张量的外积

贡献者：零穹

预备知识　张量代数，域上的代数

　　张量代数一文最后提到，通过将张量积作为乘法不能使得 $T_{p}^{0} (V)$ 的对称子空间和斜对称子空间的外直和

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} T^{+} (V^{*}) = F \oplus T_{1}^{+} (V) \oplus T_{2}^{+} (V) \oplus \dots \\ Λ (V^{*}) = F \oplus Λ^{1} (V^{*}) \oplus Λ^{2} (V^{*}) \oplus \dots \end{aligned} \end{matrix}

成为

\begin{matrix} (2) & T (V^{*}) = F \oplus T_{1}^{0} (V) \oplus T_{2}^{0} (V) \oplus \dots \end{matrix}

的子代数。这使得可以通过定义其它的乘积，使得这二者各自成为代数。对于斜对称的

Λ (V^{*})

，就是本节强调的重点。使

Λ (V^{*})

成为一个代数的乘法称为外积(wedge)，记号为

\land

，它是通过交错化映射

A

（定义 4 ）定义的，具体便是

\begin{matrix} (3) & Q \land R = A (Q \otimes R) . \end{matrix}

1. 外积

　　事实上，基于张量的对称化和交错化引文处提到的理由，讨论任意张量的对称性和斜对称性，与 $(0, p)$ 型或 $(p, 0)$ 型没有任何区别。为了多样性起见，这里考虑 $(0, p)$ ，即取空间（ $Λ^{p} (V)$ 的定义可见定义 6 后的段落。）

\begin{matrix} (4) & Λ (V) = F \oplus Λ^{1} (V) \oplus Λ^{2} (V) \oplus \dots \end{matrix}

使用定义 6 的术语，

Λ^{p} (V)

的元素称为

p

矢量。

　　交错化映射 $A$ 将 $T_{0}^{p} (V)$ 的张量映射到其上的斜对称张量子空间 $Λ^{p} (V)$ 上（定理 4 ），而 $Λ^{p} (V)$ 都是 $Λ (V)$ 的子空间，因此有可能通过 $A$ 定义一种乘法，使得 $Λ (V)$ 在该乘法下封闭。注意 $Λ (V)$ 上的任意元素 $Q$ 可记作（式 6 ）

\begin{matrix} (5) & Q = \sum_{i = 0}^{\infty} Q_{i} = (Q_{0}, Q_{1}, \dots) Q_{i} \in Λ^{i} (V) . \end{matrix}

　　此时，为了让张量积不跳出 $Λ (V)$ ，我们试着用 $A$ 作用到 $Λ (V)$ 上任意两元素 $Q, R$ 的张量积 $Q \otimes R$ 上：

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} A (Q \otimes R) = A (\sum_{k = 0}^{\infty} h_{k}) = \sum_{k = 0}^{\infty} A (h_{k}), \\ h_{k} = \sum_{i = 0}^{k} Q_{i} \otimes R_{k - i} \in T_{0}^{k} (V) . \end{aligned} \end{matrix}

因此

A (h_{k}) \in Λ^{k} (V)

，即

\begin{matrix} (7) & A (Q \otimes R) = \sum_{k = 0}^{\infty} A (h_{k}) A (h_{k}) \in Λ^{k} (V) . \end{matrix}

注意式 5 ，就有

A (Q \otimes R) \in Λ (V)

。

　　于是通过 $A (Q \otimes R) \in Λ (V)$ 来定义 $Q$ 和 $R$ 的乘法就得到了 $Λ (V)$ 上乘法的封闭性。显然，通过张量积运算的性质， $1 \in F$ 是该乘法的单位元。

定义 1　外积

　　对任意 $q$ 矢量 $Q$ 和任意 $r$ 矢量 $R$ ，运算 $\land : Λ (V) \times Λ (V) \to Λ (V)$ ：

\begin{matrix} (8) & Q \land R = A (Q \otimes R) \end{matrix}

称为

Λ (V)

