布置、排列、组合

                     

贡献者: 零穹

预备知识 计数原理

  1组合学的一个重要方面在与计数问题.实际上,在很长一段时间里,大多数数学工作者把组合学与 “计数” 当作一回事.“计数” 往往是指找出进行某个确定的运算方法的个数,与之紧密联系的内容便是排列组合.

   “排列” 和 “组合” 这两个术语在高中部分已经熟悉.本节将给予这些概念于一个更完整、更直观的描述,这意味着要建立一些术语,而这些术语给出了这种直观的意义.排列组合在很多方面都有应用,本节的术语将使得这种应用更加直观.

1. 布置 Arrangement

   排列组合的很多应用在于将一定数量的 “物体” 放置在一定数量的 “房间”(盒子)中,下面的定义使得这种应用更加明显.

定义 1 物体、房间、布置

   设 $X,Y$ 是有限集,把 $X$ 的元素叫做物体,把 $Y$ 的元素叫房间.映射 $f:X\rightarrow Y$ 称为物体集合 $X$ 到房间集合 $Y$ 的一种布置(arrangement)

   物体集合 $X$ 到房间集合 $Y$ 的映射 $f:X\rightarrow Y$ 使得 $y_i$ 与 $X$ 的一些元素构成的集合

\begin{equation} \{x|x\in X,f(x)=y_i\} \end{equation}
相对应.称 $f$ 为布置暗示着 $f$ 将 $X$ 中的物体放置或分配到 $Y$ 中的房间内.

   和很多命名一样,关于集合的元素是为了方便人们的记忆和应用.比如研究矢量的集合称为矢量空间,集合中的元素称为矢量;研究点集拓扑学的集合称为拓扑空间,其上的元素称为点.对应的,与组合数学对应的集合分别称为物体(定义域)和房间(值域),而物体到房间的映射称为布置.

   当 $ \left\lvert X \right\rvert =n, \left\lvert Y \right\rvert =m$ 时,每个函数 $f$ 和一个字符串 “$f(x_1)\cdots f(x_n)$” 相对应.往往字符串代表着一个字,比如字 word 是由字母 “w”,“o”,“r”,“d” 构成的,下面的定义给出了这种直观上的意义.

定义 2 字母,字

   设 $X,Y$ 分别是基数为 $ \left\lvert X \right\rvert =n, \left\lvert Y \right\rvert =m$ 的有限集,$f:X\rightarrow Y$ 是 $X$ 到 $Y$ 上的映射,则称 $Y$ 的元素为字母, $f$ 是由 $Y$ 中的字母形成的长度为 $n$ 的一个 $f(x_1)\cdots f(x_n)$.

   上面定义中,$X$ 可看成给出了字的一个顺序.

   通过这些概念,得到以下一些定理.

定理 1 

   设 $X,Y$ 分别是基数为 $ \left\lvert X \right\rvert =n, \left\lvert Y \right\rvert =m$ 的有限集,则映射 $f:X\rightarrow Y$ 的个数等于 $m^n$.

   证明:定义 2 ,$f$ 的个数等于由 $Y$ 中的字母拼成的长度为 $n$ 的字的个数.因为字的第一个字母有 $m$ 种选法,第二个,$\cdots$,第 $n$ 字母也有 $m$ 种选法.由乘法原则(子节 2 ),结果字的个数等于 $\underbrace{m\cdots m}_{n\text{个}}=m^n$.

   证毕!

   将上述定理换成定义 1 的语言,得到:

定理 2 

   $n$ 个物体的集合在 $m$ 个房间的集合里的布置个数为 $m^n$.

   定理 1 就是不管集合 $X,Y$ 是否有限,所有的映射 $f:X\rightarrow Y$ 的集合常记作 $Y^X$ 的原因.

定义 3 有序布置

   设物体集合 $X$ 被布置在房间集合 $Y$ 里,且每个房间可容纳 $X$ 中任意个物体,若改变房间中物体的顺序得到的布置不同,则称这样的布置叫作房间里的有序布置(ordered arrangement).$n$ 个物体在 $m$ 个房间里有序布置的个数记作 $[m]^n$.

定理 3 

   $n$ 个物体在 $m$ 个房间里有序布置的个数 $[m]^n$ 为

\begin{equation} [m]^n=m(m+1)\cdots(m+n-1) \end{equation}

   证明: 记 $T_n$ 为 $n$ 个物体在 $m$ 个房间里的所有有序布置的集合.设 $T_{n-1}$ 是前 $n-1$ 个物体在 $m$ 个房间里的所有有序布置的集合,则 $T_n$ 可以这样构造:将第 $n$ 个物体 $x_n$ 插入到 $T_{n-1}$ 的每一有序布置中得到.

