对称/反对称多线性映射

贡献者： Giacomo

本文处于草稿阶段。

预备知识　多线性映射，置换的奇偶性，群作用

1. 对称/反对称多线性映射

　　回忆例 5 中我们定义的 $S_{k}$ 置换作用，

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} R_{π} : V^{\times k} & \to V^{\times k}, \\ (v_{1}, \dots, v_{k}) & \mapsto (v_{π (1)}, \dots, v_{π (k)}) . \end{aligned} \end{matrix}

未完成：将

G

-不变映射的定义改写到

G

-空间后更改引用

定义 1　对称多线性映射

　　我们称一个多线性映射 $f : V^{\times k} \to W$ 为对称多线性映射（简称对称 $k$ -映射）如果它是 $S_{k}$ -不变的（参考定义 4 ），即对任意置换 $π \in S_{k}$ ，

\begin{matrix} (2) & f (R_{π} (v)) = f (v) . \end{matrix}

　　由于对称群 $S_{k}$ 由对换生成（见对称群），我们可以把它简化为，交换任意两项 $v_{i}, v_{j}$ 后函数值保持不变：

\begin{matrix} (3) & f (\dots, v_{j}, \dots, v_{i}, \dots) = f (\dots, v_{i}, \dots, v_{j}, \dots) . \end{matrix}

　　如果 $f : V^{\times k} \to F$ 是一个多线性型（多线性函数），我们称它为对称多线性型。

未完成：例子：内积

定义 2　反对称多线性映射

　　类似的我们可以定义的反对称多线性映射（简称反对称 $k$ -映射） $f : V^{\times k} \to W$ 如果它满足 $π \in S_{k}$ ，

\begin{matrix} (4) & f (R_{π} (v)) = sgn (g) f (v) . \end{matrix}

其中对于偶置换

sgn σ = 1

、奇置换

sgn σ = - 1

；由于对称群的性质，我们可以把它简化为，交换任意两项

v_{i}, v_{j}

后函数值相反：

\begin{matrix} (5) & f (\dots, v_{j}, \dots, v_{i}, \dots) = - f (\dots, v_{i}, \dots, v_{j}, \dots) . \end{matrix}

　　如果 $f : V^{\times k} \to F$ 是一个多线性型（多线性函数），我们称它为反对称多线性型。

　　反对称亦称斜对称、交错的。

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对称/反对称多线性映射

1. 对称/反对称多线性映射

定义 1 对称多线性映射

定义 2 反对称多线性映射

定义 1　对称多线性映射

定义 2　反对称多线性映射