单摆(大摆角)

             

贡献者: coppersoulfate; addis

预备知识 单摆,椭圆积分

   令最大摆角为 $\theta_0$,能量守恒,机械能为

\begin{equation} E = \frac{1}{2} m l^2 \dot \theta^2 - mg l \cos\theta = - mg l \cos\theta_0 \end{equation}
所以 $\theta$ 处的角速度为
\begin{equation} \dot{\theta} = \sqrt{\frac{2g}{l} (\cos\theta - \cos\theta_0) } \end{equation}
令 $t = 0$ 时 $\theta = 0$ 且 $\dot{\theta} > 0$,该微分方程的解可以用椭圆积分式 3 表示
\begin{equation} t(\alpha) = \sqrt{\frac{l}{2g}} \int_0^{\alpha} \frac{ \,\mathrm{d}{\theta} }{\sqrt{\cos\theta - \cos\theta_0}} = \sqrt{\frac{l}{g}} \csc\frac{\theta_0}{2} F \left(\frac{\alpha}{2}, \csc\frac{\theta_0}{2} \right) \qquad (0 \leqslant \alpha \leqslant \theta_0) \end{equation}
周期可以表示为从最低点第一次摆到最高点所需时间的 4 倍
\begin{equation} T = 4t(\theta_0) = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \csc\frac{\theta_0}{2} F \left(\frac{\theta_0}{2}, \csc\frac{\theta_0}{2} \right) \end{equation}
Wikipedia 给出的公式为
\begin{equation} T = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} F \left(\frac{\pi}{2}, \sin\frac{\theta_0}{2} \right) \end{equation}
此式可由式 3 作如下变换得到:
\begin{equation} t(\alpha)=\frac12\sqrt{\frac{l}{g}}\int_{0}^{\alpha}\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{\sin^2\frac{\theta_0}2-\sin^2\frac{\theta}2}} \end{equation}
\begin{equation} \sin \phi(\theta)=\frac{\sin^2\frac{\theta}2}{\sin^2\frac{\theta_0}2} \end{equation}
\begin{equation} \mathrm d\theta=2\frac{\sin\frac{\theta_0}2}{\cos\frac{\theta}2}\cos\phi(\theta)\mathrm d\phi =2\frac{\sin\frac{\theta_0}2}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta}2}}\sqrt{1-\sin^2\phi(\theta)}\mathrm d\phi =2\frac{\sqrt{\sin^2\frac{\theta_0}2-\sin^2\frac{\theta}2}}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta_0}2\sin^2{\phi(\theta)}}}\mathrm d\phi \end{equation}
代入式 6
\begin{equation} t(\alpha)=\sqrt{\frac{l}{g}}\int_{0}^{\phi(\alpha)}\frac{\mathrm{d}\phi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta_0}2\sin^2{\phi(\theta)}}} \end{equation}
又 $\phi(\theta_0)=\frac\pi2$,则
\begin{equation} T=4t(\theta_0)=\sqrt{\frac{l}{g}}\int_{0}^{\frac\pi2}\frac{\mathrm{d}\phi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta_0}2\sin^2{\phi(\theta)}}}=4 \sqrt{\frac{l}{g}} F \left(\frac{\pi}{2}, \sin\frac{\theta_0}{2} \right) \end{equation}
式 5 相同.

   (图未完成)(未完成:周期的级数展开,$\theta(t)$ 级数解)


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