张量代数(张量)

                     

贡献者: 零穹; Giacomo

  • 子节 3 相应位置缺多项式代数的链接
预备知识 直和(线性空间),张量的对称化和交错化

   这一节将用 T10(V) 来构造一个代数 T(V),其上的乘法为张量积。之所以用 T(V) 而不用 T(V) 是因为 T10(V)=V,暗示着 T(V) 的每一子空间 Tp0(V)pV 的张量积。

   如下文所示,所寻求的代数为

(1)T(V)=FT10(V)T20(V) 
或记
(2)T(V)=p=0Tp0(V) .

1. 共变张量代数

   由矢量空间的张量积知道,Tp0(V) 上矢量和 Tq0(V) 上矢量的张量积所在的空间为 Tp+q0(V)。所以要 T10(V) 构造的代数其乘法为张量积,那么该代数需包含矢量空间 T20(V)。于是该代数需包含子空间 T10(V)T20(V)

   考虑到张量积的单位元为 1F,所以 1 在该代数上,而代数的矢量空间性质要求 F 也在该代数上。所以该代数需包含子空间

(3)FT10(V)T20(V) .
同理,继续将该矢量空间上进行张量积,可得该代数包含子空间
(4)FT10(V)T20(V)T30(V)T40(V) .
重复这一过程,便得所需的代数为
(5)FT10(V)T20(V) 
直和的性质知道,该代数上的矢量 f 可记作
(6)f=i=0fi=(f0,f1,f2,)fiTi0(V) ,
其中 T00(V)=F

   设 f=ifi,g=igi。显然,该代数上的加法

(7)f+g=ifi+gi=(f0+g0,f1+g1,) ,
乘法便是
(8)fg=i,jfigj=khk ,
其中 hk=i=0kfigki

   乘法式 8 的结合性和纯量与张量积的乘法定律直接由张量积的运算性质(定理 2 )得到。

定义 1 共变张量代数

   称代数

(9)T(V)=FT10(V)T20(V) 
为矢量空间 V 上的共变张量代数,其上的加法和乘法分别由式 7 式 8 定义。

   容易知道,代数 T(V) 是个无穷维结合代数。

   正如多个 “+” 的求和用 表示,多个 “” 的直和用 “” 表示。所以式 9 可写为

(10)T(V)=p=0Tp0(V) .

2. 反变张量代数

   同样的方法可构造 T01(V) 上的代数 T(V)(乘法为张量积)。

定义 2 反变张量代数

   称代数

(11)T(V)=FT01(V)T02(V) 
为矢量空间 V 上的反变张量代数

   同样,式 11 可记为

(12)T(V)=i=0T0p(V) .

3. 其它说明

   由于 Tp+(V)ΛP(V) 分别是 Tp0(V) 上的对称和反对称的子空间,那么

(13)T+(V)=FT1+(V)T2+(V)Λ(V)=FΛ1(V)Λ2(V) 
T(V) 上的子空间。但它们并不是 T(V) 的子代数,因为(反)对称张量的张量积一般不再是(反)对称张量,也就是不满足封闭性条件。这就是说,可以在它们上引进一个运算,使其各自成为一个结合代数。对对称子空间的外直和 T+(V),它就是通常的多项式代数(链接);对斜对称张量的外直和 Λ(V),参见外代数


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