上的外积运算。

定理 1　外积的性质

　　外积具有以下的性质：

$\begin{matrix} (9) & \land : Λ^{q} (V) \times Λ^{r} (V) \to Λ^{q + r} (V) . \end{matrix}$
双线性：任意 $α, β \in F$ ，有
$\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} Q \land (α R + β T) & = α (Q \land R) + β (Q \land T), \\ (α Q + β S) \land R & = α (Q \land R) + β (S \land R) . \end{aligned} \end{matrix}$
结合性：
$\begin{matrix} (11) & P \land (Q \land R) = (P \land Q) \land R . \end{matrix}$
$\forall λ \in F$ ，都有
$\begin{matrix} (12) & λ (Q \land R) = (λ Q) \land R = Q \land (λ R) . \end{matrix}$
任意 $x_{i_{1}}, \dots, x_{i_{p}} \in V$ ，满足
$\begin{matrix} (13) & x_{i_{π 1}} \land \dots \land x_{i π p} = ϵ_{π} x_{i_{1}} \land \dots \land x_{i_{p}} . \end{matrix}$
$\begin{matrix} (14) & x_{1} \land \dots \land x_{p} = A (x_{1} \otimes \dots \otimes x_{p}) . \end{matrix}$

　　 证明：1。设 $Q$ 为 $q$ 矢量， $R$ 为 $r$ 矢量，那么由定理 2 ， $Q \otimes R \in T_{0}^{q + r}$ 。由定理 4 ，对 $T_{0}^{q + r} (V)$ 上的 $A$ ，其像 $Im A = Λ^{q + r} (V)$ 。于是式 9 成立。

　　 2。由张量积和 $A$ 的线性

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} Q \land (α R + β T) & = A (Q \land (α R + β T)) = A (α Q \otimes R + β Q \otimes T) \\ = α A (Q \otimes R) + β A (Q \otimes T) = α Q \land R + β Q \land T . \end{aligned} \end{matrix}

第 2 式同理。

　　 3。由定理 5

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} (P \land Q) \land R & = A (A (P \otimes Q) \otimes R) = A ((P \otimes Q) \otimes R) \\ = A (P \otimes (Q \otimes R)) = A (P \otimes A (Q \otimes R)) \\ = P \land (Q \land R) . \end{aligned} \end{matrix}

　　 4.利用张量积的运算性质（定理 2 ）和 $A$ 的线性直接得到。

　　 5。先证 $x \land y = - y \land x, \forall x, y \in V$ ：

\begin{matrix} (17) & x \land y = A (x \otimes y) = \frac{1}{2} (x \otimes y - y \otimes x), \end{matrix}

因此

\begin{matrix} (18) & x \land y = - y \land x, x \land x = 0 . \end{matrix}

　　对一般情形，可由式 18 和外积的结合性证得，见例 1 。

　　 6。当 $p = 2$ 时显然成立。假设对 $p < k$ 时成立，那么由定理 5

\begin{matrix} (19) & \begin{aligned} x_{1} \land \dots \land x_{p} & = (x_{1} \land \dots \land x_{p - 1}) \land x_{p} = A ((x_{1} \land \dots \land x_{p - 1}) \otimes x_{p}) \\ = A (A (x_{1} \otimes \dots \otimes x_{p - 1}) \otimes x_{p}) = A (x_{1} \otimes \dots \otimes x_{p - 1} \otimes x_{p}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　 证毕！

2. 外代数

　　从上面知道，由 $Q \land R = A (Q \otimes R)$ 定义了 $Λ (V)$ 上的乘法运算。其满足封闭性、结合性、纯量和张量外积的补充定律（式 12 ）并且还有单位元 $1 \in F$ 。这就使得 $Λ (V)$ 成为了域 $F$ 上的一个代数（定义 1 ）

定义 2　外代数

　　称域 $F$ 上的代数 $Λ (V)$ 是空间 $V$ 的外代数（或格拉斯曼代数或G 代数），其上的乘法由外积 “ $\land$ ”（定义 1 ）所定义。

定理 2　

　　设 ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ 是矢量空间 $V$ 的一个基底，那么 $p$ 矢量

\begin{matrix} (20) & e_{i_{1}} \land e_{i_{2}} \land \dots \land e_{i_{p}}, 1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{p} \leq n . \end{matrix}

组成空间

Λ^{p} (V)

的一个基底。

　　 证明：任意 $P \in Λ^{p} (V)$ ，正如 $T_{0}^{p} (V)$ 中的任意元素一样，其可由表示为

\begin{matrix} (21) & P = \sum_{j_{1} \dots j_{p}} P^{j_{1} \dots j_{p}} e_{j_{1}} \otimes \dots \otimes e_{j_{p}} . \end{matrix}