   由于 $T_{n-1}$ 的每一有序布置都可用 $n-1$ 个物体和 $m-1$ 个分隔符表示,其中 $m-1$ 个分隔符将 $n-1$ 个物体分为 $m$ 段,第 $i$ 段对应第 $i$ 个房间内物体的一个有序布置.因此可以用 $(n-1)+(m-1)=n+m-2$ 个记号的序列来表示 $T_{n-1}$ 的一个布置,这些记号标记了这 $n-1$ 个物体和 $m-1$ 个分隔符.

   将 $x_n$ 加入到 $T_{n-1}$ 的每个有序布置中,其可以放在每个记号标记的物体或房间前后,每一种方法都对应 $T_{n}$ 中的不同有序布置.所以 $T_{n-1}$ 的每个有序布置都可产生 $n+m-2+1=n+m-1$ 个 $T_n$ 的有序布置.于是

\begin{equation} \left\lvert T_n \right\rvert =(m+n-1) \left\lvert T_{n-1} \right\rvert \end{equation}
重复这种关系,可得到
\begin{equation} \left\lvert T_n \right\rvert =(m+n-1)(m+n-2)\cdots (m+1) \left\lvert T_1 \right\rvert \end{equation}
由于单个物体在 $m$ 个房间的有序布置个数 $ \left\lvert T_1 \right\rvert =m$,所以
\begin{equation} [m]^n= \left\lvert T_n \right\rvert =m(m+1)\cdots(m+n-1) \end{equation}

   证毕!

2. 排列

定理 4 

   设 $X,Y$ 分别是基数为 $ \left\lvert X \right\rvert =n, \left\lvert Y \right\rvert =m$ 的有限集,则单射 $f:X\rightarrow Y$ 的个数为 $m(m-1)\cdots(m-n+1)$.

   证明:函数 $f$ 的单一性由字的字母是两两不同的这个事实表示.因为字的第一个字母有 $m$ 种选法,第二个字母有 $m-1$ 种选法,$\cdots$,第 $n$ 个字母有从剩下的 $m-n+1$ 个字母中有 $m-n+1$ 中不同选法.由乘法原则,由 $m$ 元集 $Y$ 的 $n$ 个不同字母构成的字的个数为 $m(m-1)\cdots(m-n+1)$.

   证毕!

   同样的,上述定理相当于:

定理 5 

   将 $n$ 个物体的集合在 $m$ 个房间的集合里进行布置,要求每个房间至多包含一个物体的布置个数为 $m(m-1)\cdots(m-n+1)$.

定义 4 排列,全排列

   从 $m$ 元集 $Y$ 的 $n$ 个不同字母构成的字叫作从集合 $Y$ 的 $m$ 个物体每次取 $n$ 个的排列permutation)(或 $m$ 元集 $Y$ 的 $n$ 排列),其个数记为 $[m]_n$ (或 $P(m,n)$),其中 $m\geq n$.若 $m=n$,则 $[n]_n$ 也记作 $P_n$ 或 $n!=1\cdot2\cdots n$,此时的排列称 $n$ 元集 $Y$ 的全排列.

   由定理 5

\begin{equation} [m]_n=P(m,n)=m(m-1)\cdots(m-n+1) \end{equation}

3. 组合

定义 5 增字

   若集合 $Y=\{y_1,y_2,\cdots,y_m\}$ 是个偏序集(子节 4 ),那么称由 $Y$ 的 $n$ 个字母构成的字 $y_{i1}y_{i2}\cdots y_{in}$ 为增字,如果 $y_{i1}\leq y_{i2}\leq\cdots\leq y_{in}$.若 $y_{i1} < y_{i2} < \cdots < y_{in}$,则称字 $y_{i1}y_{i2}\cdots y_{in}$ 为严格增字

定理 6 

   从 $m$ 个字母中选出 $n$ 个构成的增字个数等于 $\frac{[m]^n}{n!}$.

   证明:下面将增字和 $n$ 个物体在 $m$ 个房间里的有序布置联系起来:若房间 $y_i$ 里有选自集合 $\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ 的 $p_i$ 个物体,在构造增字里这个房间 $y_i$ 就写 $p_i$ 次:$\underbrace{y_i\cdots y_i}_{p_i\text{个}}$; 若房间 $y_i$ 不包含物体,$y_i$ 就不出现在增字中.例如(不失一般性设 $y_1\leq y_2\leq\cdots$):

\begin{equation} \begin{aligned} &x_2| x_1 x_3 x_6|x_4 x_5|\quad|x_7\cdots\\ &y_1\quad y_2\qquad y_3\quad y_4\quad y_5 \end{aligned} \end{equation}
对应增字
\begin{equation} y_1y_2y_2y_2y_3y_3y_5\cdots \end{equation}

   这一构造说明每一有序布置都有一增字对应,且哪些物体放在房间里对增字没有影响,而只有房间里的物体个数有意义.即不改变房间物体数的所有布置都对应于每一增字,而不改变房间物体数的有序布置共 $n!$ 个(比如房间 $y_i$ 的物体数有 $p_i$ 个,对于 $n$ 个物体所有可能的排列个数为 $n!$,将每一排列分成 $m$ 段,第 $i$ 段对于房间 $y_i$,且第 $i$ 段的物体数为 $p_i$,这便是保持房间 $y_i$ 的物体数 $p_i$ 不变的所有有序布置),因此每一增字都对应 $n!$ 个有序布置.

