张量代数

                     

贡献者: 零穹

  • 子节 3 相应位置缺多项式代数的链接
预备知识 直和(线性空间),张量的对称化和交错化

   这一节将用 $\mathbb T_1^0(V)$ 来构造一个代数 $\mathbb T(V^*)$,其上的乘法为张量积.之所以用 $\mathbb T(V^*)$ 而不用 $T(V)$ 是因为 $\mathbb T_1^0(V)=V^*$,暗示着 $\mathbb T(V^*)$ 的每一子空间 $\mathbb T_p^0(V)$ 是 $p$ 个 $V^*$ 的张量积.

   如下文所示,所寻求的代数为

\begin{equation} \mathbb T(V^*)=\mathbb F\oplus\mathbb T_1^0(V)\oplus\mathbb T_2^0(V)\oplus\cdots \end{equation}
或记
\begin{equation} \mathbb T(V^*)=\bigoplus_{p=0}^\infty\mathbb T_p^0(V) \end{equation}

1. 共变张量代数

   由矢量空间的张量积知道,$\mathbb T_p^0(V)$ 上矢量和 $\mathbb T_q^0(V)$ 上矢量的张量积所在的空间为 $\mathbb T_{p+q}^0(V)$.所以要 $\mathbb T_1^0(V)$ 构造的代数其乘法为张量积,那么该代数需包含矢量空间 $\mathbb T_2^0(V)$.于是该代数需包含子空间 $\mathbb T_1^0(V)\oplus\mathbb T_2^0(V) $

   考虑到张量积的单位元为 $1\in\mathbb F$,所以 1 在该代数上,而代数的矢量空间性质要求 $\mathbb F$ 也在该代数上.所以该代数需包含子空间

\begin{equation} \mathbb F\oplus\mathbb T_1^0(V)\oplus\mathbb T_2^0(V) \end{equation}
同理,继续将该矢量空间上进行张量积,可得该代数包含子空间
\begin{equation} \mathbb F\oplus\mathbb T_1^0(V)\oplus\mathbb T_2^0(V)\oplus\mathbb T_3^0(V)\oplus\mathbb T_4^0(V) \end{equation}
重复这一过程,便得所需的代数为
\begin{equation} \mathbb F\oplus\mathbb T_1^0(V)\oplus\mathbb T_2^0(V)\oplus\cdots \end{equation}
由直和的性质知道,该代数上的矢量 $f$ 可记作
\begin{equation} f=\sum_{i=0}^\infty f_i=(f_0,f_1,f_2,\cdots),\quad f_i\in\mathbb T_i^0(V) \end{equation}
其中 $\mathbb T_0^0(V)=\mathbb F$.

   设 $f=\sum\limits_ i f_i,g=\sum\limits_ i g_i$.显然,该代数上的加法

\begin{equation} f+g=\sum_{i}f_i+g_i=(f_0+g_0,f_1+g_1,\cdots) \end{equation}
乘法便是
\begin{equation} f\otimes g=\sum_{i,j}f_i\otimes g_j=\sum_k h_k \end{equation}
其中 $h_k=\sum\limits_{i=0}^k f_i\otimes g_{k-i}$.

   乘法式 8 的结合性和纯量与张量积的乘法定律直接由张量积的运算性质(定理 2 )得到.

定义 1 共变张量代数

   称代数

\begin{equation} \mathbb T(V^*)=\mathbb F\oplus\mathbb T_1^0(V)\oplus\mathbb T_2^0(V)\oplus\cdots \end{equation}
为矢量空间 $V$ 上的共变张量代数,其上的加法和乘法分别由式 7 式 8 定义.

   容易知道,代数 $\mathbb T(V^*)$ 是个无穷维结合代数.

   正如多个 “+” 的求和用 $\sum$ 表示,多个 “$\oplus$” 的直和用 “$\bigoplus$” 表示.所以式 9 可写为

\begin{equation} \mathbb T(V^*)=\bigoplus_{p=0}^\infty\mathbb T_p^0(V) \end{equation}

2. 反变张量代数

   同样的方法可构造 $\mathbb T^1_0(V)$ 上的代数 $\mathbb T(V)$(乘法为张量积).

定义 2 反变张量代数

   称代数

\begin{equation} \mathbb T(V)=\mathbb F\oplus\mathbb T_0^1(V)\oplus\mathbb T_0^2(V)\oplus\cdots \end{equation}
为矢量空间 $V$ 上的反变张量代数

   同样,式 11 可记为

\begin{equation} \mathbb T(V)=\bigoplus_{i=0}^\infty \mathbb T_0^p(V) \end{equation}

3. 其它说明

   由于 $\mathbb T_p^+(V)$ 和 $\Lambda^P(V^*)$ 分别是 $\mathbb T_p^0(V)$ 上的对称和反对称的子空间,那么

\begin{equation} \begin{aligned} &\mathbb T^+(V^*)=\mathbb F\oplus\mathbb T_1^+(V)\oplus\mathbb T_2^+(V)\oplus\cdots\\ &\Lambda(V^*)=\mathbb F\oplus \Lambda^1(V^*)\oplus\Lambda^2(V^*)\oplus\cdots \end{aligned} \end{equation}
是 $\mathbb T(V^*)$ 上的子空间.但它们并不是 $\mathbb T(V^*)$ 的子代数,因为(反)对称张量的张量积一般不再是(反)对称张量,也就是不满足封闭性条件.这就是说,可以在它们上引进一个运算,使其各自成为一个结合代数.对对称子空间的外直和 $\mathbb T^+(V^*)$,它就是通常的多项式代数(链接);对斜对称张量的外直和 $\Lambda(V^*)$,参见外代数


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