由式 22 和

A

的线性性及式 14

\begin{matrix} (22) & P = A (P) = \sum_{j_{1} \dots j_{p}} P^{j_{1} \dots j_{p}} A (e_{j_{1}} \otimes \dots \otimes e_{j_{p}}) = \sum_{j_{1} \dots j_{p}} P^{j_{1} \dots j_{p}} e_{j_{1}} \land \dots \land e_{j_{p}} . \end{matrix}

由式 13 ，任意

e_{j_{1}} \land \dots \land e_{j_{p}}

都可按升序排序来代替，即任一

p

矢量都可由形如的矢量展开。所以现在只需证明它们的线性无关即可。设

\begin{matrix} (23) & \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{p} \leq n} λ^{i_{1} \dots i_{p}} e_{i_{1}} \land \dots \land e_{i_{p}} = 0 . \end{matrix}

由式 14 和式 6

\begin{matrix} (24) & \begin{aligned} \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{p} \leq n} λ^{i_{1} \dots i_{p}} e_{i_{1}} \land \dots \land e_{i_{p}} & = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{p} \leq n} λ^{i_{1} \dots i_{p}} A (e_{i_{1}} \otimes \dots \otimes e_{i_{p}}) \\ = \frac{1}{p!} \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{p} \leq n} λ^{i_{1} \dots i_{p}} \sum_{π \in S_{p}} ϵ_{π} (e_{i_{π^{- 1} 1}} \otimes \dots \otimes e_{i_{π^{- 1} p}}) \\ = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

　　由定理 2 ， $e_{i_{1}} \otimes \dots \otimes e_{i_{p}}$ 构成 $T_{0}^{p} (V)$ 上的一个基底。所以对不同的 $π$ ， $e_{i_{π^{- 1} 1}} \otimes \dots \otimes e_{i_{π^{- 1} p}}$ 是线性无关的。所由式 24 ，只能是

\begin{matrix} (25) & λ^{i_{1} \dots i_{p}} ϵ_{π} = 0 \Rightarrow λ^{i_{1} \dots i_{p}} = 0 . \end{matrix}

　　 证毕！

推论 1　 $Λ (V)$ 的维数

　　空间 $V$ 的外代数 $Λ (V)$ 的维数是 $2^{n}$ ，同时

\begin{matrix} (26) & \dim Λ^{p} (V) = (\begin{array}{r} n \\ p \end{array}) . \end{matrix}

　　 证明：形如式 20 的 $p$ 矢量的个数等于从 $n$ 个中一次取 $p$ 个组合的个数（式 10 ），所以根据定理 2

\begin{matrix} (27) & \dim Λ^{p} (V) = (\begin{array}{r} n \\ p \end{array}) . \end{matrix}

由式 4 ，

Λ (V)

是各

Λ^{p} (V)

的直和，所以

\begin{matrix} (28) & \dim Λ (V) = \sum_{p = 0}^{n} \dim Λ^{p} (V) = \sum_{p = 0}^{n} (\begin{array}{r} n \\ p \end{array}) = 2^{n} . \end{matrix}

最后一式利用了二项式定理。

　　 证毕！

例 1　

　　使证明：若 $Q \in Λ^{q} (V), R \in Λ^{r} (V)$ ，那么

\begin{matrix} (29) & Q \land R = (- 1)^{q r} R \land Q . \end{matrix}

　　 证明提示：由定理 2 ，可用形如

\begin{matrix} (30) & \begin{aligned} e_{i_{1}} \land e_{i_{2}} \land \dots \land e_{i_{q}}, 1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{q} \leq n, \\ e_{i_{1}} \land e_{i_{2}} \land \dots \land e_{i_{r}}, 1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{r} \leq n \end{aligned} \end{matrix}

的式子分别将

Q, R

展开。然后由式 13 ，可将

R

的展开中每一项的基底的矢量一个个和前面矢量对换到

Q

的基底前，最后就得到式 29 .

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张量的外积

1. 外积

定义 1 外积

定理 1 外积的性质

2. 外代数

定义 2 外代数

定理 2

推论 1 Λ(V) 的维数

例 1

定义 1　外积

定理 1　外积的性质

定义 2　外代数

定理 2　

推论 1　 $Λ (V)$ 的维数

例 1　