单摆(大摆角)

             

预备知识 单摆,椭圆积分

   令最大摆角为 $\theta_0$,能量守恒,机械能为

\begin{equation} E = \frac{1}{2} m l^2 \dot \theta^2 - mg l \cos\theta = - mg l \cos\theta_0 \end{equation}
所以 $\theta$ 处的角速度为
\begin{equation} \dot{\theta} = \sqrt{\frac{2g}{l} (\cos\theta - \cos\theta_0) } \end{equation}
令 $t = 0$ 时 $\theta = 0$ 且 $\dot{\theta} > 0$,该微分方程的解可以用椭圆积分式 3 表示
\begin{equation} t(\alpha) = \sqrt{\frac{l}{2g}} \int_0^{\alpha} \frac{ \,\mathrm{d}{\theta} }{\sqrt{\cos\theta - \cos\theta_0}} = \sqrt{\frac{l}{g}} \csc\frac{\theta_0}{2} F \left(\frac{\alpha}{2}, \csc\frac{\theta_0}{2} \right) \qquad (0 \leqslant \alpha \leqslant \theta_0) \end{equation}
周期可以表示为从最低点第一次摆到最高点所需时间的 4 倍
\begin{equation} T = 4t(\theta_0) = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \csc\frac{\theta_0}{2} F \left(\frac{\theta_0}{2}, \csc\frac{\theta_0}{2} \right) \end{equation}
Wikipedia 给出的公式为
\begin{equation} T = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} F \left(\frac{\pi}{2}, \sin\frac{\theta_0}{2} \right) \end{equation}
已使用数值验证二者相等.

   (图未完成)(未完成:周期的级数展开,$\theta(t)$ 级数解)

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