张量的外积

                     

贡献者: 零穹

预备知识 张量代数,域上的代数

   张量代数一节最后提到,通过将张量积作为乘法不能使得 $\mathbb T_p^0(V)$ 的对称子空间和斜对称子空间的外直和

\begin{equation} \begin{aligned} &\mathbb T^+(V^*)=\mathbb F\oplus\mathbb T_1^+(V)\oplus\mathbb T_2^+(V)\oplus\cdots\\ &\Lambda(V^*)=\mathbb F\oplus \Lambda^1(V^*)\oplus\Lambda^2(V^*)\oplus\cdots \end{aligned} \end{equation}
成为
\begin{equation} \mathbb T(V^*)=\mathbb F\oplus\mathbb T_1^0(V)\oplus\mathbb T_2^0(V)\oplus\cdots \end{equation}
的子代数.这使得可以通过定义其它的乘积,使得这二者各自成为代数.对于斜对称的 $\Lambda(V^*)$,就是本节强调的重点.使 $\Lambda(V^*)$ 成为一个代数的乘法称为外积(wedge),记号为 $\wedge$,它是通过交错化映射 $A$(定义 4 )定义的,具体便是
\begin{equation} Q\wedge R=A(Q\otimes R) \end{equation}

1. 外积

   事实上,基于张量的对称化和交错化引文处提到的理由,讨论任意张量的对称性和斜对称性,与 $(0,p)$ 型或 $(p,0)$ 型没有任何区别.为了多样性起见,这里考虑 $(0,p)$,即取空间($\Lambda^p(V)$ 的定义可见定义 6 后的段落.)

\begin{equation} \Lambda(V)=\mathbb F\oplus \Lambda^1(V)\oplus\Lambda^2(V)\oplus\cdots \end{equation}
使用定义 6 的术语,$\Lambda^p(V)$ 的元素称为 $p$ 矢量.

   交错化映射 $A$ 将 $\mathbb T_0^p(V)$ 的张量映射到其上的斜对称张量子空间 $\Lambda^p(V)$ 上(定理 4 ),而 $\Lambda^p(V)$ 都是 $\Lambda(V)$ 的子空间,因此有可能通过 $A$ 定义一种乘法,使得 $\Lambda(V)$ 在该乘法下封闭.注意 $ \Lambda(V)$ 上的任意元素 $Q$ 可记作(式 6

\begin{equation} Q=\sum_{i=0}^\infty Q_i=(Q_0,Q_1,\cdots),\quad Q_i\in\Lambda^i(V) \end{equation}

   此时,为了让张量积不跳出 $\Lambda(V)$,我们试着用 $A$ 作用到 $\Lambda(V)$ 上任意两元素 $Q,R$ 的张量积 $Q\otimes R$ 上:

\begin{equation} \begin{aligned} &A(Q\otimes R)=A(\sum_{k=0}^\infty h_k)=\sum_{k=0}^\infty A(h_k),\\ &h_k=\sum_{i=0}^k Q_i\otimes R_{k-i}\in\mathbb T_0^k(V) \end{aligned} \end{equation}
因此 $A(h_k)\in \Lambda^{k}(V)$,即
\begin{equation} A(Q\otimes R)=\sum_{k=0}^\infty A(h_k),\quad A(h_k)\in\Lambda^k(V) \end{equation}
注意式 5 ,就有 $A(Q\otimes R)\in\Lambda(V)$.

   于是通过 $A(Q\otimes R)\in\Lambda(V)$ 来定义 $Q$ 和 $R$ 的乘法就得到了 $\Lambda(V)$ 上乘法的封闭性.显然,通过张量积运算的性质,$1\in\mathbb F$ 是该乘法的单位元.

