张量代数(张量)
贡献者: 零穹; Giacomo
这一节将用 来构造一个代数 ,其上的乘法为张量积。之所以用 而不用 是因为 ,暗示着 的每一子空间 是 个 的张量积。
如下文所示,所寻求的代数为
或记
1. 共变张量代数
由矢量空间的张量积知道, 上矢量和 上矢量的张量积所在的空间为 。所以要 构造的代数其乘法为张量积,那么该代数需包含矢量空间 。于是该代数需包含子空间
考虑到张量积的单位元为 ,所以 1 在该代数上,而代数的矢量空间性质要求 也在该代数上。所以该代数需包含子空间
同理,继续将该矢量空间上进行张量积,可得该代数包含子空间
重复这一过程,便得所需的代数为
由
直和的性质知道,该代数上的矢量 可记作
其中 。
设 。显然,该代数上的加法为
乘法便是
其中 。
乘法式 8 的结合性和纯量与张量积的乘法定律直接由张量积的运算性质(定理 2 )得到。
定义 1 共变张量代数
称代数
为矢量空间 上的
共变张量代数,其上的加法和乘法分别由
式 7 ,
式 8 定义。
容易知道,代数 是个无穷维结合代数。
正如多个 “+” 的求和用 表示,多个 “” 的直和用 “” 表示。所以式 9 可写为
2. 反变张量代数
同样的方法可构造 上的代数 (乘法为张量积)。
定义 2 反变张量代数
称代数
为矢量空间 上的
反变张量代数。
同样,式 11 可记为
3. 其它说明
由于 和 分别是 上的对称和反对称的子空间,那么
是 上的子空间。但它们并不是 的子代数,因为(反)对称张量的张量积一般不再是(反)对称张量,也就是不满足封闭性条件。这就是说,可以在它们上引进一个运算,使其各自成为一个结合代数。对对称子空间的外直和 ,它就是通常的多项式代数(链接);对斜对称张量的外直和 ,参见
外代数。
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