   显然对应不同增字的有序布置是不同的,即对应不同增字的有序布置的构成集合是不相交的,而每一有序布置都在这样的某个集合里,即每一增字对应的 $n!$ 个有序布置的集合构成了所有有序布置构成集合的不相交的并集(也称不交并).因此,若设增字的个数为 $x$,则 $x\cdot n!=[m]^n$.

   证毕!

定义 6 重复组合

   从 $m$ 个字母的集合 $Y$ 中选出 $n$ 个构成的增字也叫从 $m$ 个物体的集合 $Y$ 中一次取 $n$ 个的重复组合

定理 7 

   从 $m$ 个字母中取 $n$ 个构成的严格增字的个数为 $\frac{[m]_n}{n!}$.

   证明:定义 4 知道,从 $m$ 个字母的集 $Y$ 中的 $n$ 个不同字母构成的字的集合有 $[m]_n$ 个元素,而这 $[m]_n$ 个字都能由 $Y$ 中的 $n$ 个字母构成的严格增字的集合里,用 $n!$ 种不同的方法排列每个字的字母无重复的得到.因此,若设从 $m$ 个字母中取 $n$ 个构成的严格增字的个数为 $x$,则

\begin{equation} x\cdot n!=[m]_n \end{equation}

   证毕!

   注意 $m$ 元集的 $n$ 元子集的每一个都和一个由该子集中的元素构成的增字一一对应,所以由下面推论.

推论 1 

   $m$ 元集 $Y$ 的 $n$ 元子集个数为 $\frac{[m]_n}{n!}$.

定义 7 组合

   由 $Y$ 中 $n$ 个字母构成的严格增字也叫从 $m$ 个物体的集合 $Y$ 中一次取 $n$ 个的组合(combination),其个数记作 $C_m^n$ 或 $\left(\begin{aligned}&m\\&n\end{aligned}\right)$

   由定理 6

\begin{equation} C_m^n=\left(\begin{aligned} m\\n \end{aligned}\right)=\frac{[m]_n}{n!}=\frac{m!}{(m-n)!n!} \end{equation}

4. 多项式数

定理 8 

   若物体集合 $X=\{x_1,x_2,\cdots x_n\}$ 在房间集合 $Y=\{y_1,y_2,\cdots,y_p\}$ 的布置,使得房间 $y_i$($i=1,\cdots,p$)分别含有 $n_i$ 个物体($\sum_{i}^p n_i=n$).则这样的布置个数为

\begin{equation} \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_p!} \end{equation}

   证明:首先,和定理 6 证明中提到的一样,不改变房间内物体数的有序布置个数为 $n!$,那么在房间中物体顺序无关的布置情形,这 $n!$ 个有序布置中,房间 $y_i$ 内 $n_i$ 个物体的 $n_i !$ 个全排列对应的布置都是同一个,故知该定理对应的布置(与房间中物体顺序无关)个数为

\begin{equation} \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_p!} \end{equation}

   证毕!

定义 8 多项式数

   称数 $\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_p!}$ 为多项式数,并记作 $\left(\begin{aligned} &n\\n_1,n_2,&\cdots,n_p \end{aligned}\right)$.

   多项式数推广了组合数($p=2$ 的情形),并且将二项式公式(式 1 )扩充到一般的多项式中:

\begin{equation} (a_1+\cdots+a_p)^n=\sum_{\begin{aligned} &n_1,\cdots n_p\\ n_1+&\cdots+n_p=n \end{aligned}}\left(\begin{aligned} &n\\n_1,n_2,&\cdots,n_p \end{aligned}\right)a_1^{n_1}\cdots a_p^{n_p} \end{equation}
上式的成立可通过将 $a_1^{n_1}\cdots a_p^{n_p}$ 理解成在第 $i$ 个房间放 $n_i$ 个物体 $a_i$ 得到(相当于在 $n$ 个括号中的 $n_i$ 个里取 $a_i$ 作乘法).


1. ^ I.Tomeson.组合学引论,栾汝书等译.高等教育出版社.1987.


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