定义 1 外积

   对任意 $q$ 矢量 $Q$ 和 任意 $r$ 矢量 $R$,运算 $\wedge:\Lambda(V)\times\Lambda(V)\rightarrow\Lambda(V)$:

\begin{equation} Q\wedge R=A(Q\otimes R) \end{equation}
称为 $\Lambda(V)$ 上的外积运算

定理 1 外积的性质

   外积具有以下的性质:

  1. \begin{equation} \wedge:\Lambda^q(V)\times\Lambda^r(V)\rightarrow\Lambda^{q+r}(V) \end{equation}
  2. 双线性:任意 $\alpha,\beta\in\mathbb F$,有
    \begin{equation} \begin{aligned} Q\wedge(\alpha R+\beta T)&=\alpha(Q\wedge R)+\beta(Q\wedge T)\\ (\alpha Q+\beta S)\wedge R&=\alpha (Q\wedge R)+\beta (S\wedge R) \end{aligned} \end{equation}
  3. 结合性:
    \begin{equation} P\wedge (Q\wedge R)=(P\wedge Q)\wedge R \end{equation}
  4. $\forall \lambda\in\mathbb F$,都有
    \begin{equation} \lambda(Q\wedge R)=(\lambda Q)\wedge R=Q\wedge(\lambda R) \end{equation}
  5. 任意 $x_{i_1},\cdots,x_{i_p}\in V$,满足
    \begin{equation} x_{i_{\pi 1}}\wedge\cdots \wedge x_{i\pi p}=\epsilon_\pi x_{i_1}\wedge\cdots\wedge x_{i_p} \end{equation}
  6. \begin{equation} x_1\wedge\cdots\wedge x_p=A(x_1\otimes\cdots\otimes x_p) \end{equation}

   证明:1.设 $Q$ 为 $q$ 矢量,$R$ 为 $r$ 矢量,那么由定理 2 ,$Q\otimes R\in\mathbb T_0^{q+r}$.由定理 4 ,对 $\mathbb T_0^{q+r}(V)$ 上的 $A$,其像 $ \operatorname{Im} A=\Lambda ^{q+r}(V)$.于是式 9 成立.

   2.由张量积和 $A$ 的线性

\begin{equation} \begin{aligned} Q\wedge(\alpha R+\beta T)&=A(Q\wedge(\alpha R+\beta T))=A(\alpha Q\otimes R+\beta Q\otimes T)\\ &=\alpha A(Q\otimes R)+\beta A(Q\otimes T)=\alpha Q\wedge R+\beta Q\wedge T \end{aligned} \end{equation}
第 2 式同理.

   3.由定理 5

\begin{equation} \begin{aligned} (P\wedge Q)\wedge R&=A(A(P\otimes Q)\otimes R)=A((P\otimes Q)\otimes R)\\ &=A(P\otimes (Q\otimes R))=A(P\otimes A(Q\otimes R))\\ &=P\wedge (Q\wedge R) \end{aligned} \end{equation}

   4.利用张量积的运算性质(定理 2 )和 $A$ 的线性直接得到.

   5.先证 $x\wedge y=-y\wedge x,\;\forall x,y\in V$:

\begin{equation} x\wedge y=A(x\otimes y)=\frac{1}{2}(x\otimes y-y\otimes x) \end{equation}
因此
\begin{equation} x\wedge y=-y\wedge x,\quad x\wedge x=0 \end{equation}

   对一般情形,可由式 18 和外积的结合性证得,见例 1

   6.当 $p=2$ 时显然成立.假设对 $p < k$ 时成立,那么由定理 5

\begin{equation} \begin{aligned} x_1\wedge\cdots\wedge x_p&=(x_1\wedge\cdots\wedge x_{p-1})\wedge x_p=A((x_1\wedge\cdots\wedge x_{p-1})\otimes x_p)\\ &=A(A(x_1\otimes\cdots\otimes x_{p-1})\otimes x_p)=A(x_1\otimes\cdots\otimes x_{p-1}\otimes x_p) \end{aligned} \end{equation}

   证毕!

2. 外代数

   从上面知道,由 $Q \wedge R=A(Q\otimes R)$ 定义了 $\Lambda(V)$ 上的乘法运算.其满足封闭性、结合性、纯量和张量外积的补充定律(式 12 )并且还有单位元 $1\in\mathbb F$.这就使得 $\Lambda(V)$ 成为了域 $\mathbb F$ 上的一个代数(定义 1

定义 2 外代数

   称域 $\mathbb F$ 上的代数 $\Lambda(V)$ 是空间 $V$ 的外代数(或格拉斯曼代数G 代数),其上的乘法由外积 “$\wedge$”(定义 1 )所定义.

