张量代数（张量）

                     

贡献者： 零穹; Giacomo

　　 这一节将用 ${\mathbb{T}}_1^0(V)$ 来构造一个代数 $\mathbb{T}(V^{\ast })$，其上的乘法为张量积。之所以用 $\mathbb{T}(V^{\ast })$ 而不用 $T(V)$ 是因为 ${\mathbb{T}}_1^0(V)=V^{\ast }$，暗示着 $\mathbb{T}(V^{\ast })$ 的每一子空间 ${\mathbb{T}}_p^0(V)$ 是 $p$ 个 $V^{\ast }$ 的张量积。

　　 如下文所示，所寻求的代数为

或记

1. 共变张量代数

　　 由矢量空间的张量积知道，${\mathbb{T}}_p^0(V)$ 上矢量和 ${\mathbb{T}}_q^0(V)$ 上矢量的张量积所在的空间为 ${\mathbb{T}}_{p+q}^0(V)$。所以要 ${\mathbb{T}}_1^0(V)$ 构造的代数其乘法为张量积，那么该代数需包含矢量空间 ${\mathbb{T}}_2^0(V)$。于是该代数需包含子空间 ${\mathbb{T}}_1^0(V)\oplus {\mathbb{T}}_2^0(V)$

　　 考虑到张量积的单位元为 $1\in \mathbb{F}$，所以 1 在该代数上，而代数的矢量空间性质要求 $\mathbb{F}$ 也在该代数上。所以该代数需包含子空间

同理，继续将该矢量空间上进行张量积，可得该代数包含子空间 重复这一过程，便得所需的代数为 由直和的性质知道，该代数上的矢量 $f$ 可记作 其中 ${\mathbb{T}}_0^0(V)=\mathbb{F}$。

　　 设 $f=\sum _i{f}_i,g=\sum _i{g}_i$。显然，该代数上的加法为

乘法便是 其中 $h_k=\sum _{i=0}^k{f}_i\otimes g_{k-i}$。

　　 乘法式 8 的结合性和纯量与张量积的乘法定律直接由张量积的运算性质（定理 2 ）得到。

　　 容易知道，代数 $\mathbb{T}(V^{\ast })$ 是个无穷维结合代数。

　　 正如多个 “+” 的求和用 $\sum$ 表示，多个 “$\oplus$” 的直和用 “$⨁$” 表示。所以式 9 可写为

2. 反变张量代数

　　 同样的方法可构造 ${\mathbb{T}}_0^1(V)$ 上的代数 $\mathbb{T}(V)$（乘法为张量积）。

　　 同样，式 11 可记为

3. 其它说明

　　 由于 ${\mathbb{T}}_p^{+}(V)$ 和 ${\mathrm{\Lambda }}^P(V^{\ast })$ 分别是 ${\mathbb{T}}_p^0(V)$ 上的对称和反对称的子空间，那么

是 $\mathbb{T}(V^{\ast })$ 上的子空间。但它们并不是 $\mathbb{T}(V^{\ast })$ 的子代数，因为（反）对称张量的张量积一般不再是（反）对称张量，也就是不满足封闭性条件。这就是说，可以在它们上引进一个运算，使其各自成为一个结合代数。对对称子空间的外直和 ${\mathbb{T}}^{+}(V^{\ast })$，它就是通常的多项式代数（链接）；对斜对称张量的外直和 $\mathrm{\Lambda }(V^{\ast })$，参见外代数。