正交矩阵、酉矩阵

                     

贡献者： addis

　　 酉矩阵（unitary matrix）也叫幺正矩阵。当矩阵元为实数时也叫正交矩阵（orthogonal matrix），是正交矩阵的复数拓展，即矩阵元可以是复数。酉矩阵 $\mathbf{U}$ 的定义同样为

但由于复数的列矢量没有对应的几何矢量，所以这里的正交完全是复线性空间中的广义正交。

1. 实数的情况

　　 若一个实数方阵的每一列的模长都等于 $1$，且任意两列都正交，那么这个矩阵就是一个单位正交阵。若 $\mathbf{U}$ 为单位正交阵，则其矩阵元满足

其中 ${\delta }_{ij}$ 是克罗内克 $\delta$ 函数。所以若把 $N$ 阶单位正交阵的每一列看做 $N$ 维空间中的一个单位矢量的直角坐标，那么这些单位矢量就组成该空间的一组正交归一基底。

　　 式 2 也可以用矩阵转置和矩阵乘法表示为

其中 $\mathbf{I}$ 是单位矩阵。根据逆矩阵的定义，我们得到单位正交矩阵的一个重要性质，即其逆矩阵等于转置矩阵。 由逆矩阵的性质（式 2 ）得 表示为矩阵元的运算就是 所以单位正交矩阵的所有行同样正交归一。易证式 2 和式 6 互为充分必要条件，都可以作为单位正交阵的定义。

2. 几何理解

　　 为了更形象地理解单位正交阵的上述性质，我们以二维几何矢量和二维实数方阵为例讨论，三维的情况同理可得。

　　 任意的二维实数酉矩阵可以看做是两组正交归一基底 $\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}}$ 和 $\hat{\mathbf{u}},\hat{\mathbf{v}}$ 之间的变换（“见平面旋转矩阵” 中的 “被动理解”）。

显然矩阵的两个列矢量满足正交归一。由内积的交换律，我们同样可以把矩阵的两行分别看做单位矢量 $\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}}$ 在正交归一基底 $\hat{\mathbf{u}},\hat{\mathbf{v}}$ 上的坐标，所以矩阵的两个行矢量同样正交归一。

　　 现在我们令任意几何矢量以 $\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}}$ 为基底的坐标为 $(x,y)$，以 $\hat{\mathbf{u}},\hat{\mathbf{v}}$ 为基底的坐标为 $(u,v)$，即

　　 由正交归一基底的性质，

写成矩阵的形式，就是 注意上式左边的矩阵是 $\mathbf{U}$，右边的矩阵是 ${\mathbf{U}}^{\mathrm{T}}$，而右边的变换是左边的逆变换，所以 ${\mathbf{U}}^{\mathrm{T}}={\mathbf{U}}^{-1}$。