定理 2 

   设 $\{e_1,\cdots,e_n\}$ 是矢量空间 $V$ 的一个基底,那么 $p$ 矢量

\begin{equation} e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_p},\quad 1\leq i_1 < i_2 < \cdots < i_p\leq n \end{equation}
组成空间 $\Lambda^p(V)$ 的一个基底.

   证明:任意 $P\in\Lambda^p(V)$,正如 $\mathbb T_0^p(V)$ 中的任意元素一样,其可由表示为

\begin{equation} P=\sum_{j_1\cdots j_p}P^{j_1\cdots j_p}e_{j_1}\otimes\cdots\otimes e_{j_p} \end{equation}
式 22 和 $A$ 的线性性及式 14
\begin{equation} P=A(P)=\sum_{j_1\cdots j_p}P^{j_1\cdots j_p}A(e_{j_1}\otimes\cdots\otimes e_{j_p})=\sum_{j_1\cdots j_p}P^{j_1\cdots j_p}e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_p} \end{equation}
式 13 ,任意 $e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_p}$ 都可按升序排序来代替,即任一 $p$ 矢量都可由形如的矢量展开.所以现在只需证明它们的线性无关即可.设

\begin{equation} \sum_{1\leq i_1 < \cdots < i_p\leq n} \lambda^{i_1\cdots i_p} e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_p}=0 \end{equation}
式 14 式 6
\begin{equation} \begin{aligned} \sum_{1\leq i_1 < \cdots < i_p\leq n} \lambda^{i_1\cdots i_p} e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_p}&=\sum_{1\leq i_1 < \cdots < i_p\leq n} \lambda^{i_1\cdots i_p} A(e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_p})\\ &=\frac{1}{p!}\sum_{1\leq i_1 < \cdots < i_p\leq n}\lambda^{i_1\cdots i_p}\sum_{\pi\in S_p}\epsilon_\pi(e_{i_{\pi^{-1} 1}}\otimes\cdots\otimes e_{i_{\pi^{-1} p}})\\ &=0 \end{aligned} \end{equation}

   由定理 2 ,$e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_p}$ 构成 $\mathbb T_0^p(V)$ 上的一个基底.所以对不同的 $\pi$,$e_{i_{\pi^{-1} 1}}\otimes\cdots\otimes e_{i_{\pi^{-1} p}}$ 是线性无关的.所由式 24 ,只能是

\begin{equation} \lambda^{i_1\cdots i_p}\epsilon_\pi=0\quad\Rightarrow\quad\lambda^{i_1\cdots i_p}=0 \end{equation}

   证毕!

推论 1 $\Lambda(V)$ 的维数

   空间 $V$ 的外代数 $\Lambda(V)$ 的维数是 $2^n$,同时

\begin{equation} \dim\Lambda^p(V)=\left(\begin{aligned} n\\p \end{aligned}\right) \end{equation}

   证明:形如式 20 的 $p$ 矢量的个数等于从 $n$ 个中一次取 $p$ 个组合的个数(式 10 ),所以根据定理 2

\begin{equation} \dim\Lambda^p(V)=\left(\begin{aligned} n\\p \end{aligned}\right) \end{equation}
式 4 ,$\Lambda(V)$ 是各 $\Lambda^p(V)$ 的直和,所以
\begin{equation} \dim\Lambda(V)=\sum_{p=0}^n\dim\Lambda^p(V)=\sum_{p=0}^n\left(\begin{aligned} n\\p \end{aligned}\right)=2^n \end{equation}
最后一式利用了二项式定理

   证毕!

例 1 

   使证明:若 $Q\in\Lambda^q(V), R\in\Lambda^r(V)$,那么

\begin{equation} Q\wedge R=(-1)^{qr}R\wedge Q \end{equation}

   证明提示:定理 2 ,可用形如

\begin{equation} \begin{aligned} &e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_q},\quad 1\leq i_1 < i_2 < \cdots < i_q\leq n\\ &e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_r},\quad 1\leq i_1 < i_2 < \cdots < i_r\leq n \end{aligned} \end{equation}
的式子分别将 $Q,R$ 展开.然后由式 13 ,可将 $R$ 的展开中每一项的基底的矢量一个个和前面矢量对换到 $Q$ 的基底前,最后就得到式 29 .


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