张量的坐标

                     

贡献者: 零穹

  • 本文处于草稿阶段。
预备知识 张量积,多重线性映射

   进行张量分析往往需要选择空间的基底,并用坐标去刻画张量。本节将证明张量所在空间的基底可由基矢之间的张量积表示。

1. 记法约定

   在矢量空间 VV 中选择相互对偶的基底(子节 3

(1)V=e1,,en,V=e1,,en .
这里,按照惯例,空间 V 中的基底指标排列在下方,V 中则在上方。而在对应的坐标中,指标的排列则是对立的,即若 xV,fV,则 x=ixiei,f=ifiei

   我们知道,VV 之间存在自然同构,这使得可以把 φV 和某个矢量 xφV 等同起来。即 xφ(f) 等同于 φ(f),其中 fV

(2)xφ(f)φ(f)=f(xφ) ,
上面 φ(f)=f(xφ) 就是 VV 之间建立的自然同构。

   为了表示这种等同,可记

(3)f(x)=(f,x) .
该记法按时这是一个内积,但来自于不同的空间,并且对于每个变量都是线性的。当 f 固定时,这是 V 上的一个线性函数,而当 x 固定时,就是 V 上的一个线性函数。

定义 1 张量的坐标

   设 T 是一个 (p,q) 型的张量,则

(4)Ti1,,ipj1,,jq:=T(ei1,,eip,ej1,,ejq) ,
称为张量 T 在基底 e1,,en 下的坐标(或分量)。

   在多重线性映射文章中,已经说明了所以的 p 线性映射集合构成一个矢量空间,而张量 (p,q) 型的张量只不过是在 V1==Vp=V,V1==Vq,U=F 时的 (p+q) 线性映射。所以所有的 (p,q) 型张量构成的集合构成一个矢量空间。

定义 2 Tpq(V)

   所有 V(p,q) 型张量构成的集合构成一个矢量空间,记作 Tpq(V)

2. 矢量空间 Tpq(V) 的基

定理 1 

   若 Ti1,,ipj1,,jq 是张量 T 在基底 {e1,,en} 的坐标。而 T1 是如下构建的张量:

(5)T1=i,jTi1,,ipj1,,jqei1eipej1ejq ,
T=T1

   证明:首先,张量由其坐标完全确定,这是因为若张量的坐标 Ti1,,ipj1,,jq 确定了,则对

(6)x1=i1ai1ei1,,xp=ipbipeipu1=j1cj1ej1,,up=jpdjpejp ,
(7)T(x1,,xp,u1,,uq)=i,jTi1,,ipj1,,jqai1bipcj1djp .
而若两张量坐标相同,那么上式表明它们作用于任意相同的矢量和对偶空间的矢量构成的矢量组得到的结果相同,即坐标相同的两张量相等。现在只需要说明 T,T1 的坐标相同即可。

   由式 5 和张量积定义(定义 1 ),得:

(8)T1(ei1,,eip,ej1,,ejq)=Ti1,,ipj1,,jq .

   证毕!

定理 2 Tpq(V) 的基

   设 {e1,,en} 是空间 V 上一个基底,{e1,,en}V 上的对偶基底。那么

(9)ei1eipej1ejq 
构成 Tpq(V) 上的一个基底。

   证明:作线性组合

(10)λi1,,ipj1,,jqei1eipej1ejq=0 .
其中 0Tpq(V) 是零元。那么
(11)λi1,,ipj1,,jq=0(ei1,,eip,ej1,,ejq)=0 
等式最后的 0 是矢量空间所定义在的域 F 上的 0。上式意味着式 9 之间是线性无关的。

   证毕!


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利