对称/反对称多线性映射

                     

贡献者: Giacomo

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预备知识 多线性映射,置换的奇偶性,群作用

1. 对称/反对称多线性映射

   回忆例 5 中我们定义的 $S_k$ 置换作用,

\begin{equation} \begin{aligned} R_\pi: V^{\times k} &\to V^{\times k}~, \\ (v_1, \cdots, v_k) &\mapsto (v_{\pi(1)}, \cdots, v_{\pi(k)})~. \end{aligned} \end{equation}

  

未完成:将 $G$-不变映射的定义改写到 $G$-空间后更改引用

定义 1 对称多线性映射

   我们称一个多线性映射 $f: V^{\times k} \to W$ 为对称多线性映射(简称对称 $k$-映射)如果它是 $S_k$-不变的(参考定义 4 ),即对任意置换 $\pi \in S_k$,

\begin{equation} f(R_\pi(v)) = f(v)~. \end{equation}

   由于对称群 $S_k$ 由对换生成(见对称群),我们可以把它简化为,交换任意两项 $v_i, v_j$ 后函数值保持不变:

\begin{equation} f(\cdots, v_j, \cdots, v_i, \cdots) = f(\cdots, v_i, \cdots, v_j, \cdots)~. \end{equation}

   如果 $f: V^{\times k} \to \mathbb{F}$ 是一个多线性型(多线性函数),我们称它为对称多线性型

  

未完成:例子:内积

定义 2 反对称多线性映射

   类似的我们可以定义的反对称多线性映射(简称反对称 $k$-映射)$f: V^{\times k} \to W$ 如果它满足 $\pi \in S_k$,

\begin{equation} f(R_\pi(v)) = \operatorname {sgn}(g) f(v)~. \end{equation}
其中对于偶置换 $ \operatorname {sgn}{\sigma} = 1$、奇置换 $ \operatorname {sgn}{\sigma} = -1$;由于对称群的性质,我们可以把它简化为,交换任意两项 $v_i, v_j$ 后函数值相反:
\begin{equation} f(\cdots, v_j, \cdots, v_i, \cdots) = - f(\cdots, v_i, \cdots, v_j, \cdots)~. \end{equation}

   如果 $f: V^{\times k} \to \mathbb{F}$ 是一个多线性型(多线性函数),我们称它为反对称多线性型

   反对称亦称斜对称交错的


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