\in S_q}\epsilon_\pi^2 A(Q\otimes R)\\ &=A(Q\otimes R) \end{aligned} \end{equation}
同理,$A(Q\otimes A(R))=A(Q\otimes R)$.

   证毕!

定义 6 外 $p$ 形式,$p$ 矢量

   称共变的斜对称张量,即 $\Lambda^p(V^*)$ 的元素为 外 $p$ 形式或 $V$ 上的$p$ 次外形式exterior form).而称反变的斜对称张量,即 $\Lambda^p(V)$ 的元素为$p$ 矢量

   这里,$\Lambda^p(V^*)$ 的元素叫作 “p 次外形式”,表示的是它是 $V$ 的 $p$ 次函数,而 “函数” 通常也称作 “型”(定义 3 ),“型” 或 “形式” 都是对应英文 “form”.而 $\Lambda^p(V)$ 的元素为称为 $p$ 矢量,可理解成它是 $p$ 个 $V$ 上矢量的张量积.只不过这些专门的术语是对斜对称来说的.


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