张量(向量与矩阵)

                     

贡献者: Giacomo

预备知识 指标与求和约定

   直观上说,矩阵就是把数字排列成长方形,因此它是一个纯粹的 “组合数学” 对象:不需要学习集合论、微积分、线性代数,只需要理解了数(整数,有理数,实数或者复数都可)的概念和上面的加、减、乘(可以没有除法)我们就可以理解矩阵。

   不过,长方形只是一个很简单的二维图形,抛开纸张(二维)和方(形状)的限制我们可以得到很多不同的 “数字结构”,其中张量就是一种(不那么简单的)对正方形矩阵的推广。

   在线性代数中,我们会学到用矩阵来理解(选定基之后的)线性算子,用张量来理解多线性变换

1. 列矩阵和行矩阵

   在这篇文章中,我们把一个 nn 列的矩阵记作方矩阵n×1 矩阵记作列矩阵(列向量),1×n 矩阵记作行矩阵(行向量),1×1 矩阵记作数矩阵(标量)。根据矩阵的乘法子节 7 ,我们有以下五种合法的乘法(注意顺序不能颠倒),

   其中三种 “化简” 的乘法:

   一种 “化繁” 的乘法:

   三种 “不变” 的乘法:

   在研究张量的时候(本文)只考虑 “化简” 的三种乘法,这之中我们发现,

   因此,对于一个方矩阵或者行矩阵,我们可以把作用一个列矩阵定义为在右边乘上一个列矩阵;类似的对于一个方矩阵或者列矩阵,我们可以把作用一个行矩阵定义为在左边乘上一个行矩阵。

   就目前来说,上述行为显得很没有意义,因为总共只有三种情况,而我却用了 2×2=4 种情况来表述。但是,我们可以推广它来得到张量的定义。

2. 矩阵的类型

   我们现在有四种矩阵,方矩阵、列矩阵与行矩阵、数矩阵。我们把数矩阵作为终止状态,那么如果想通过 “作用列/行矩阵” 来得到终止状态,我们有

   需要注意的是,对于方矩阵来说,作用列矩阵和作用行矩阵顺序不重要,因为一个是左乘一个是右乘。

   我们把不需要任何作用的数矩阵称为 (0,0) 型,把需要一次列矩阵作用的行矩阵称为 (0,1) 型,把需要一次行矩阵作用的列矩阵称为 (1,0) 型,把需要一次列矩阵作用和一次行矩阵作用方列矩阵称为 (1,1) 型。因此,所谓 “化简” 的乘法指的是使类型变小的乘法。

   注:这里我不称呼它们为 (r,s) 型矩阵是因为这很容易和 s×t 型矩阵搞混。之后我会称呼它们为 (r,s) 型张量。

   因此对 (r,s) 型作用一次列矩阵会得到 (r,s1) 型;作用一次行矩阵会得到 (r1,s) 型。这也解释为什么行矩阵不能再作用一次行矩阵,列矩阵不能再作用一次列矩阵。

   很自然的,如果取更大的 rs,我们能把 (r,s) 型定义成需要 s 次列矩阵作用和 r 次行矩阵作用来得到数矩阵的某种东西吗?

   答案是肯定的,这就是 (r,s) 型张量的定义。

3. 矩阵的新记号

   之前说过,矩阵是一种组合数学对象,往往用二维数组 [Aij] 来表示。实际上,这不是一套很好的记号,为了得到张量,我们需要修改一下矩阵的记号。我们使用 [Aji],即 A=[A11An1A1nAnn] .

   这样的好处是什么呢?

  1. 不再需要记忆矩阵元是怎么摆放的了
  2. 不再需要考虑列/行矩阵是左乘还是右乘了
  3. 我们甚至可以省略掉求和符号(指标与求和约定

   这套符号还和行列矩阵统一了,我们有列矩阵 v=[vj]

(1)[v1vn] ,
行矩阵 θ=[θi]
(2)[θ1θn] .

   现在在矩阵 A 上作用列矩阵 v,我们得到了一个新的列矩阵 [wi]=[jAjivj] .

   现在再作用行矩阵 θ,我们得到了 [a]=[iwiθi] ,

   反过来,我们也可以先作用行矩阵,再作业列矩阵,这会得到同样的结果;因此我们会同时作用列矩阵和行矩阵,即 [a]=[i,jAjivjθi] .

例 1 

   我们考虑一个 3×3 方矩阵与 3×1 列矩阵的乘法, [A11A21A31A12A22A32A13A23A33][v1v2v3]=[A11v1+A21v2+A31v3A12v1+A22v2+A32v3A13v1+A23v2+A33v3] .

4. 张量

   一个 (r,s) 型张量是一个有两种编号(系数)的多维数组,记作 [Aj1jsi1ir]

   定义对它作用一个列矩阵 [vj],为

(3)[Bj1js1i1ir]=[jAj1js1ji1irvj] ,
得到一个 (r,s1) 型张量。

   当 s>1 时,我们也可以对任意的系数 jk 求和,因此在定义 “作用一个列矩阵” 的时候,我们需要声明是哪个系数的作用,数学中如不加申明的使用,一般指最后一位。

例 2 (0,2)-型张量

   一个 2 维的 (0,2)-型张量 [Aj1j2]A11,A12,A21,A22 四个数构成。考虑一个 2 维列向量 [v1v2],我们把它作用到 [A]j2 系数上得到

(4)[jAj1jvj]=[jA1jvjjA2jvj]=[A11v1+A12v2A21v1+A22v2] .

   类似的,可以对 A 作用一个行矩阵 [θi],为

(5)[Cj1jsi1ir1]=[iAj1jsi1ir1iθi] ,
得到一个 (r1,s) 型张量。

   对于 (r,s) 型张量 A 来说,我们也可以一次性作用 s 个列矩阵,r 个行矩阵,得到一个数矩阵。

5. 张量的推广

   张量的定义是基于列/行向量的,而在线性代数中它们正好对应原向量和对偶向量。但如果我们抛开线性代数,假设存在第三种 “基本向量呢”?比如垂直于纸面向外写,我们可以得到 “竖向量”。如果以这三种向量为基础,我们可以定义 (r,s,t) 型 “广义张量” 是一个有三种编号(系数)的多维数组,记作 [k1ktAj1jsi1ir]。我们甚至可以定义第四个、第五个甚至更多个基本向量。


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